Tentukan persamaan garis singgung yang berabsis

Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung. Mungkin ada yang memakai diskriminan atau rumus-rumus tertentu. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas persamaan garis singgung dengan memakai turunan.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y — y1 = m(x — x1)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 — 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2
y = x4 — 3x3 + 6x + 7
y = 24 — 3.23 + 6.2 + 7 = 16 — 24 + 12 + 7 = 11
m = y’ = 4x3 — 9x2 + 6 = 4.23 — 9.22 + 6 = 32 — 36 + 6 = 2

y — y1 = m(x — x1) y — 11 = 2 (x — 2) y — 11 = 2x — 4

y = 2x + 7

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 — 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30
2x3 — 24 = 30
2x3 = 54
x3 = 27 x = 3

m = y’ = 6x2 = 6.32 = 54

y — y1 = m(x — x1) y — 30 = 54 (x — 3) y — 30 = 54x — 162

y = 54x — 132

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 — x4 yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32 y’ = 32

-4x3 = 32

y = 20 — x4 = 20 -(16) = 4

y — y1 = m(x — x1) y — 4 = 32(x + 2) y — 4 = 32x + 64

y = 32x + 68

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y = x6 + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72 6y = — x + 72 y = -1/6 x + 12

m1 = -1/6

m1.m2 = -1

y = x6 + 22
y’ = m2
6x5 = 6
x5 = 1 x = 1

y = x6 + 22

y — y1 = m(x — x1) y — 23 = 6(x -1) y — 23 = 6x — 6

y = 6x + 17

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π y = sin 2x = sin 2π = 0

m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y — y1 = m(x — x1) y — 0 = -2(x — π) y = -2x + 2π titik potong sumbu y → x = 0 y = 0 + π = π

Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x2 — 7x + 2 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 — 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45o = 1
y = 0,5x2 — 7x + 2 y’ = m x — 7 = 1 x = 8

y = 0,5x2 — 7x + 2

y — y1 = m(x — x1)

y = x — 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 — 2x dengan y = x — 30 x — 30 = 9 — 2x 3x = 39 x = 13

y = x — 30 = 13 — 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x2 + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax3 + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka
y = x2 + 10x + 7
y = 12 + 10.1 + 7 = 18 m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12

y — y1 = m(x — x1)

y = 12x + 6

y = ax3 + b y’ = m

3ax2 = 12

3a.42=12

Kurva menjadi y = 1/4 x3 + b

maka kurva y = 1/4 x3 + b melalui (4, 54)

b = 38

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x3 — 3x2 + 5x — 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5
x3 — 3x2 + 5x — 10 = 5
x3 — 3x2 + 5x — 15 = 0
x2 (x — 3) + 5(x — 3) = 0
(x2 + 5)(x — 3) = 0
x2 = -5 (tidak mungkin) x = 3

m = y’ = 3x2 — 6x + 5

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14 m = 14 y’ = 14

3x2 — 6x + 5 = 14

y = x3 — 3x2 + 5x — 10

y — y1 = m(x — x1)

y = 14x — 5

Tuliskan 2 ide pokok yang sesuai dengan kegiatan pada gambar tersebut

Tuliskan cara melakukan gerakan meliukkan badan ke belakang dan menghentikan bola dengan kepala

Tulisan allahumma sholli ala sayyidina muhammad wa ala ali sayyidina muhammad

Tuliskan 5 contoh dari kewajiban norma agama yang telah kalian laksanakan

Tuliskan 3 contoh perilaku yang mencerminkan keteladanan terhadap meneladan sifat al-baṣīr!

Tuliskan empat besaran turunan, disetai dengan dimensi dan satuannya

Tuliskan dan jelaskan petunjuk pemakaian sarana dan prasarana kantor !

Tuliskan dampak dari konversi lahan pertanian menjadi lahan industri dan permukiman di kawasan asean

Tuliskan ketentuan ketentuan yang harus dimiliki dalam aplikasi komputer akuntansi

Tuliskan lirik lagu salam pembuka dari tarirratoeh jaroeh !

Pertanyaan

Persamaan garis singgung kurva y=2x2−3x+5 melalui titik berabsis 2 pada kurva tersebut adalah ....

Perhatikan pada soal bahwa yang diketahui hanya absisnya saja, maka kita mencari nilai  sehingga 

Sehingga diperoleh dua titik singgung yaitu  dan  

Jadi, dapat kita peroleh dua persamaan garis singgung yaitu:

Di titik  

Di titik  

Dengan demikian diperoleh persamaan garis singgungnya yaitu  dan .