Garis yang berpotongan berikut kecuali a dan b dan c dan ddb dan d

Latihan Uji Kompetensi-4.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Lukman memanfaatkan tanah kosongnya untuk tempat kandang kambing. LlmuuaaUasssimnjgtiaa-UsnmKianjahgois-imnm1Kg0ao0skpianmmnegd2tka.paneAnegnddbtaaesnengeitnmuk-kaspnm4aiytba.-i1knsaa4gnm?.da1a,nygaiktuambebribnegntuyaknpgeraskegani. dibuat dan Berapa dm2 2. Sebuah kebun jagung berbentuk persegi panjang memiliki ukuran panjang 901. Lukmcamn mdaenmlaenbfarat7kamn .taBnearhakpoasoarnegnluyasnya? untuk tempat kandang kambing. Luas tanah 100 m2. A3d.a eJmikpaastukaatnudpanegrsekgami mbienmg iylaikniglaukaasn1d4i4bucamt 2d,abnemraapsainmg-mapsainngjaknagndsaisnignybae?ntuknya sama, yaitu p4e.rseSgie.bBuearhapaladpman2 gluaans tbiaaps-ktieatp kbaenrdbaenngtukkampbeirnsge?gi panjang memiliki luas 84 m22. Sebuadhenkgebaunnpjangjuannggb1er2bemn.tuHkiptuernsgelgaihpalnejbaanrglmapeamnigliakni uiktuurdaanlpamanjsaantgu9an0 cdmekdaanmletbearr.7 m. Berapa a5re. luKasanmya?r mandi Lewis akan dipasangi ubin. Luas kamar mandi 20 m2.3. Jika sSueamtuepnetrasreagilumaesmuibliikni 2lu0ascm1424. Bcmer2a, pbaerbapaanykakh puabnijnanygansigsidniypae?r(luDkaalanm?.satuan mm).4. S6e.buaDhilkaeptaanhguain ubaksukreatnbeprbeermntuukkapaenrsesgeipbaunajhangmmejeamyilaiknigluabse8rb4emn2tudkengpaenrspeagnijapngan1j2anmg. Hitunglah lebaraldapaalanhga1n2i0tu cdmalamx s8a0tucamn d. eDkai maettaesr. meja tersebut terdapat sebuah buku tulis.5. KamaTremnatunkdai nBepneirabkaannddiinpgaasanngkieulibliinn.gLubauskkuamtualrismadnednig2a0nmk2e. lSielimngenptaerramluuaksauabninm20ejcam2. Berapa banyatekrusebbinuty!ang diperlukan ?6. D7i.ketAahisuyi auhkumraenmpielrimkiukseaabnuashebukaahinmyeajangyabnegrbbeernbteunktupkepresresgeigippaannjjaanngg.adIaalabher1e2n0ccamna× 80 cm. Dmi eantagshmiaesjasteekrseelbiluint tgerdkaapinat steebrsueabhubtukduentuglaisnberrebnednatu. kJpikerasetgeirpnaynajtaangrebnerduakuyraanng20 × 30 cm7. tAcjuTae89mkeinr..nussg.yetrTuabatdTddPeeknhuiiieenrakmptksmrntneeeduhatibebtrekiualanlmiuneatkukhirtgnyiakkbiula2aniaapaAin0kngnnel0igbirrausebseic2dayeAnakrmsibadnbmeikhu2adpsam!eia.!iyeglnrhuiJraatkginsahikkiaegsaaAnkgkipenitiiHensampyryaVlnakainaunyneShnnualgj!gigkatyalunkbiasrnegirneanergndbngtaeeidnpbkrnabeusitureetkuyskrbukaeuuu4ngpkrtgt5ieuapu02rldnarsi0ainsep0pncjgeadmeicrnperAlmg,usane5nkgy2gpjaa!aanidennnrgaApgkkn.amiiesnrIluFyaaijlnkaa4bihgnna.ekgngrpTieanpnyal,uecianjrnkainmpgknugaauarsakdemmmnadikaeuiekennnnktigatgmgahh4kiueiun5iakjni0asul,uystrceejnaamirksnyks,epegaalpbeierulsritekn!gigriapkkaaaninn-8. 9. Perhatteirklaenbi2hkdearthauslHu,VkSeytaasngHbVeSrumkuarnanakAa5hdyaannFg4l.eTbainhplaumasepngeurmkuurknayaantenryleab?ih dahulu, ketas HVS m1a0n.aMkauhnygaknignkleabhih slueabsupaehrmpuekraseangni yma?emiliki keliling yang sama dengan sebuah10. Mungpkeirnskeaghispebaunajahnpge?rseJgiki amemmuinligkki kine,liltienngtyuaknagnsaumkuardaenngpaenrsseebgui adhapnerpseegrsipeagnijapnagn?jaJnikga mungkin, tentuktearnseubkuutr!an persegi dan persegipanjang tersebut!11. T1e1n.tukTaennutukkuarannupkeursreagnippanerjasneggidepnagnajnandgatadeynanggandidkeattaahuyiapnagdaditkabeetal hdui ibapwaadha intai!bel di bawah ini! No. Panjang Lebar Luas 1. 27 m 8 dm L = … dm2 2 5m … cm L = 250 cm2 3 …m 600 m L = 2 ha 4 35 dam 6 dm L … m2 5 700 mm … mm L = 0,07 m2 6 560 m 90 dam L = ... dam2 7 6 cm 8 mm L = … mm2 8 … km 125 m L = 0, 15 ha 9 2 km … dam L = ... ha L = 18 cm2 10 … mm 2 cm12. Diberikan persegipanjang PQRS. Titik O terletak di dalam PQRS sedemikian sehingga OP = 3 cm, OQ =12 cm. Tentukanlah panjang sisi OR! 217 Matematika 19312. Diberikan persegi panjang titik terletak di dalam sedemikian rupa sehingga panjang adalah. .2. SEGITIGA b. SEGITIGAa. Luas dan Keliling Segitiga Pada sekolah dasa1r. kLaumaus tdealanhKmeelimlinpeglSajeagriittiegnatang segitiga. Kita akan mengkaji lebih luas danmendalam tentang segitiga, kPhaudsuassneykaoltaehrkdaiatsabrerkbaamguai tkeloanhsempedmapnelaatjuarrai ntepnetannegntsueagnitilguaa.s Kdiatna kakelainlingnbsmeeeeglrarbiutyaipagganaak.imakDnoeinndsasaeenekpgriaktdhaaarpnskeiakigt1taiuabddkm2tn.,rieiaogDeag.rentnnaubierBsbga.-nareeeadhkgrapDirtakaakubsaepjidaraenimanaaoggptlnnbiiaeentkbrjibipaseeigeeitpaaklhgraradne,uib.yraprlsaDmaujaaegusnnnapeeaajgsamegsiapmnraigdeitotlekkianiabngiineghajtaaneaeann.mktdnugMd,ujeaukaktnnsinagaptegedirpakahpilatuyielkkidaaakcriiutmsnttteeaiaaprgrnldemag.ctdatbenaeeanaBkendrptbntmdeuikaaatirnetunpanbdlgkgtecaiayillergaaipyamsmrnakeemhagiagrnuymasipsgattaeleiiunlaggrbakpgymaiehates,ainedaarrgbdkatsnaeaueahhdpm.rklbuuaaiaiDakksnthpilnuuaiaadegnsptynisrn.uepameynrerkkaaauceihdntkahatuanheairndyrakykkuanapaaipnetnmibaatrgnm,aaebhnrtdeeebuuginrrapugbdeynanuaaraykanagpnaanpaaagknitnkkyaanna yarnupga sdehaipngagta dipecahkan menerappkanajnangberbadaaglaahi. .konsep dan aturan-aturan pada bs. eSgEitGigITaI.GMAari kita cermati masalah berikut. Masalah-41.M.4Lausaasladha-n4K: elilingSegitiga SeoraPnadga Nseekolalayhadnasianrgkianmmu teenlaghamnteimlpaeylaajarripteenratahnug nsyegaitiga. Kita akan Seorang nelayan inbmkgdmeoiernnenbesgnaenmkgpgaaaajidehinaonalnbegnjjbaegeitkhrna,unairlssuaentnapigskepliradaetnianiy.nneganemrtdyuBueapannnanegdhglaruyalaaaanhmlsnegudbtnabeiknenyhnatkaatieuntnledkgilbeipsnaneegygrlgmaistaaeinuggngkgaiaat,ijargeknahnt.mbueiDasrsanusigsmkesnuedaynpkaiiaiuanntatneryrkkaaitmiat,ebrteeurrpbdaaakgpaaanit yang lebih tebal agadrbameerraabhmesnpegtuiutimkgae.pnDeaermhseaikgniaianndjugegniang.kaiBntaaduhakapanutrkcaeanrimnpaytaianpnjearganhtguerls1aye0admrida.an perahu yang pbeenrbyeanntgugkapekrasiengiladsdyyeesSiaaggnneeurigbgtnsigeaaupdaklnaae.uapiMnrmuaautaknhnrkeduiuyluikarpayriaetsa,aacnnenacNbhepmkkreeamaeallnnnuayaatjmyiunmagmanenkpnangayseeparan1tlaaie,yp0khrkaansabnmnenee.grbl.BigbakuSeeuyatrrtebba. kasahngguaaaaiariitnuiepksreulosarknmeymsubaeasrpeuraamtlnapdhaoehnaktrnaoaranhykutueugsrhaind-uaptaunranbanpyaadka memotong bahan kaMibnaashalalaayhn-a4kr:adianrilamyaurladiatriitimk utelnaigtaihtiksatleanhgsaahtusasliashi ksatiun menuju dua titik psuerddSmtseeueniotsrgurasiapknenekgabjraaNeuminnteni.lsualaymkkayaaneiaannirnnuygpajkinuenagrmiadnleehunbtuagiehartntestiteiterbislbkaaelyubasatrgu.uaptdre?urmathaupmnepyruamukaan kain a. Berapa luas b. Berapa luas kaimbnaeer.nbyaeaBhnnateungrkatppaeenarrgssileniugs.iaas?dBepanhegaarnnmuukkkauianraannypalanangyjaanrtgeprs1ee0drmiaa.hu tersebut? GaGmambbaarr-44..57:: PPeeraryauhLuaLyaaryar sSebebs.eulaBuimeunkryuaarpa, anNkleualyaayusapnkeanteyirnasneygbgauatnkghaaitrnuesrlasymiaseramp?oetroanhug bsiAashi laktneaikrnanimantelianfyuaPjureddnauryai emtlieutilskaaisituaidtniukt tepnegrmahuksaalaanh satu kain teBrsaebhuat.n kain layar perahu yang tersedia berbentuk persegi dengan ukuran panjang a.10Bmera.paPleunasgpgeurmnuakaananklaayianr plearayhaurtetreserbsuetb?ut sesuai ukuran kayu peyangga layar dapat bd. iBienrtaepraplureastaksainkayanngdtaelrasimsa?gambar berikut.Gambar-4.5: Perahu Layar Bahan kain layar ABpaletherarannhaktuiafinPyealnanyyeaglreptseaeirraasnheudyiDaangbteerrsbeedniatubekrbpeneturskepgeErisedgei ndgenagnanuukkuurraannpapnajCanngjang 10 m. Penggunaankain layar tersebut sesu10ami .uPkeungragunnakaanykuainpelayyaarngtegrsaebluatysaesrudaiaupkautradnikinayteurpperyeatnagsgiaklaaynarddaalpaamt gambar berikut. diinterpretasikan dalam gambar berikut. DE C 10 m 10 m AA F FB B Gambar 4.8: Ilustrasi perahu layar Dari gambar di atas dapat kita cermati bahwa panjang kayu 218 layar sama d2e1n8gan penyangga kainpanjang sisi AB, AE dan BE. Karena bentuk bahan kain penyangga adalah berbentuk persegi maka panjangAB = BC = EF = 10 m.a. Akan ditentukan luas permukaan layar perahu Bentuk layar perahu berbentuk segitiga. Dalam menentukan luas permukaan layar perahu sesuaidengan gambar di atas, ingat kembali tentang materi pengukuran terkait penentuan luas segitiga yang telahkamu pelajari di Sekolah Dasar. 