Jika sebuah dadu dilempar 3 kali maka peluang mendapatkan angka 3 tepat 1 kali adalah

Nomor 11

Satu dadu dilempar 3 kali. Peluang mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali adalah ....

$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $ $\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali, dalam hal ini dibagi menjadi tiga kasus 1). muncul mata dadu 6 satu kali : misal muncul pelemparan pertama : cara = 1.5.5 , munculnya mata dadu 6 ada $ C_1^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama atau kedua atau ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 satu kali : $ n(A_1) = C_1^3 . (1.5.5) = 3. (25) = 75 $ 2). muncul mata dadu 6 dua kali : misal muncul pelemparan pertama dan kedua : cara = 1.1.5 , munculnya mata dadu 6 ada $ C_2^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua atau kedua ketiga atau pertama ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 dua kali : $ n(A_2) = C_2^3 . (1.1.5) = 3. (5) = 15 $ 3). muncul mata dadu 6 tiga kali : misal muncul pelemparan pertama kedua ketiga: cara = 1.1.1 , munculnya mata dadu 6 ada $ C_3^3 = 1 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 tiga kali : $ n(A_3) = C_3^3 . (1.1.1) = 1. (1) = 1 $ Sehingga total cara muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali : $ n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 75 + 15 + 1 = 91 $ $\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{91}{216}$ Keterangan : 1.5.5 artinya pelemparan pertama muncul angka 6 (ada 1 kemungkinan), pelemparan kedua muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5), dan pelemparan ketiga muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5). Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $

Nomor 12

Jika $ g(x-2) = \frac{x-4}{x+2} \, $ dan $ f(x) = x^2 + 3 , \, $ maka $ (f \circ g^{-1}) (2) = .... $

Nomor 13

Jika $ m \, $ dan $ n \, $ bilangan real dan fungsi $ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $ memenuhi $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ maka $ 3m-n = .... $

$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsinya $ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $ $ f^\prime (x) = 3mx^2 + 4x - n $ $\spadesuit \, $ Bentuk $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ artinya 1 dan -5 adalah akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $ $ f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3mx^2 + 4x - n = 0 , \, $ akar-akarnya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = -5 $ $\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ n \, $ dengan operasi akar-akar Operasi penjumlahan : $\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + (-5) & = \frac{-4}{3m} \\ -4 & = \frac{-4}{3m} \\ 1 & = \frac{1}{3m} \\ 3m & = 1 \\ m & = \frac{1}{3} \end{align}$ Operasi perkalian : $\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . (-5) & = \frac{-n}{3m} \\ -5 & = \frac{-n}{1} \\ n & = 5 \end{align}$ Sehingga nilai $ 3m-n = 3.\frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4 $ Jadi, nilai $ 3m-n = -4. \heartsuit $

Nomor 14

Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) . \, $ Jika $ |A| \, $ menyatakan determinan $ A , \, $ maka nilai $ a \, $ yang memenuhi $ {}^2 \log a = 2^{|A|} \, $ adalah ....

Nomor 15

Titik-titik P dan Q masing-masing mempunyai absis $ 2p \, $ dan $ -3p \, $ terletak pada parabola $ y = x^2 - 1. \, $ Jiga garis $ g \, $ tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $ g \, $ memotong sumbu Y di titik berordinat ....

$\clubsuit \, $ Menentukan titik P dan Q Titik P : absis = $ 2p \, $ artinya $ x = 2p $ Substitusi $ x = 2p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $ $ y = x^2 - 1 = (2p)^2 - 1 = 4p^2 - 1 $ Sehingga titik P($2p, 4p^2-1$) Titik Q : absis = $ -3p \, $ artinya $ x = -3p $ Substitusi $ x = -3p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $ $ y = x^2 - 1 = (-3p)^2 - 1 = 9p^2 - 1 $ Sehingga titik Q($-3p, 9p^2-1$) $\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis PQ ($m_{PQ}$) $\begin{align} m_{PQ} & = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{(9p^2-1)-(4p^2-1)}{(-3p)-(2p)} \\ & = \frac{5p^2}{-5p} \\ m_{PQ} & = -p \\ \end{align} $ $\clubsuit \, $ Gradien garis $ g \, $ tegak lurus garis PQ $\begin{align} m_g & = -\frac{1}{m_{PQ}} \\ & = -\frac{1}{-p} \\ m_g & = \frac{1}{p} \end{align} $ $\clubsuit \, $ Garis $ g \, $ menyinggung parabola $ y = x^2 - 1 $ $ y^\prime = 2x , \, $ gradien garis $ g \, : m_g = y^\prime $ $\begin{align} m_g & = y^\prime \\ \frac{1}{p} & = 2x \\ x & = \frac{1}{2p} \end{align} $ $\clubsuit \, $ Menentukan titik singgung garis $ g \, $ dengan substitusi $ x = \frac{1}{2p} $ $ y = x^2 - 1 = \left(\frac{1}{2p}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4p^2} - 1 $ Sehingga titik singgungnya : $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) $ Persamaan garis singgungnya melalui $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) \, $ dengan $ m = \frac{1}{p} $ $\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}.(x-\frac{1}{2p}) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} + (\frac{1}{4p^2} - 1) \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 \end{align} $ Memotong sumbu Y, substitusi $ x = 0 \, $ $ y = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 = \frac{1}{p}.0-\frac{1}{4p^2} - 1 = -\frac{1}{4p^2} - 1 $ Jadi, ordinatnya adalah $ y = -\frac{1}{4p^2} - 1 . \heartsuit $

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15