194 Kelas VII SMP/MTsDari gambar di atas dapat kita cermati, panjang kayu penyangga kain layar sama dengan panjang rusuk AB, AE dan BE. Karena bentuk bahan kain penyangga adalah berbentuk persegi maka panjang AB = BC = EF = 10m. a. Akan ditentukan luas permukaan layar perahu Bentuk layar perahu, berbentuk segitiga. Dalam menentukan luas permukaan layarLuas layar perahu =perlauhaus sseesguaiitiggaamAbaBrEd.i atas, ingat kembali tentang materi pengukuran terkait = 1 × pa=Lpneujnaa12esnnl×gtauypaaanalranlpusjeaar×sanhstgeuinga=igtlilgagusaias×yasteniggnitgtiegglaaihAkBaEm.u pelajari di Sekolah Dasar! 2 = 1 × A=B ×1E×FAB × E=F 1  panjang alas  tinggi 2 2 2 = 1 ×10=×110×10 ×10= 1 AB  EF 2 22 = 50 = 50 = 1 10 10 2Jadi luas permukaan layar perahu= 5a0dalah 50 m2. Jadi Luas permukaan layar perahu = 50m2.b. Akan ditentukab.nAlkuaansdikteanitnukyanalnugastkearinsiysaang tersisa. Permukaan bahanPekrmaiunkalaanybaarhapnekraaihnulayyaarnpgeratheursyeadnigatebrseerdbiae,nbteurkbenpteukrspeegrisegdiednegnagnan ukuran 10 m. Luas5p0ermm2u.kDaaenngkaanindetemrsikeibyyuauaaknnntuggrlaautdndeaiar1sgsl0uiaksmnahaa.akiL1ndaanu0yla0ausahnnpmt5eug0rk2mm.telu2Sa.rkyseaaimarsnapekenaraatdinahaurtlaeaarhsdleuab5laau0sht amk5d0aa2mil.an2h. y1Da0e0nnmgga2n.dSidgeemumneinkatikaarnaanlluuuaassnkktuaaiiknn layar perahu adalah Perhatikan kembali gPaemrhbataikranpekremmbuakliaagnamkbaarinpeArmBuCkaDandkiaiantaAsB,CaDdadi5at(alsi,madaa) 5se(lgimitai)ga yang terbentuk didalamnya, yaitu segibtuigahasAegBitiEga, AyaDngEt,erBbCenEtu,kAdFi dEa,ladmannyas,eygaiittuigsaegBitiEgaFA. BE, ADE, BCE, AFE, dan segitiga BEF. EE D EE C AA F BA FF B Gambar 4.9: Ilustrasi permukaan kain Ingat kembali materi segitiga yang kamu pelajari di sekolah dasar terkait jenis-jenis segitiga dan ciri-cirinya. Mari kita cermati beberapa jenis segitiga yang tampak pada permukaan persegi ABCD.i) ∆ABE adalah segitiga samakaki sebab terdapat dua sisinya sama panjang, yaitu AE = BE.ii) ∆ADE dan ∆BCE, ∆AFE dan ∆BFE adalah segitiga siku-siku sebab salah satu21s9udut segitiga tersebut besarnya 90°, yaitu ∠D, ∠C, dan ∠F. Selanjutnya perhatikan garis EF pada ∆ABE. Garis EF tegak lurus terhadap alas AB dengan  AFE =  BFE = 90°. Karena ∆ABE adalah segitiga samakaki, maka garis EF membagi dua alas ABsama panjang. Garis EF juga membagi dua sudut E pada AEB sama besar atau  AEF =  BEF. Definisi 4.3 Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, dan C. • Garis tinggi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan tegak lurus terhadap sisi di hadapan titik sudut tersebut. • Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sudut sama besar. • Garis berat adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sisi di hadapan titik sudut sama panjang. Matematika 195A, B, dan C dan membagi dua sudut sama besar. Garis berat adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sisi di hadapan titik sudut sama panjang. Masalah-4.5Dodi ingin mengetahui luas segitiga yangdibenDtuodkinyiangdinarimkenegretatashuoirigluaams idbaeerrabhensteugkitigpaersyeagngippaannjjaadaJnni)ik bggae,.nbdtaiJukgikeakntiaamyhaaudndi aaiprkaci neakrjteaaarnthDagusosdioisiriimp-gsaaeismnnigijpahbeinertsurgbengegnispltiuuasankisj-pasdneiargses,ieraghippseaenrgsjiaetnigggai.a) bagaiymanagndaibcenatruaknDyao?di menghitung luas segitiga yab)n gtednitbueknantulakhnruyma?us menghitung luas daerah segitiga.b) tentukanlah rumus menghitung luas segitiga. Gambar 4.10: Segitiga dari kertas origamiAlternatif PenyelesaianMisalkan segitiga yang dibentuk, kita ilustrasikan seperti gambar di samping.Kertas origami berbentuk persegi panjang PQST.SeMgiitsiaglkaanyasenggitiagka aynandgidhibiteunntugk lkuitaasinluystaraasidkaalnashepPerQtiRga.mbar di bawah ini. Kertas origami berbentuk persegipanjang PQST. Segitiga yang akan dihitung luasnya adalah ∆PQR. T RS 220 P UQ d–e ngDRanUenP=gQaPn,Tkmi=taeQnpgSegsD-,reoumerlnnteeaaRhgrkutaUabepnnagah=kmagwkaaPenarTlni:uslger=bbguaausQnrndtSdauea,knrUmaignRpeaerngryuasPaperniQagsgki,pbapaknaaninntjlaatjeuanbpngaUegrPrnRodQylaaeySrhaTsinapbmgeaarhpswaedngeajni:agpnaagnnnjPyaaTngsdaaPmnQaQSdTSensegratan tPeTgadkalnurQusS– UQ = RS - UQ = RS– PQ = ST = (PU- + QPQU)==S(RTS=+(RPTU),+mQerUup)a=ka(nRpSan+jaRnTg )d,amriepreurpseagkiapnanpjaanngjaPnQgSdTari persegi panjang– ∆PUR sama dan sePbQanSgTun dengan ∆PTR– ∆LLLuuuUaaaQsss R∆ppeePsrraQssmeeRggaii=ppdaa---aLnnnujjaasanneL∆∆sggbu∆aUPUPaPnUsQUgQURupRRSRneTRsr+sdas=a=eemLmngLLugaiauuaapasdandssaa∆a∆nn∆nUURjPasQsQSeUneQRbRgbRaa+Pn+nUgLgLuuRuunanaTsdsd∆=e∆enRnPLgSgTuaQaRnans∆∆∆PRPTSURQR + Luas ∆ PTR– =--– – – Luas ∆PUR 1 ×LuluaassppeerrsseeggiippaannjajnagngPUURQTSR = Luas ∆ UQR + Luas ∆ RSQ 2 Luas ∆ PQR = Luas ∆ PUR + Luas ∆ UQR– Luas ∆UQR =- 1 ×Luluaass ∆pePrsUegRipanjang= U1Q×SRluas persegi panjang PURT 2 2a) Perhitungan lu-as ∆LPuQaRs ∆deUngQanRmengg=una1k×anlupaersspegeirpsaengjianpganPjQanRgSUQSR Dengan menggunakan rumus luas persegi2panjang, kita peroleh: Luas ∆PUR =a)12 ×DPeleurnhagsitapunenrmgseaegnniplguaganusjna∆nagkPaPQnURrRuTdmeunsgalunams peenrgsgeugni apkaannjapnegr,skegitiappaenrjoalnegh:PQRS 196 Luas ∆ PUR = 1 × luas persegi panjang PURT 2 Kelas VII SMP/MTs = 1 × PU × RU Luas ∆ PUR 2Luas ∆PUR = 1 × PU × RU 2 Luas ∆UQR = × luas persegipanjang UQSR Luas ∆UQR = 1 × RU × QU 2 Luas ∆PQR = Luas ∆PUR + Luas ∆UQR = 1 × PU × RU + 1 × RU × QU 2 2 = 1 × RU × (PU + QU) 2 Karena panjang PQ = PU + QU , maka Luas ∆PQR = 1 × RU × PQ 2b) BReurmdaussamrkeanngLghuaiatmus nb∆gaPrlQudaRisatdaase,rPa=hQ12sme×geiRrtuiUgpaa×kPPaQQnRsisi alas ∆PQR dan RU adalah tinggi ∆PQR, maka rumus menghitubn)g Rluuams ussegluitaisgsaePgiQtigRaaPdQaRlah: LSeucaasr∆a Pu mQRumL∆B ==uerParuQds1122maR∆s××ua,Psrm(RkQtlUiaaunRnkaga×sG==grsiPaue1122m∆mQg××bPiutasQ(Rirtg.liUR.uan..ag).a×s,g×dPisPaeQ∆(QlgaaiPlmhtaiQ:sgeRra∆u)PpP×QaQkR(aRanla)adssais∆liahPal:QasR∆) PQR dan RU adalah tinggi Luas ∆ = 1 Secara umum rumus luas segitiga adalah: 2 × alas × tin=gg1i.× Luas ∆ 2 alas × tinggi. Sifat-1 Sifat-4.1 Jika ABC sebJuikaha sAeBgiCtigsaebyuaanhg speagnijtaignag yaalansgapdaannjatninggpgiant,jmanagkaallausansydaaaerdahansetginitgiggia td, apat dinyatakan dengan: maka luas daerah segitiga dapat dinyatakan dengan: L= 1 L= 1 (a × t) (a  t)2 2 Selanjutnya, luas daerah segitiga biasa dikatakan dengan luas segitiga. Selanjutnya luas daerah segitiga biasa dikatakan dengan luas segitiga. Contoh 4.3Hitunglah luaCsodnateorha4h.3bangun berik1u. tH. itunglah luas daerah bangun di samping! (1) Penyelesaian: Bangun tersebut terdiri dari dua buah segitiga. 8 dm Luas segitiga I adalah L1 6 dm L1 = ( 1  8  5) = 20 dm2 5 dm L2 2 Luas segitiga II adalah 7 dm L2 = (1  6  7) = 21 dm2 2 Luas bangun seluruhnya = L1 + L2 = 41 dm2 Matematika 197(2) 12 cm 2. Hitunglah luas bangun di samping! Penyelesaian Bangun di samping terdiri dari 3 buah segitiga, maka: 8 cm 13 cm L1 = ( 1  13  8) = 52 cm2 5 cm 4 cm 2 L2 = ( 1  12  5) = 30 cm2 2 3 cm L3 = ( 1  3  4) = 6 cm2PenyelesLa1 +iaL2n+ L3 = 52 + 30 + 6 2 = 88 Jadi luas bangun seluruhnya = 88 cm2.(1) Bangun tersebut terdiri dari dua segitiga. LuasLasteihgani-t4i.1ga I adalah Pak Budi mempunyai kebun berbentuk seperti pada gambar di samping. Pak Budi 1ingin memberi pagar yang mengeliling2i kebunnya. L = ( × 8 × 5) = 20 dm1 2 14 cm Luas segitiga II adalah 10 m 2. Hitunglah luas bangun di samping! m Penyelesaian L2 = ( 1 × 6 × 7) = 8m 6 2 2112dmcm2 BangunLuasba..bBBaeanrgaagpimaukaannhakpsaahenjclaaunrgarmpuaughmarneynyagnahgitdu=inpgeLrkleu1lkila+inngPLakke2bBu=undPi4?ak1Buddmi? 2 di samping terdiri dari 3 buah segitiga, maka:c. Apakah kaitan keliling kebun dengan biaya yang harus dikeluarkan Pak Budi?(2) BangunJelatsekarns!ebut1te3rdcimri dari tiga segitiga, 1  13  8) = 52 cm2 d. Jika biaya pemasangan pagar Rp25.000,00 per meter, berapakah biaya yang 2 4 cm L = (1 2 1 8 cm 5 cmL = ( 2 × 13 × 8) = 52 dm1 harus dikeluarkan oleh Pak Budi untuk memasang pagar tersebut? L = ( 1  12  5) = 30 cm1Masalah-52 L = ( × 12 × 5) = 30 cm2 Diberikan beberapa batang korek api yang akan digunakan untuk membentuk22 2 2 2segitiga sama sisi. Susunan batang korek api membentuk segitiga samasisi tidak 3 cm 1melebihi 2 (dua) tingkat. Banyak batang korek api yang disediakan dan banyakL = ( 2  3  4) = 6 cm L3 = ( 12 × 3 × 4) = 6 cm2 3 L + L + L = 52 + 30 + 61 2 3 L1 + L2 + L3 = 52 + 30 + 6 = 88 223 = 88 JJaaddii lluuaassbbaanngguunnsesleulruurhunhynay=a 8=88c8mc2.m2. Latihan-4.1 SPeabkagBauidliamtiheamnpmunuy:ai kebun berbentuk seperti pada gambar di samping. Pak Budi PiankgBinudmi emmebmeprui npyaagiakreybaunngbmerbeenngteulkilsinepgeirktiepbaudnangyaam. bar di bawah. Pak Budi ingin memberi pagar. 14 cm 8 m 10 m 6m a. Bagaimanakah caramu menghitung keliling kebun Pak Budi? b.a . BBearagpaaikmaahnpaaknajahncgapraagmaur ymanegngdhipiteurlnugkaknelPialikngBukdeib?un Pak Budi? c.b . ABpearkaaphakkaaihtapnaannjatanrga pkaelgialirngyaknegbudnipdeernlugkananbPiaayka Byaundgi?harus dikeluarkan Pak Budi? Jelaskan! d.c . JAikapabkiayhakpaeimtaansakneglailninpgagkaerbRupn2d5e.0n0g0a,0n0bpiaeyr amyetaenr,gbheararpuaskdaihkbeliauyaarkyaanngPak Budi? hJaerulassdkiakne!luarkan oleh Pak Budi untuk memasang pagar tersebut? d. Jika biaya pemasangan pagar Rp25.000,00 per meter, berapakah biaya yang harus dikeluarkan oleh Pak Budi untuk memasang pagar tersebut? 198 Kelas VII SMP/MTs Masalah-5Masalah-4.6Diberikan beberapa batang korek api yang akan digunakan untuk membentuk segitiga samasisi.Susunan batamnagkksiomreakl saepgiitmigeamdbenengatunkpsaengjaitnigasissaimsaatsuissiatiudaankkmoreelkebaiphi d2is(adjuikaa)ntipnagdkaat.abBealnyakbatang korekbaeprikyuat.ng disediakan dan banyak maksimum segitiga dengan panjang sisi satu satuankorek api disajikan pada tabel berikut. 11 13 15 17 19 ... N3 5 7 9 N S 3 1 5 2 7 3 9 4 11 5 13 6 15 7 17 8 18 9 ... ... S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...a. Sajikan da.ataSpaajidkaantadbaetladpaaldaamtagbaeml dbalrasmeggiatimgabasrasmegasitiisgia! sama sisi!b. Temukanb.poTlaemhubkuangpaonlabahnuybaukngbaantanbgankyoarkekbaatpainygaknogretekrsaepdiiayadnagn tbearnseydaika sdeagnitibgaansyamk asisi yang dapat dseibgeitnigtuaks!ama sisi yang dapat dibentuk!c. Berapa bca.nyBaekrsaepgaitbigaanysaakmasesigsiitidgeangsaamn apasnisjai ndgensigsainsaptuansjaatnuganskisoirseaktuapsiaytuaanng dkaopreakt daipbientuk j5BBi0keearrbaaubppaaaahnbk?yedaea..nlkiylBydBibanaieeakbngrrteagaabsnppnaedtaagtugaakkipnkbteaigoasgltenrikaebldyiokainaybrnkgaeaeynkpnsabgeitkaaugypdtki5aatia0ninjpygiggkbaaaatundkyagdboiahsiarndbe?engideksynideaatadakkuppiakabiankatdytaadaaandirnnbiajggeil2knak1dahtoiubsbr4keeaa5kdtdna?iayaanrpkagiika2nkys1oaejnrbgiekgaiktatidaganibsapgaeiynd?kayioanarkkgeakdnsiaebapgdeiia?tniltgauahk4ys5aen?bganyakd. e. Alternatif Penyelesaian a. Kita sajikan data pada tabel dalam gambar segitiga sama rusuk Diketahui data pada tabel berikut. Banyak segitiga sama sisi yang dapat dibentuk dari sejumlah batang korek api yang disediakan dapat digambarkana. Kita sajikan datsaebpaagdaai tbaebreikl udta.lam gambar segitiga samasisi Diketahui data pada tabel berikut. Banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk dari sejumlah batangkorek api yang disediakan dapat digambarkan sebagai berikut. N 357 9 11 13 15 17 19 ... N S3 15 2 7 3 9 4 11 5 13 6 15 7 17 8 18 9 ...... S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Gambar-4.11: Segitiga Samasisi dari Korek Api Gambar-4.6: Segitiga sama sisi Dari Korek Api Banyak segitiga sama sisi dapat digambarkan dengan pola Gambar 4.6 di atas Banyak segitiguantuskambaansyisaik bdaatapnagt kdoirgeakmabpiarykaanng tersedia.dengan polab.GMamabriakr it4a.1t1emduikaatnaspoulnatuhkubbuanngyanakbanyaKkAbatang korek api yanSg tersediHaubduangnan KA dan S apbiaynaynagk tseergsietdigiaa. sama sisi yang dapat dib3entuk. Misalkan KA 1adalah ba1n=ya3 k 1batang korek batang korek api dan S adalah banyak segitiga yang terbentuk. 2b. Mari kita temukan pola hubungan banyak batang 5 2 2 = 5 1 korek api yang tersedia dan banyak segitiga 7 3 2 samasisi yang dapat dibentuk. Misalkan KA 9 4 3 = 7 1 adalah banyak batang korek api dan S adalah 2 banyak segitiga yang terbentuk. 11 . 5 4 = 9 1 Perhatikan hubungan banyak batang korek api . 2 . . . samasisi yang . dst.dengan banyak segitiga dapatGamdGbaaanrm-4B.b9a:anDr-yi4aag.kr1a2mS:ePgeDmitiaiasgaganrgaaSnmaBmaPnaeyamskisKaisoarenkgAapni dBanaB2na2ynya4akk SKe..goitrigeakSAampai Sisidibentuk. Perhatikan hubungan banyak batang korek api dengan banyak segitiga sama sisi yang dapat dibentuk. Misal n adalah banyak batang korek api dan s adalah banyak segitiga sama 199yruasnugk.dHapuabtundgibaennbtuaknydaiknykaotraekkanapdi eynaMgnagnatetsers=mediaatndikan1ab, annybaiklasneggaintiggaasnajiml a sisi 2 dan n  3.Misal n adalah banyak batang korek api dan s adalah banyak segitiga samasisi. Hubungan banyak korek api yang tersedia dan banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk dinyatakan dengan s = n −1 2 n bilangan ganjil dan n ≥ 3.c. Berapa banyak segitiga samasisi dengan panjang sisi satu-satuan korek api yang dapat dibentuk jika banyak batang korek api yang disediakan adalah 45 batang? Jika banyak korek api adalah n = 45 batang, maka banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk adalah n −1 = 45 −1 = 22 buah. 22d. Berapa banyak batang korek api yang disediakan jika banyak segitiga yang dibentuk sebanyak 50? Jika banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk adalah 50 buah, maka banyak korek api yang disediakan adalah Jnad2−i1ba=nJsy5eika0gkai⇒⇒tkibgoannarne=–sykaa11amk0p=1iab1yas0ati0ansinggyhaaknrougrseddkaipsaeapdtiidaykibaanenngatdudakilsaeahdd1iaa0lka1ahbnantaa2dnag1l.a=h 21 batang, maka banyak 21 1 = 10. 2e. Berapa KkeelilliilninggsegiAtigBaCya=ng3 dra=pa3t dxib1en=tu3ksdaaturia2n1pbaantajannggkokroerkekapaip?i. dJiakpaabt adniK1abyp0eaainkr=teaubnd3kaaa0talabadsnhaagnltau1kyha0oanrknebpku2s−aeaa1nghpj=i,iatiymn2gag1aan2−kkgs1aoadmrik=esekae1ldi0sailia.pisnkii.gayndaanadegarladahahp12a10t bdbaiubtaaenhngts,uemkgaidtkieagnabgaatnenyrsa2ek1bsubetagtaiatdingagalaskhaom3reakxsisi yang Keliling ∆ABC = 3r = 3 × 1 = 3 satuan panjang korek api. Karena banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk dengan 21 batang korek api adalah 10 buah, maka kelilLinagtidhaaenra-h4.120 buah segitiga tersebut adalah 3 × 10 = 30 satuan panjang korek api.  Berapa banyak maksimal segitiga sama sisi yang dapat dibentuk (panjang sisinya satu satuan panjang korek api), jika banyak anak Sebagai latihaknomreuk: api sebanyak n, dengan n bilangan genap, n . – Berapa makTsiemmuumkabnanhyuabkunseggaintigbaasnaymakasiasni aykankgordeakpaat pdiibdeenntugkan(pbaannjaynagk segitiga sisinya satu samtuanspisainjyanagngkodraekpaatpid),ibjieknatubkanyaaknganpakankjoarnegknaypai sdeubansyaatkuann, panjang dengan n bilkaongreakn agpeni!ap, n ≥ 4. – Temukan huBbuenragpaan bbaannyyaakkansaekgiktoigreaksaapmi daensigsainybaanngyadkaspeagtitidgiabesanmtuaksisdiari 75 anak yang dapat dkioberenktuakpyia?ng panjangnya dua satuan panjang korek api! – Berapa banyak segitiga samasisi yang dapat dibentuk dari 75 anak korek api?PerhatikPanegrhamatbikarasneggiatigmabbaerriksuetgitiga berikut C FP R Q AB DE (a) (b) (c) GGaammbbaarr 44.1.73:: JJeennisi-sje-njeisnSisegSitieggaitiga 200 IbnKegeralaaptsaVkjIeeImnSiMbsaPsl/eiMgTpisteiglaajayraanng matematika di sekolah dasar terkait segitiga. Ada kamu ketahui? Lakukanlah kegiatan berikut!• Ingat kembali pelajaran matematika di sekolah dasar terkait segitiga. Ada berapa jenis segitiga yang kamu ketahui? Lakukanlah kegiatan berikut!Kegiatan 4.1 e. Pertanyaan yang sama dengan (a)Perhatikan Gambar 4.13 di atas! f. Pertanyaan yang sama dengan (a)a. Bentuklah garis tinggi, garis bagi, dan garis berat pada setiap segitiga tersebut. Tuliskan sifat- sifat ketiga garis tersebut!b. Gunakan penggaris untuk mengukur panjang sisi-sisi ∆ABC! Definisi 4.2c. Adakah sisi-sisi yang sama panjang? Jika ada, berapa sisi yang panjangnya samSa?egitiga yang panjangd. Dengan melihat panjang sisi-sisinya, apakah jenis ∆ABC? Jelaskan!e. Pertanyaan yang sama dengan (a) s/d (c) untuk ∆DEF. disebut segitiga sebaranf. Pertanyaan yang sama dengan (a) s/d (c) untuk ∆PQR.  Segitiga yang salah sa segitiga siku-siku  Segitiga yang ketiga Definisi 4.4 segitiga sama sisi.  Segitiga yang dua s• Segitiga yang panjang sisi-sisinya tidak sama panjang disebut segitiga sebarangs. egitiga sama kaki.• Segitiga yang salah satu besar sudutnya 90° disebut segitiga siku-siku• Segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga samasisi.• Segitiga yang dua sisinya sama panjang disebut segitiga samakaki. Untuk mencari keliling sebuah Untuk mencari keliling sebuah segitiga, kamu harus mengetahui terlebidhahdauhluulupapnajnajnanggdkaertiigkaetsiigsia sisi segitigsegitiga tersebut karena keliling segitiga adalah jumlah panjang ketiga sisi yajunmg lmaehmpbaennjtaukngsekgeittiiggaa. sisi yang membePerhatikan gambar berikut! Ca. Bagaimanakah caramu menghitung keliling ∆ABC pada gambar di Perhatikan gambar be a. Bagaimsamping? Jelaskan!  ABCb. Berapakah keliling ∆ABC? B b. Berapac. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?d. Dapatkah kamu rumuskan keliling ∆ABC? A Sifat-2 c. KesimJika ∆ABC memiliki panjang sisi-sisi a, b, dan c, maka keliling segitiga adalah K = a + b + c. d. Dapatk Sifat-4.2 Contoh 4.4 Jika ABC sebuah segitiga yang p panjang keliling segitiga adalah K =Diberikan 4 jenis segitiga (sebarang, siku-siku, samakaki, samasisi) yang memiliki keliling yang samapanjang, yaitu 24 cm. Tentukanlah jenis segitiga yang memiliki luas yang lebih besar!PenyelesaianAmbil empat jenis segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c adan panjang kelilingnya 24 cm.Salah satukemungkinan ukuran sisi keempat jenis segitiga tersebut dapat disajikan pada gambar berikut. Matematika 201memiliki keliling yang sama panjang, yaitu 24 cm. Tentukanlah jenis segitiga yang memiliki luas yang lebih besar! Alternatif Penyelesaian Ambil empat buah jenis segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c adan panjang kelilingnya 24 cm.Salah satu kemungkinan ukuran sisi keempat jenis segitiga tersebut dapat disajikan pada gambar berikut. 8 B C C C 9 88 99 C 10 7 A 8 8 BA 6 B A 6 B A GamGabmarb-4a.r1-43:.8E:mEmpaptaBt uBauhaJheJneins iSseSgeitgigitaigaKamu dapat menggKuanmaukadnapuakt umraenngsgiusniaskeagnituikguaraAnBsCisidseenggitaigna uAkBuCrandeynagnang ulakiunr,anteytaanpgi klaeilni,lingnya harus24 cm. Ingat kembatleitmapaiteprainpjaennggkuekluilrinagnnyyanhgasruusda2h4 kcamm. uInpgealtajkaermi dbai lSi emkaotlearhi pDeansgaurktuerraknaiytaknegliling segitigadan luasnya. sudah kamu pelajari di Sekolah Dasar terkait keliling segitiga dan luasnya.Diketahui bahwa unDtuikketsaehtuiiapbajhewnias suengtuiktigsaetdiaipatjaens,ispasengjiatnigga kdeilialtiansg, npyaanjsaanmg ak,eylialiintugnaya+sbam+ac, = 24.Misalkan S = 1 K =ya1itu(2a4+) =b 1+2c = 24. 22Jika sebuah segitigaMAisBalCkandeSn=ga12nKpa=n12ja(n2g4)sis1i-2sisinya adalah a, b, dan c, maka luasnya dapat ditentukandLe=ngaSn(mS e−nag)g(uSn−akbJa)in(kSaru−smecbu)usahsesteegnitgigaah AkeBlCilindegn(gSa)nbpearnikjauntg. sisi-sisinya adalah a, b, dan c, maka luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus setengah kelilin (S) berikut.i) Luas segitiga sLem=barSa(nSgAaB)(CS L=b=)(S Sc(S) − a)(S − b)(S − c) i) Lu as se gitiga sem= bara2n4g(2A4B−C8=)(24S(−S 7)(24 − 9)  c) = 24(16)(17)(15)  a)(S  b)(S = 24(24  8)(24  7)(24  9) = 97920ii) Luas segitiga samasisi ABC L== S(S − a)(S − b)(S − c) 228 = 24(24 − 8)(24 − 8)(24 − 8) = 24(16)(16)(16) = 98304iii) Luas segitiga samakaki ABC L== S(S − a)(S − b)(S − c) = 24(24 − 9)(24 − 9)(24 − 6) = 24(15)(15)(18) = 97200iv) Luas segitiga siku-siku ABC L== S(S − a)(S − b)(S − c) = 24(24 −10)(24 − 8)(24 − 6) = 24(14)(16)(18) = 96768Berdasarkan hasil perhitungan di atas dapat dinyatakan bahwa luas daerah terbesar dari keempat jenissegitiga tersebut adalah luas segitiga samasisi = 98304 .202 Kelas VII SMP/MTsDISKUSI !Diskusikan dengan temanmu, apakah jika keempat jenis segitiga memiliki keliling sama panjang,maka luas daerah segitiga samasisi selalu lebih besar luasnya dibanding luas daerah segitiga yang lain Sifat-3 Jika ∆ABC memiliki panjang sisi-sisi a, b, dan c, maka luas segitiga ABC adalah L = L S=(SS−(aS)−(Sa−)(bS)−(Sb−)(cS)− c) S = S1 =K,1=Ka += ba++cb + c 22 L = luas dKaeEraGh IsAegTitAigaN -4.1: SECARA KELOMPOK K = Kelili1n.g Gambarkan persegipanjang ABCD dengan ukuran panjang 10cm dan S = Panjang sleetbeanrga8hcmke!liling 2. Gambarkan diagonal-diagonalnya! 3. Gunting bangun persegipanjang yang telah kamu gambar itu, menurut Kegiatan s4is.i1nya:.SECARA KELOMPOK 4. Guntinglah persegipanjang tersebut menurut salah satu diagonalnya. 1. Gamb5a.rkBaenrbpeernsteugkipaapnajaknaghApBoCtoDngdaenng-paontuoknugraann ypaanngjakngam1u0cpmerdoalenhl?ebar 8cm! 2. Gamb6a.rkAapnadkiaahgokneadl-udaiapgootnoanlngyaan! tersebut mempunyai ukuran yang sama? 3. Gunt7in.gPbearnhgautnikpaenrskeegdipuaanjpaontgonyagnagntteelrashekbaumt.uAgpaamkbaahr pitaud, ammenausriuntgs-imsinaysain. g 4. Guntinglpaohtopnergsaengitpearndjapngattesrasteubsuut dmuetnyuaruntgsableashasrnatyuad9ia0go?nJailknyaay. a, bagaimanakah 5. Berbentuckaraapmakuahmpeontgounkguanr-spuodtountgtaenrsyeabnugt?kaTmuunjpuekrkolaenh?letak sudut tersebut dan 6. Apakah skeebdutakpaontonnagmana tseursdeubtuntyma!empunyai ukuran yang sama? 7. Perhatikan kedua potongan tersebut. Apakah pada masing-masing potongan terdapat satu sudut yang besarnya 90°? Jika ya, bagaimanakah caramu mengukur sudut tersebut? Tunjukkan letak sudut tersebut dan sebutkan nama sudutnya! Kamu sudah mengenal bangun persegipanjang beserta sifat-sifatnya. Untuk mengingat kembali, coba diskusikan kegiatan berikut. KamuJiksuadahsembeunaghenadlabearnaghunppeerrsseeggiippaannjjaannggbeAseBrtCa Dsifatd-siipfaottnoynag. Unmtueknumreuntginsgaalathkemsbaatuli, cobadiskusikadnikaeggoinataalnnybae,rikmuat.ka diperoleh dua daerah yang berbentuk segitiga, yang bentukJika sebudahandauerkauhrapnenrsyeagipsaanmjaan.gKAaBrCenDadpipaodtaonsgumateunursuet gsiatliaghasaytaundgiadgiopnearlonyleah, maskaaladhipsearotuleh duadaerah yasnugdubtenrybeanstuikku-sseikguitig(a,CyaantgaubentBu)k, dmanakuaksueragnitniygaa staemrsae.bKutaredniasepbaudtasseugaittuigasesgiiktiug-a yangdiperolehsiskaula.h satu sudutnya siku-siku (∠C atau ∠B), maka segitiga tersebut disebut segitiga siku-siku.A KL RB (a) C M P (b) (c) Q GambGaarm-4b.a8r.-4B.e14r.bBaegrbaaigJaei JneinsisSSeeggiittiiggaaKegiatan-4.2Perhatikan gambar di atas! Gunakan busur derajat, untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! Matematika 203a. Ukurlah besar sudut-sudut ABC!Kegiatan 4.2 abP..e rhAUatkdicbkau..akrnlaaBAhghadasbgmeaeagkbsiiaaamtihrrgasdasunieydaagautibnatt-eigssg!susaaGdarlyuuadtanhun∆asakgAaasBtsnuuaCdblb!auuehsstuasyrraasdtnuuegdrbauljetaansityna, ar?unsstuaudmkuamtndeyenanjagwsaanamb90ap°ed?retanngyaanan9-0pe?rtanyaan berikut! c. Badg.aimDaennagbaensar dmuealsihuadtut yabnegsalarins?udut-sudutnya, termasuk jenis apakah ABC? d. DengaJnelmaseklaihna!t besar sudut-sudutnya, termasuk jenis apakah ∆ABC? Jelaskan! e. Peer.tanPyeaartnanyaynagansaymaangdesnagmana (dae)nsg/dan(d()au)nst/udk(∆dK) LuMnt.uk KLM. f. Pefr.tanPyeaartnanyaynagansaymaangdesnagmana (dae)nsg/adn(d()a)unst/udk (∆dP)QuRnt.uk PQR. Definisi 4.3 DefiniSsei g4i.ti5ga yang besar salah satu sudutnya 90 disebut segitiga siku- – SSSeeegggiiitttiiigggaaa yySsaaieknnguggi.tsbiagelsaaahyr assaantlguahssuasladatuuhtnssyuaadtuututnsmuypdauu9lt0nd°iysdaeibstueubtmuspet guseiltgidgitiaisgetaubmsuiptkuusle-.sgikituig. a tumpul. – ySaenggitkigetaigyaasnugduktentyigaalasnucdiputdniyseabluatnsceigpitdigiaselbanuctipse. gitiga lancip. – Jenis-jenJisenSeisg-ijteignaisBSeredgaitsiagrakBanerSdifaasta-SrikfaatnnySaifat-Sifatnya R BL A (a) CK MP Q (b) (c) Gambar 4.15: Segi TogaKegiaKtaegniat4a.n3-4.3 Perhatikan gambar di atas! Gunakan busur derajat dan penggaris, untukPerhatikan gambar di atas! Gunakan busur derajat dan penggaris, untuk menjawab pertanyaan-pertanymaaennjbaewriakbutp!ertanyaan-pertanyaan berikut!a. Ukau. rlaUhkbuerslaarhsbudeusat-rsusududtu∆t-AsuBdCu!t ABC!b. Ukurlah panjang sisi-sisi ∆ABC!c. Adba.kaUh ksiusril-asihsip∆aAnBjaCngyasnisgi-psainsijangnAyBaCsa!ma?d. BAedcra.dkaasAhadrskuaakdnuabtheyssaiansrgi-ssbuiedssuiatr-nsAuydaBusCtanmyyaaa,npjgeandpiasa∆nsejAagBnitCgign?ayaapsaakmaha?∆ABC?e. f. Bedr.dasAadrkaaknaphasnujadnugt ysaisni-gsibsiensyaar,nyjeansisamseagiptiagdaaapaAkBahC∆?ABC?g. Berdasarkan besar sudut dan panjang sisinya, jenis segitiga apakah ∆ABC? Jelaskan!h. Peer.tanByaearndaysaanrgkasanmbaesdaerngsaundu(at-)ssu/dd(uht)nuynat,ujken∆iKsLsMeg.itiga apakah ABC?i. Pertanyaan yang sama dengan (a) s/d (h) untuk ∆PQR.j. Daf.patBkaehrdkaasmarukatenmpuaknajannjgensisissi-esgiistiingyaay,ajnegnilsaisnedgaitliagma appeankgaehlomApBokCa?n ini? Jelaskan! Pegrt.anByaearndaysaanrgkasanmbaedseanrgsaund(ua)t sd/dan(c)puanntjuakng∆PsQisRin. ya, jenis segitiga apakah ABC? Jelaskan!204 Kelas VII SMP/MTs 231i. Pertanyaan yang sama dengan (a) s/d (h) untuk PQR. j. Dapatkah kamu temukan jenis segitiga yang lain dalam pengelompokan ini? Jelaskan! Definisi 4.4  Suatu segitiga yang besar salah satu sudutnya 90 dan dua sisinya sama panjang disebut segitiga siku-siku sama kaki. DSefuiantuisise4g.i6tiga yang salah satu sudutnya tumpul dan kedua sisinya– Suastuamseagiptiagnajaynanggdbiseesabrustaslaehgistaigtuastuudmutpnuyal s9a0m° daankadkuia sisinya sama panjang disebut segitiga– SsiukauSt-uesigskeiutgiisgtaiagmayayakanankggi.ssaallaahh ssaattuussuudduutntnyayatulmanpcuilpdadnankemdueamsiisliiknyi adsuaamsaispiaynajanngg disebut segitiga tumspauml saapmaankjaaknig disebut segitiga lancip sama kaki.– Segitiga yang salah satu sudutnya lancip dan memiliki dua sisi yang sama panjang disebut segitiga lancip samakaki.b. Jum2la. hJSuumdulat-hsuSduutdSuetg-situigdaut Segitiga Berapakah jBumerlaaphabkeashar kejutimgalashudutbdeaslaarm sekgeittiiggaa? Usnutudkutmendgaeltaamhuinysaeglaitkiugkaa?n keUgniattuakn berikutini! mengetahuinya lakukan kegiatan berikut ini! KEGIATAN-4.4: SECARA KELOMPOKKERJAKANLAH PADA BUKU CATATAN LATIHANBahan: Kertas, pensil, busur derajat, penggaris, dan gunting.1. Gambarkan tiga buah segitiga seperti gambar di samping. 1 32. Kemudian potong tiap-tiap gambar segitiga tersebut menurut 2 g rusuk-sisinya. 23. Gambarkan sebuah garis lurus g sesukamu. 13 pada tiap-tiap sudutnya.4. Pada tiap-tiap segitiga yang kamu terima, berilah nomor.5. Potong pojok-pojok segitiga-segitiga seperti pada gambar di samping.6. Pilih satu titik T pada garis g. Tempatkanlah ketiga titik sudut dari potongan-potongan kertas tadi pada T. Susunlah ketiga titik sudut tersebut seperti gambar di samping!7. Bandingkan hasilmu dengan hasil teman dalam kelompokmu untuk segitiga-segitiga yang berbeda.8. Kesimpulan apa yang kamu peroleh ?9. Periksa kesimpulan yang kamu peroleh dengan mengukur masing-masing sudut dalam segitiga menggunakan busur derajat. Lakukan dengan cermat. Dengan percobaan yang telah kamu lakukan di atas, kamu telah menemukan jumlah ukuran sudut-sudut dalam segitiga. Jika sudut-sudut dalam segitiga tersebut diletakkan berimpitan, apakah ketiga sudutmembentuk sudut lurus? 232 Sifat-4 Misalkan ABC adalah sebuah segitiga. Jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga ABC adalah 180°. Ditulis  A +  B +  C = 180°. Dengan mengetahui jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga 180°, maka kamu dapat menentukanbesar salah satu sudut segitiga jika besar dua sudut lainnya diketahui. Matematika 205Misalkan ABC adalah sebuah segitiga. Jumlah besar sudut-sud dalam segitiga ABC adalah 180. Ditulisbesar sudut dalam sebuah segitiga 180, maka A  B  C  1800 satu sudut segitiga jika besar dua sudutmpunyai dua buah sudut siku-siku? Jelaskan! Dengan mengetahui jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga 180mpunyai dua sudut tumpul? Jelaskan! kamu dapat menentukan besar salah satu sudut segitiga jika besar dua sudu lainnya diketahui. BERPIKIR KRITISbar di samping! a. Mungkinkah sebuah segitiga mempunyaiad.uaMsuundguktisnikkauh-ssiekbuu?ahJesleagsiktiagna!mempunyai dua buah sudut siku-siku? Jel b. Mungkinkah sebuah segitiga mempunyaibd.uaMsuundguktitnukmahpusel?buJaehlassekgainti!ga mempunyai dua sudut tumpul? Jelaskan!a. Segitiga apakah PQR itu? Jelaskan! Latihan-4.3b. Berapakah besar P? 1. Diketahui PQR seperti gambar di samping!c. Berapakah besar Q? a. Segitiga apakah PQR itu? Jelad. bBAMeapesgaanakrgiamahpS1 aPa.ne? bdabeasnaDaa.gr ikcaQeaiStr?alaePahmgtuiuit=ihig∆aamPbneaQemspnaRaeurkns:ateuhpkQeParn?Qti Rgaimtub?aJredlaisskaamn!ping! R b. Berapakah besar P?e. c. Berapakah besar Q? 80 d. Bagaimana caramu mene b. Berapakah besar ∠P? 2 cm 2 cm besar P dan Q? c. Berapakah besar ∠Q? e. Apakah besar P = besa d. Bagaimana caramu menentukan besar ∠P P Mengapa? dan ∠Q? Q eC. Apakah bBesar ∠P = besar ∠Q? Mengapa?ing sudut dalam  2. Hitung besar masing-masing sudut dalam ∆ABC! C B besar (8x  1) Berapakah besar2∠. AHditaunngbesbaersa∠rC?mJaesliansgk-amna!sing sudut dalam  (4x + 7) ABC! (8x  1) 3. Perhatikan gambar FGH di samBpeirnagpa!kah besar A dan besar A a. Hitung besar masing-masinCg? Jseuladsuktan! G ( 3. Perhatikan gambar ∆FyaGnHg dinsyaamtapkinagn!dengan x, y, z! 39 21 A bes3a.r btaiP.2a.ep3D∆rH-h3FteaiiGtnatuipgkHnagsniutdgumbuasemteesylabgiraaihtnraiggtmaFdbaGiasenpiHsynaaga?drt-iamskauaasmdninupdgti-ensngug!sduaudntuntya, a. Hitung G x, y, z! b. Dengan melich.atDyabennegsgaadrninsmyuaedtaluikhta-asntuddbeuenstgnaayrnas,xu,d∆yu,Ftz-G!suHduittnuya, ∆ F 6539 21 x y z segitiga apa? b. GDHenJgiatnu smeegliithigata baepsaa?r sudut-sudutnya, J H c. Dengan melidh.atD∆FebnGegsHaarnitumsuseedlguiihtt-iasgtuabdaeupstana?ryas,ud∆uGt-HsuJduittnuya, ∆FGJ itu segitiga apa? segitiga apa? c. Dengan melihat besar sudut-sudutnya, ∆ F 65 x y z J H d. Dengan melihatGbHeJsaitru sseugdituigt-asuadpau?tnya, ∆FGJ itu segitig3a. aSpuad?udt.LDueanrgadnamneSliuhdatubteDsaarlsaumduSt-usuadtuutnSyeag,i∆tFigGaJ itu segitiga apa? Kegiatan-4.6 c. Sudut Luar dpPeaeK3rnn.pegSgaSeiunuardjttdaiauaunntntg-L4aDsun.u6aadlrsauidmstialnSulauaSiaruntdnsuuyeStgaieDtdgiagailtalaiagmmaadSausleaagthuitsiSgueadguittteigryasaenbgutd. ibCeonbtuakpoikleirhkasnisiaspeagkiatihgayadnang KsPeeegngigtiiegarattidaanannsup4de--dPru.pite6pdPPmareieelnmhurRrnapjhaagkaauaYatreknsintsrkssuig,ujtkueaaidakaadgnnnnndigXdtsZaeiseigYnnXus,nXaigdgYsYdldauaaiainsnaZZdtipinnalsesddunluluraiaiaydpdhisrasunaauYatnsnmsdtmuydejXadapgdaalpanilaiZunatildmgitnamggamyg!maalsaa!sdemuenasagandgulitaajtasuaidlhetgaduisghabeiissegttWsiueenigutrgdtiadYsugiuuetkat.itbte?guoryasdtla?e.eanbhCgluaostdm.ibsiabCi eonbtuakpoikleirhkasnisZiaspeagckiZatihgayadnang pikirkan apakah -yanRXgudYsiuZmkaXkYsudipdeernpgaannjasnugdmutendjaaldaimWsYua.tu segitiga? –P–a–. e rhB∠S∠atieiWYskri,aaXX∠pnZYaZ∆k,daaXdidhYp-abcaaeZb..n.l--abrae..pd∠hsKtBKaiaeYBKtsnrseeeneWuXjXaerenYWss∠tadarmasiitZYnXa,uammipWnXmgppntZaaZgppaZgiXdlkpmnkuuuhaZuZahgaalleaullhu,?haa!adrandbbnnhnaba∠jbduualleeasnanadYsnasuhhggiaaXaapdapraWsprsaZununauat.YdYadaWdyy.nuWyXnuaaattaXatlnntZlXaanrguglZamrguZaa?adar?dd∠adrWaapaXlWYpaapXYathYXaXZtZtkXZsZda.k.ukZmaaddan.muumatnuupYderXappoYleeZalerXrmooh?Zlleehh? W Suduct c. teKnetasinmgpuhlaunbuanpgaanyanagntadraapatbeksaamr usupderuotlehluar Sudluutar Wluar a b Y aX b X Y setegnitaignag (huWbuXngZa)ndaanntdaruaa sbuedsaurt dsauldaumt sleugaritiga (XYZ dan YZX)? 206 Kelasd.VIIBSseMergaPipt/iMagTabs(anWyaXkZs)udaunt lduuaarspuadduat dsaelbaumahsesgeitgigitaig(a?XYZ dan YZX)? d. Berapa banyak sudut luar pada sebuah segitiga?4. Pertanyaan Terbuka. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan besar salah satu sudu 4. Pertanyaan Terbuka. apakah ABC itu? Jelaskan! b. KKeessiimmppuuDllaainnkeaatpapahauyyiaasnneggbdudaaaphpaasttekgkaiamtmiguuapApeerBoroClelehdhetentnegtnaatnnagnbgehsuhaburubsnuagnlaagnhanasnaattuanrtsaaur∠aduWbtenXsyZaard1sa8und,∠ustYelXguiZati?rgsaegitiga c. (∠WXZ)adpaankdahuasAudBuCt ditaula?mJesleagskitaigna! (∠XYZ5d. anP∠erYhZatXik)?an segitiga-segitiga pada gambar di bawah ini! d. Berapa banyak sudut luar pada sebuah segitiga? a. Tentukan besar sudut yang belum diketahui! 5. Perhatikan segitiga-segitiga pada gambar bd.i baUwrauhtkianni!dari besar ke kecil besar sudut pada setiap seg Uji Kompetensi - 4.2a. Tentukan besar sudut yang belum dci.ketaUhruuit!kan pula panjang rusuk pada setiap segitig Latihan UjiLatihan UKjoi mKcb.o.pmeUUtrrpuueettkkntaaennsndi-pasr4uili.ab-2e4sp.aa2rnkjaenkgecirlubseuskar sudut tpeardpaansjeatniagpkseegruitsiguak!terpendek! padd.a Bseutaiatlpahsseugaittuigdaugdaaarni teynatnagng hubungan dari hasil b da1. Perhatikan gambar berikut! V 1. 1. PPeerrhhaattiikkaann ggaammbbaarrtbbeererprikiakunutj!ta!ng ke rusuk terpendek!5. Perhatikan segitiga-segitiga pada gambar di d. Buatlah suatu dugaan tentOang h ub4u. nbaPeg.ar tawannyaaTahdneaTniernrtbiuiu!khkaa.ansibl ebsadrasnucdudtiyaatnags!belum diketahui! 45 VbDapi.ak keatahhUuiAsBrebuCutiatkhu?saeJgneiltaidsgkaaaAnr!BiCbdeensgaanrbkesear skaleahcsialtubsuedsutanyras18ud, suegtitipgaada 35 35 O 5. cPe.r hatikUsanersteuigatitkipgaa-snseegpigtiugiatliapgadpaaa!gnamjbaanr dgi Nbsawisaih ipnia! da setiap segHitiga (3) 45 45 30 304 5 (1) a. UTUte7d Berrrunup5atttaukuknrakajaiannannt(dygl3pbaakrueaisel)habnarreugssspsauuuardkntkuajetaetetnryrkugpapeencngaidrldubnbeuseekuUjlsg!kuaamran(psadua2giddnkau)etkttapseheaeudtniiaa!sptsiaestsniiaepggtisteiehggraSiuptigbdea2a!nur8i dnyTegankag!n 3d0ari (i) (i) (ii) (ii) (iii) (iii) N b. c. d. (1) 75 S d.30Bhuaatlashisluabtu dduaganan ctendtanigahutbausng!an dari hasil b dan c di atas! BH eitrubabne.. gnbalBtH.a.u ehiktrubb aneBHepgnsaelitaakutrruhkabsnhbeaugepntdsilatauaakuprthak-syhtbuaiatdaenipausgptaas-bykretaeigasanluihpugtdimstgbeuiaeagdtlipduiytkimi-agetaanitdtaaagdihpksiub?easiteta!ealhgsuu?imit!i(g2dai)kdeitaahtausMi?! 135 (46) 0V Qa. OTb. P HF 45 28 CBaB2 teaaa.rrgs aid2c?alp...aimahdCdckaBCB.ai.ntaa aeaanishrrgrslaaiaia?alkjlMptBsBiamiuaaimauhamahhekapd,anpargln6bihiunaha-lnaa,u.hattpikjigidibluaadamlaa!umhaUpkuin,nnlaaabhgaarscc,nhuhsaue,dipbunatgdpbauadjkkuniunad,uptaa1angamictdan3sgathltapuadn5alliarPadaannaahadpuhhdcnattu-ckiiittpltaaebibdaiapardappneuuaptpauca-asan-kdiatdsstapieeigaa?aarssdgpapuptuuiatisdtniaaddsisuauepgauespgdta-autgtiti-udtnidaitilaulptgatiitpaitaa-nasgdtnpcsairdlaaeacimaaippgsilndsppaeicsakptiiemigminapaeggpidgpiat6dtpataa!iisinadu0dggsedtgiaa?aaiga!aadpittiati6-Qaiastgp.it?6aa-aMspt.i? sUaj6spei.e(rakp1gUsUu).aeeirtugrrkitkidgtutAa1ai7ian3i5gt5nlbPbaBakdhleFeiaabdrr=ehiinsiakkrl8basuau,nedthuB!stp(ad2Cabra)Nlanem=sj6susa0ea5dgnir,StuQgigdtasarTjidukunaasd3d10lAuiuab1ekFmCr0ti(-k3ar)nd=usGpaesa7nuglj.aakintgUmnirgyusa1au1sk(04-jer)uiGsgkukaintyiadgibaerikan panjac.d.2. seperti berikut! bjse.ipkeratDi beEdrikiub=t!e1r5ik, aEnF p=a1n8ja,ndgansiDsiF-s=is5i.nya seperti DB 3ei.krab p3e..it.kaabaD2DShi.dDB.ra uie aa3ekiKbikprabaleuspeaar..etitDSitt(htkkaakgii2eSpDh)iashaira5atubenhapui37Knbi0gpuajajius.aar°ea3tkeittstnkn(,tk5kkgdaieigi)aas6aiaUemsagtnhnrnid0hsguiurabacgjt°aeajseu32...ika.eg,ulnk5gbdtanmainkidkaemtash-iibA∡DXneaamrgssud:uengnena22BEYssSsagegu(bubantemi7gi2niekrt)=gp=bo=i0=bmrgengssliena°yauao2te91s8ge2n(.aidnbnbatigg025?n,ie,jrugu)boarba,gBJtYkstsl-!ne,ueoEeagtslCdnebMZgs∡nuaoFuguasrdlktesktcR=r=u-o!s=rnaeastesMunnnugnb54g=u!d1asgyuie,c,duputsa8knt4idtedau!gk3gn,aag0?aaatacyMdind-pntna(aissa,iag3tlieaus?eieAanXac∡)dnedrhgc(asCggiDZuTtilie5ieatai)tb0rhiFtcn==ps=guie5gya,ta=b07356a?a-ud..0s0,5tee67.n,dg0.gde i7ana,t.ningdaU g7aad7.nnacrbacmUj0ababcUaui.7..d.kl..reabcabe.mrat0u∡.b a..... llkautrakiehehiDAX∡∡h∡∡X.aatXl:kbnr:kiEBYSAaADXnhiuYeASt=p=a===kaBY=asEt91n8t2n2u!05a,=p,j0==a,B=Y7=trn=,Ea,pCZg∡∡90F2n2s2a8R==Bj1=r0u,uj0in,54,==1,5sak,d,uY8jY4Bdd1,nk∡,,aa0ua,a2dZnn0ZCEgn∡sa,t∡YeAnX∡-,ggFb=sCD∡ZRTi==BteuriFC====gs=u4sa=d73=455=i-=a..s,s05s3u4,e,1.u0rgdi4t0did18nktai0saga,2synacdennu.d.0,asg∡b,∡Xdae∡eAXDXi∡ran,iuZtgk=C=diZu∡ZtTgi7D8ta-=t00as=jil=Ci=F,=g,kau-3∡∡ash7a8dY.E3==e5b:-.0ue==.gs0s4a5t53eir0n0t0.gsi ,yu,g∡id∡atuFaZit-=gs=ub5acd8d0e0u..2tnr5∡b∡yi5akeXDuritk==u78t 00ji,,k∡∡a3. bes Y= E= panjatsneigsrirsnueysbuaku?-trJbueds.lueakns∡nkgyAaaan?n!=Jem2la0esklai,hn∡!aBt p=a1n2ja0ng, ∡sCisi=- 40 d. ∡ D = 80, ∡ E = 50, ∡ F = 50 8. Mungkinkah dapat dibentuk sebuah segitiga, jika 4. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan besar salah satu sudutnya 18, segitiga apakah ∆ABC dised2ia5k4an lidi dengan panjang seperti berikut? itu? Jelaskan! a. 11 cm, 12 cm, dan 15 cm. b. 22654ccmm,, 3 cm, dan 6 cm. 255 c. 10 cm, 13 cm. d. 5 cm, 10 cm, dan 15cm. Matematika 207dapat dibentuk sebuah segitiga, jika disediakan lidikut? a. Tentukan luas dari tiap-tiap bangun!5apcamt d.ibentuk sce.b6uachms,eg1i0tigcam, ,ji1ka3 bdc.imseB.dainagkaunnlmidainakah yang mempunyai luas terbesar?mu.t? di sc9a.. m6dbKcp. mai5enwl,cigal1mhia0nad,gcda1masl0leaa,ghc1ime3221m22c,2bapmc.d..cmRaa.mtBTe.neanP.1nniQ5tgmRucuSkemnmap.nmpadluauanaaygskaadami ahsbraayitruatindaligpem-mtibaeapmr bpkaaunrntgoyunani !luas te2r5bcemsar? cgmam. barPamQb, arSdRi,saPmdSp. i5ncgmad, a1l0ahcm212,2d.cRamnSe.n1bpmi5eacmernmmmeja.mbonRutgpiafutrnubyesmurabaikeinsnnayattaunuk2ly5epmacenmbrgsa.ergRbkieearndrbiteeonannkgtuaannk  25 cmQ, SR, PS bermseopteifrtibeprabdeantduiksapmeprsienggi. Bdeernagpaanka.ahTentukan luas dari tiap-tiap bangun! caram8u. dPeenngyaenlidpiaknajnan. gMsuenpSgekrtiinpmbkeaarhiekndmualjtp?auabRntadugsibaekntratuurksmtsouebankuiannhyysaaeagnnitgig2aty5,ijadikcnaamdgkis.etdeRibarkeeparnnablikideaianik?tuankb. Bangun manakah yang mempunyai luas terbesar?RS?caramu a. 11 cmP, 12 cm, dasne15pecmr.ti padc.a6 cmd,i10Qscamm, 13pcimn. g. Berap1a2k. aRheni mempunyai satu lembar karton 25 cmSS?? Kebli.linP2gcsmeg,i3-4cPmQ, RdaSnp6la1udcam3ag..saBmkbeaarrprdtiikosainmrdp.QKyi5nrcgamiantd,igsa1l0ahtcmi2d2, dacamkn.1t5ecmr.pakai1?4. bermotif berbentuk persegi dengan ? aa. . TenTtueknantupkaannjanpgaPnQjPa, neSgrRh,PaPtQSik,aSnRd,aPeSradhaSsnegRiQtiRg!a I dan I I. 9 . Ppmeaernhmjaabntiugkaatrnusmduaakeinnryaaahn 2sye5gacnimtgig. aRbeIerndbiaeannktIuaInk. Bseapnedritni gpkaadna lduiasaImdpainnglu. aBserIaI.pakahamping! B anbgb. .u dBnaangBPaRmQiamQgR!aanaSaink1m?a3haa.nkBaaekhraphBiykaccianaarrdrnaKmaingmurgiuktmiasmneelmunagpshIiutdunannyglauluiaassII. Je l askaJlenul!aasskkaarnt!on yang tidak terpakai? Imping! Ban gunc. mmeBnagnehirtaaunkpgaalkuhaashPPyQelauRrnhSa?sagtPikmQanReSmd?aperuaPhnyseagiitiga I danQII. II 8. 1P0en. ycPe.liedriBkhearana.ptMaikkuaahngnlkuainsgkPaaBQhmRadSanbp?daatirndigbdekinatusnkalsmuebaupsaihnIsgedg!aitnigaBl,ujaiaknsa gdIiIus.endJieaklaanslkidai1n3!. Berpikir Kritis x x 1d0e.nPlaug.eaJmarnseh1apl1ateaatncrinskmbajkaae,knnas1gaan2grsh!?acemmpJeey,blradtaaisarbknndeag1rin1i5ks!4aumcm.tm?Pep. meinrghp!auBtniackny.a6ganucinmgl,mau1ma0ancsbamka,tar1eh3bryebcamreni.kgsaumrte.?mpunyai BPearnhdaitnikgakInandaluearashI segitiga I dan II. dan luas II.IIJelaskan! b. 2 cm, 3 cm, dan 6 cm. d. 5 cm, 10 cm, dan 15cm. I II x 9. Keliling segi-4 PQRS pada gambar di samping adalah 22 cm. x a. Tentukan panjang PQ, SR, PS x x (b) dan RQ! 14. Perha(tcik)an gambar beSrikut.R 151.4 3.P5Peerrhhaatitkikanangagmabmarbbaerrikbuet.rikut. (b) b. Bagaimanakah (c) car(abm) u (c) Q (a) menghitung luas PQRS? P c. Berapakah luas PQRS? 30 cmx . 45 35 M 35 45daadlaahla4h04c10m0.1c1lP.2u1m.ear.sh ab.Dat..eit1k2r5iBTkebDteaeeanrnishbtkauuegriken?akattumneaJKkleiphbllaiaauannpsrgjikaaKdknakagiKnhes!LrlauMimslKuxikapnLdiMganKl3g?a∆Lh!0xMK4B0!LacMnmMg(.iu)andmaMalanahKk4ah0 yang mempunyai (iii) (ii)2x  5 30 45KLMLM? ? 11. Diketahui bangun-bangun seperti berikut. L (i) (ii) (iii)ukKLKML!M! a.(2ix) H i5t2uxngla5h be(siia)r sudut yang b(eiiliu) m diketahui!peepretirbtiebriekru1i2tk.. uabtD...i1k25 BTetee(anbaarh12b5)t..uueiknTBkatuenekelnip(lraatiabn)unpgjeakaknnaagKtnhuLrukpMsLKuakbaeaaLnd...pMjaaKla?anLLkh(bfeHBBgbMa4..).(0heeb!ist)rrciumsba∆BsBBnipe.eKgeae∆nagrrglkLtKiabautaaMpiheLikghmnaM?bakatjaueupad!Knskmhaiak(aakrcjlaut)apasah(mhahcus)kx?tddlaiahuauhhupta2tbd-xyistMuauaiupan5adp-ggsutaiustbanedlpegaulansiuttnecmligatgiapniartdabcciaaebfpdig...i....k paiakedap dBHBBsteatataHBdBeaidaeeaiightitdtarrgueesaiauikibautapta?arrtnsapieueiagbai-gp?mantt!nsatpleikat-iasa?uagadanathhnukpihlikptauadab-uaakjapitehuutpska!ihasmeatahsasbkga?pjrleaeuaphisghhtssmuualiiaeatdbdgtkirgliuunauaaagptniacshhta-gyduiistapagiuidtddannidapauuagiuptaptdastabaanei-yltessgatdtalaaa?uniiuasrtatncdmia?agpigupsatdk?tispbdieaeklaidepaegdualtn-aituaatatchitmisiaiugs?appuipa!d-ptudiataidpasleagnictiipga di atas? -tiap pada tiap 12. Diketahui bangufn.-baBngaugnaismepaneratki abherihkuubt.ungan a2n5t6ara kde. duaBasguadimutanalkaanhciphupbaudnagatniaapn-ttiaarpa kedua 11. Diketahui bangun-bangun seperti berikut. L sudut lancip pada tiap-tiap segitiga di segitiga di atas? (b)(b) (c) (c) atas? 16. Carilah nilai a, b, dan c pada tiap-tiap segitiga di 257 257 15. Carilah snailmaipai,nbg, !dan c pada tiap-tiap segitiga di samping! (a) (b) (c) 125 3a 2b c 3c 13. Reni mempunyai satu lembar karton bermotif 2b 257 c berbentuk persegi dengan panjang sisinya 2a 35 2b (iii) 2kbea5rrbtcoemnnty.uakRnsgeenptiiedraatikkpataendrpamadkieabmia?bwuaaht.2Bm5e6araipna2akn5a6hylau1na6gs. 256 (i) (ii) Kritis Berpikir Diketahui segitiga dengan besar sudut-sudutnya adalah 50, 60 dan 70. 208 Kelas VII SMP/MTs a. Sebutkan jenis segitiga tersebut! Mengapa? b. Dapatkah kamu menggolongkan segitiga tersebut dengan melihat panjang19. Misalkan segitiga ABC adalah segitiga samasisi 24. Pada ∆ ABC dengan siku2 di A terdapat titik D dengan panjang sisinya 1. Dari titik A,B dan dan E sehingga AD = DE = EB, jika panjang C sebagai pusat, dibuat lingkaran dengan jari- jari 1. Berapakah luas daerah irisan dari ketiga CD = 221 cm dan CE = 521 cm maka lingkaran tersebut? hitunglah luas ABC ?20. Diketahui segitiga ABC dengan  C = 90°, panjang sisi miring AB = 10, BC = a, dan AC = b. Tentukan nilai a + b terbesar.21. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di A dengan AB = 30 cm dan AC = 40 cm. Jika AD adalah garis tinggi dan E adalah titik tengah AD, maka nilai BE + CE adalah ...22. Pada segitiga ABC yang tumpul di C, titik M 25. Diketahui dengan panjang sisi adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di 25. Dteiknegtaahhumia∆siAnBg-Cmdaesninggansispianjang sisi AB = AdCibuat titik titik E. dari M, ditarik garis memotong BC yang tegak lurus di D. jika luas segitiga ABC =teBrbCen=tuk10 cm. meladleumi itkitiiakn tseentegrauhsntyiaap.-tteianptukan jumlah adalah 54 satuan luas. Maka luas segitiga BED adalah ... syisaingACte,rbAeBnt,udkadnanBkCeldiliibnugayt atnitgikteArb1e, nBtu1,k.dan 26.C1 sehinagdgalaahtesrebgeintitguak s∆amAa1 kBa1ki dCe1ndgeamn ikian seterusnmyae.mtepnutnuykainpjaunmjalanhg seismi u1a2 pcamnjdaindgalsaimsi segitiga23. Pada sisi SU, TS, dan UT dari ∆ STU dipilih yang ter?bentuk dan keliling yang terbentuk. 26. ∆ABC adalah segitiga samakaki dengantitik P, Q dan RTSb,edratunruUt-Rtur=ut13sehUiTn.gJgiakaSPlu=as14 c. ATBRA=PBECSIUdaMn BC = 30 cm. Persegi EFGHSU, TQ = 1 memMpuanriyakiiptaantjeamnguksiasni 1k2ocnmsedpi ddaalnamsi∆faAt-BsCifa. t trapesium 2 kehBideurappaankadhanluabse∆rbAaEgFai? konsep dan sifat-sifat tersebut kit memecahkan masalah. Perhatikanlah masalah berikut! segitiga STU adalah 1 satuan luas, berapakah Masalah-9 luas segitiga PQR? Sebuah model kerangka perahu dibuat dari seng berbentuk per ditarik menjadi bentuk trapesium siku-siku seperti gambar berik AO D 2m 1m B pm C Jika panjang OB = 1 m, panjang AB = 2 m dan panjang BC luas persegi panjang sebelum dijadikan model perahu? Alternatif Penyelesaian Pandang gambar segitiga ABO. Dengan memanfaatkan Dalil Pythagoras diperoleh: AB2 = AO2 + OB2 Matematika 2093. TRAPESIUM Mari kita temukan konsep dan sifat-sifat trapesium dari situasi nyata kehidupan dan berbagai konsepdan sifat-sifat tersebut kita gunakan untuk memecahkan masalah. Perhatikanlah masalah berikut! Masalah-4.7 Sebuah model kerangka perahu dibuat dari seng berbentuk persegipanjang yang ditarik menjadi bentuk trapesium siku-siku seperti gambar berikut.Jika panjang OB = 1 m, panjang AB = 2 m dan panjang BC = p m. Berapakah luas persegipanjang sebelumdijadikan model perahu?Pandang gambar segitiga ABO.Dengan memanfaatkan dalil Pythagoras diperoleh:AB2 = AO2 + OB222 = AO2 + 124 = AO2 + 1AO2 = 3AO = 3 mPanjang AD = AO + OD. Karena panjang OD = BC, maka AD = AO + BC. Sehingga diperolehAD = 3 + p.Dengan demikian luas persegipanjang mula-mula sebelum dibuat model kapal adalah (p + 3 ). MasalMaahsa-la4h.-811: Diberikan 6 (enam) buah lingkaran dalam sebuah trapesium ABCD sama kakiDpainbjearnikgaAnD6dp=(eaend5ngaraa.mtnrBa)upjlakienrtsiigki-kujaaamnrriabanardhddawealnaanghlaup6naarsnj2adj(raai6n-ejgr–aarhAi r)yD!adna=glad5mira.srBseibruuakadthiakldaaahner6barha2h(t6rwa–paπels)u!iuams dAaBeCraDh syaamnagkadkiai rdsairn D C r 5r AO B210 Alternatif Penyelesaian KKealarsenVaII ASMBPC/MDTsadalah trapesium sama kaki maka AOD adalah 900. Dari gambar dapat diamati bahwa OD = 4r, DC = 6r dan AD = 5r. DenganKarena ABCD adalah trapesium samakaki,  AOD adalah 900.Dari gambar dapat diamati bahwa OD = 4r, DC = 6r dan AD = 5r. Dengan menggunakan dalil PythagorasdiperolehAO = AD2 − OD2 • Pikirkan bagaimana menentukan panjang OD = 4r dan DC = 6r. = (5r )2 − (4r )2 = 25r2 −16r2 = 9r2AO = 3rKarena ABCD adalah trapesium samakaki, luasnya adalahL = AO × OD + DC × OD = 3r x 4r + 6r × 4r = 12r2 + 24r2 = 36r2 Ingat kembali pelajaran bidang datar di sekolah dasar, bagaimana menentukan luas daerah lingkaran?Luas 6 lingkaran berjari-jari r adalah 6πr2.Luas yang diarsir = daerah trapesium – luas daerah lingkaran = 36r2 - 6πr2 = 6r2 (6 – π).Dengan demikian luas yang diarsir pada trapesium ABCD adalah 6r2 (6 – π). Di dalamDikedhaidlaumpankseehhiadriu-phaarni, tseerhdaarpia-thbaarni,yatkerbdeanpdaatyabnagnmyaekmiblieknidpaermyaunkaganmbeemrbielniktuik trapesium.Mispalenryma,upkearamnubkeaanntukkaptrlaapmepsuiu, mpe.rmMuiksaaalnnysai,sipteasrmseupkeartainpakdaapglaammbpaur ,bpereirkmutuiknai.an rusuk tas seperti pada gambar berikut ini.Selain benda-benda di atas, dapatkah kamu menemukan benda-benda lain yangSelabinerbbeenndtua-kbetrnadpaesdiiumata?s,Sedkapaaratknagh, pkearmhuatimkeannegmaumkabnarb-genadmab-baernbdearilkaiunt!yang berbentuk trapesium?Sekarang, perhatikan gambar-gambar berikut! DC LK HGA BE F I MatemJatika 211 F FGambar-gambar di atas merupakan trapesium dalam berbagai bentuk. TrapesiumSelain benda-benda di atas, dapatkah kamu menemukan benda-benda lain yang berbentuk trapesium? Sekarang, perhatikan gambar-gambar berikut! DC HG LK A BE F I J F FGambar-gamGabmarbadri-gaatmasbamr edriuaptaaskmanerturpaapkeasniutrmapedsaiulammdablearmbabgerabiabgeainbtuenkt.uTk.raTpreaspieusmiummemiliki sifat yang lebihkhusus dibamndeminiglikdiensigfaatn syeagnigemlepbaiht ykahnugsulasind,iybaaintduinmgemseigliiekmi pteaptatyasnatgu lpaainsa, nygaistiusi yang sejajar. memiliki tepat satu pasang rusuk yang sejajar. Mari kita tuliskan pengertian trapesium sebagai berikut. DefiDneifsiini4si.74.5 TrapeTpsariusaampnegsaidruaumlsauhkadsseaegljaaiehjmarsp.eagti yeamngpamt eymainligkimteepmaitliskaituteppaasat nsgatsuisi sejajar.AABdCa 3DjemneisrutAtrrpadapaapekes3aisunimujecmnosie,snmytotabrhiaatpruaternstagriupa.mpeTse,riasuypiumaeismtiuussmatamrmaAapBakeksCaiakuDkmi,im,ttserraaraumpppeaeasksikiauuanmkmci,oEsntiFrtkoaGuph-eHtssriiaukpmmues,eidrsuuiamkpnuas-tkasrimaakpnuae,kcsadoiukaninm,toshetmrabpaersainugm. Tsriakpue-ssiiukmu,dan trapesiutrmapeIsJiKumL mEFeGruHpamkaernupcaoknatnohcotnratophestiruapmessiuemmbsaikrua-nsgik.u, dan trapesium IJKL merupakan contoh trapesium sembarang. Sifat-5i) TJrubameprel21Siask))ihifuuaTTsmtt-.urrU3aadmppnueeettss-uiimsuukummildimumkletieebmbmteieiihpllriiadkkteiijksteseaaulptadtauasutnntps-asyaptusauada,dpunaatgspygaeasnanirgrshgiirsaubstsseeieurjkdjkaaaejsjaknearajr.taajssnauur.apdatuudtat-rsgauaprdiesusistuejmapjaaarddbaaelsaathrrna1yp8ae0so.ium ABCDii) Untuk lebih jel1a8s0Dn0y. a perhatikaCn sudut-sudut pada trapesium ABCD berikut. Perhatikan bahwa DC • PikÖÖirkÖÖ asnuAbdABa∡∡uhd++wtaBAdan++aDCla∡∡D==mDC1a1s8==8de00a110p0l88aih00ha00k261 ∠A dan ∠D adalah sudut A B dalam sepihak A TrapBesium sama kaki memiliki sifat berikut. 1. Memiliki tepat satu pasang rusuk sejajar.• Trapesium sam2.akaMkiemmeimlikiliikdiusaifdatiabgeorinkault.bidang yang sama panjang. 1. Memiliki3t.epaStusdatuut-psausdaungt asliasisnseyjaajsaar.ma besar. 2. MemilikiTdruaapdeisaiguomnaslikbiud-asnikguymanegmsialmikai psiafnajtanbge.rikut. 3. Sudut-sud1u.t aMlasenmyialiskaimtaepbaetsasra.tu pasang rusuk sejajar.• Trapesium sik2u.-siMkuemmeimlikiliiksiesbifuaathbesruidkuutt.siku-siku. 1. Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar. 2. Memiliki dua sudut siku-siku. Kita akan mencoba menemukan rumus luas trapesium sama kaki melalui langkahKita akabnermikeunt.coPbearhmateinkeamnutrkaapnesruiummussalumaas ktraakpieAsiuBmCDsa!makaki melalui langkah berikut. Perhatikantrapesium samakaki ABCD! Da C tinggi russiuski yyaanngg sseejjaajjaarr I t II III A Eba b F ba B 2 2 Perhatikan trapesium sama kaki ABCD di atas. Tinggi trapesium t satuan, panjang212alas KbeslaastuVaIInSMdaPn/MpTsanjang rusuk atas a satuan. Akan ditemukan luas trapesium dengan langkah-langkah berikut.Perhatikan trapesium sama kaki ABCD di atas. Tinggi trapesium t satuan, panjang alas b satuan dan panjang sisi atas a satuan. Akan ditemukan luas trapesiumPerhatikandetrnagpaensliaunmgksahm-laaknagkkiaAhBbCerDikudti.atas. Tinggi trapesium t satuan, panjang alas b satuan dan panjangsisi atas a1s)atTuaarnik. Agkaarins dtietgeamkulkuarnuslupaustutrsa-puestuiusmdadrei ntgitaikn lCankgekaFh-dlangdkaarhi DberkikeuEt. (lihat1) Tarik2g)aPgriaosmttoebngagarlkadhiluasrtaeusgs)i.tpiugtausA-pEuDtusddanariptiintidkahCkakne Fdadlaamn dbaerinDtukkebEer.lawanan dengan2) PotonglashegsiteiggaitiBgFaCAsEeDhindgagna tpeirnbdeanhtukkanpedrsaelagmi pabnejnantugkAbEeDrlFawataanuaCn EdBeFngsaenbasbegtiittiikga BFC sehingga terbentukApbeerrsiemgpipitandjeanngganAEtiDtikF Cat,aduaCnEtiBtiFk sBebdaebngtiatink tAitibkeDrim. Speitcadreangleanngtkiatipk lCih,adt an titik B dengan titik D. Sgeacmabrarlebnegrikkaupt!lihat gambar berikut! a ba D 2P t II I t sisi yang sejajar III E a+ ba B 23) Kamu sudah ketahui sebelumnya cara menentukan luas persegipanjang. Perhatikan persegipanjang ELBuaPsD3tr!)apLKpeeuarsamhisuaumdtiakse aurnadhaph=etrrasklepuegeatisasiphupaumneirjassneeggbi=eEplaulBunmPajsDannyp!gaerEsceBagrPiaDpamnejannegntEuBkaPnD luas persegi panjang, = panj=anpgan×jalenbgar lebar = (a + =b(a−+a b 2×at)  t ) L uaL sutarsapdeaseiruamh =t rap2easi+u=2m=b22−aaa+22=b×bta×a2tbt  t dapasStiesdibisauitamahsputarl,kadapnae:nsiutimnggsianmyaat kaki, dengan panjang alas b,Secara umum maka luasnya adalah: tS,elbuuaashdtarnapkLees=liiluinmagns2ybaamaatdkaalkaih, :denKga=nApBan+jaBnCg+aClaDs b, sisi atas a, dan tingginya + DA L adLal=ah(alu+a2bs) ×t trapesiumK, =KABad+aBlaCh +kCelDilin+gDA daerah trapesium. AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisi trapesium. L adalah luas daerah trapesium, K adalah keliling trapesium AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisi trapesium. ConCtoonhtoh44..54 242Tentukan luTaesndtuaknankelulialsindgantrkaeplielisniugmtraypaesnigumdiysaanjigkdainsapjiakdaan gpaadmabgaarmbbearribkeurti!kut! tinggi sisi yang sejajar I 6 II III 28 2 1. Bangun apa saja yang menyusun trapesium sama kaki di atas? 213 2. Bangun I dipindah ke samping bangun II sehingga menjadi gambar di bawMaahtematika ini. Bangun apakah yang terbentuk? Persegi panjang, bukan? 8tinggi sisi yang sejajar I 6 II III 28 21. Bangun apa saja yang menyusun trapesium samakaki di atas?2. tBearbn21eg..nutnuBBkIaa?dnniPggpuueinrnnsdeaIapgdhaiipkpsaiaennjsajdaaaynmhagnpk,giebnumgskaebamnanypn?uignsugunnbItaIrnasgpeuehnsiinuIgmIgsaseahmmineagngkjaaadkmii gedanimjaatbdaias?rgdami bbaawr adhi ini. Bangun apakah yang bawah ini. Bangun apakah yang terbentuk? Persegi panjang, bukan? 8 6 II I sisi yang sejajar III 103. Apa3k.ahAlupaskabhanlugausnbpaenrgsuengippearnsejagni gpaitnujasnagmitaudseanmgaandelnugaasntrlaupaesstiruampe?sium? Rumus Rluuams ubsanlugausnbpaenrgsuengippearnsejagni gpasnujdaanhg ksuitdaakhektaithauki,etyaahiutui,:yaitu: PanjangP×anlejabnagr = 1le0b×ar6==1600sa6tu=an6l0u,asse,ksaerkaanrgancgobcaolbaahlahhithunitgunlugalsuapserpseergsiegpaipnajannjagng tersebut dengan rumus: tersebut dengan rumus: = –juL–m–=–la–jh–um–si–lsa–ih–y–sai–ns–ig–ys–ae–nj2a–gj–sae–rj–a×–ja–tri–n–gt–gin–i ggi L 2  –1–0L–+=––11–00–2×106 6 L = 2 –2–0–=×2260=160 = = 10  6= 60 ×6 = 60 2Ternyata dari kedua perhitungan tersebut hasilnya sama, yaitu 60. Hitunglah Ternyatalduaasritrkaepdeusaiupmerdheintugnagnarnumteurssebbeurtikhuats.ilnya sama, yaitu 60 satuan luas. HitunglaLh l=uapsatnrajapensgiusmisidyaennggasnerjuamjaursbtienrgikguit. 2 L L = =8 2–j 1u–2m––la–6h––s=i–s–i22–y0–a2–n–g6–s–=e–j1a–j0–a–r–×6––t=i–n6–g0–g–i 8 + 12 20 L = ––––– × 6 = –– × 6 = 10 × 6 = 60 2 2 243 Hasilnya sama dengan luas persegipanjang yaitu 60. Ke liling trapesium = 2 (6) + 2 (10) Keliling trapesium = 2 (6) + 2 (10) = 12 + 20 = 32 satuan. 214 Kelas VII SMP/MTs4. Jajda.rgJeAnjJaAnRg GENJANG Mari kitaMteamriukkiatan tkeomnsuekpadnaknosnifsaet-psidfaatnsesirftaatr-usmifauts slueartsadraunmkuelsilliungasjadjaarngeknejlainlign.g jajar genjang. MaMsaasallaahh-1-24.9Seorang penjual kue memiliki jenis kueSeorangbeprebnejnutaulkkupeermseegmi ilipkainjeannigs kdueengbaenrbelnutausk Gambar 4.16: Kuedaerah dpaeerrsaehgippanerjamnugkadaennngayna l9u6as cdmae2.rahSepbeerlmumu-kaannyaku9e6 cmte2.rsSeebbuetlumdkijuuealt,ersetbeurtledbiijhual, dtearhleubliuhdahulu dipdioptootnogn-gp-poototonngg ddaalalamm ppoototonnggaann kkeecciillberbentubkerdbaeenrtauhkjajjaarjgarenjgaenngjadnegngadnenpganajnangpasnisjiannyga3 cm darnu5suckmn.ySaet3elcamh ddipaonto5ngc,mb.anSyeateklkauhedbieprobteonntugk,pjtdiaoadjetaaorrkagnhbegneajbbpsrjaneabaeojanbenrtargbonaydg.netnaaeungBynkktaajseuadiknrsknaaakgpeura6skaaejeuhladbuejajaaakansrbyjuyaeaderasnrga.kigbgeeseer6naannTtjihkajtdeaunuarpnkgeknke.g?uyrT.embaetjeuraarnBkbjyyaaeearaandrtnnataaugprkdkgiauaerednithaijylhadeauaarnasanasikgsihglldaerah kue yang tidak berbentuk jajaranDiketahui:genjang?Kue berbentuk persegipanjang. Luas permukaan kue adalah 96 cm2.Potongan kue berbentuk jajargenjang dengan ukuran sisinya 3 cm dan 5 cm sebanyak 6 potong. Ada sisakue hasil potongan yang tidak berbentuk jajargenjang. Diketahui:Ditanya:Kue berbentuk persegi panjang. Luas permukaan kue adalah 96 cm2.Berapa lPuaostoknugeaynankguteidbakerbbeernbteunktukjajaajrarggenjangg? dengan ukuran rusuknya 3 cm dan 5 cmsebanyak 6 potong. Ada sisa kue hasil potongan yang tidak berbentuk jajargenjang. Ditanya: KiKtaBAiitenlatrteeairnrpnptaareetlritupafarspesiketdaannasyeieMkrlaaeahnssaaymilaaahann-sg4a.tl9iadhdaakdlaabmlearmgbaemgnbatuamkr bsjeaabrjaasrgeagbieabngejraaiinkugbt?e.rikut. Kita interpretasikan masalaDh d3aclmam gamCbar sebagai berikut. 5 cmD 3 cm C b 5 cm a 4 cm A bd a 3 cm 4 cm 4 cmA d B 3 cm 4 cm B 4 cm 4 cm Perhatikan jajargenjang ABCD. Panjang AD = 5 cm dan AB = CD = 3 cm. Dengan demikian panjangBD dapat ditentukan dengan memanfaatkan dalil Phytagoras. 265 Matematika 215Alternatif penyelesaianPerhatikan jajar genjang ABCD. Panjang AD = 5 cm dan AB = CD = 3 cm.Dengan demikian panjang BD dapat ditentukan dengan memanfaatkan dalilPhytagoras.b2 =ba22=+ ad22 + d2⇒ aa2 == bb22-–d2d2 ⇒ a22 = 5522-–332 2 • ApAakpaahkaah =a =-4- 4bebrleakrlua?kuJ?ika tidak, beri ⇒ a22 == 2255-–99==1616 alaJsiaknamtui!dak beri alasanmu! ⇒ aa22 == 1166 ⇒ aa == 44 aattaauu-a4 = -4 DC • Luas segitiga ABD sama dengan luas segitiga 3 cm ALCuDas. segitiga ABD sama dengan 4 cm • BlBuAAaCsCDsDeagdiataliagdhaalsAaehbCuDahs.epbeurasehgippaenrjasnegg.iA BA • Appanakjaanhgs.egitiga BAD sama dengan segitiga AACpDak?ah segitiga BAD sama dengan segitiga ACD?Berdasarkan gambar di atas dapat dipastikan bahwa luas jajar genjang ABCDll uuaaasbssademdparBbaeleaaerermhrnddatauheus3knkapagreaxkajrnaansnejs4agalguritpu=aaagmspne1objdnata2ajonraengnrdcgagBimahnAa2atC,pkadesuDasreled.saheayJhpagiandani1gtigp2gldaubainaepcsrjamlabsudnet2aain.gkestaruKBankphaAebdrjreCaaamnhejDawraura.gkahaeJadlnjaauaajdnjaaaisnerggslnduaeaaAatnemusBjraaCnjhpapDgojojataatarodjodanagnarglgeglaaaenhahnnjna1j3an2kkn×guguceme4AA2=BB.yyCaaKC1nn2DaDggrcesmnaam2,aasdeadheiennnggagamnapobtoenrgbaenntkuuke yjaajnagr bgeernbejanntugk, d6ma=earka7ah2ljcuamjaasr2g.keensjaenlugr, umhaakna pluearsmpuekrmaaunkakaunekuyeanyagngbebrebrebnentutukkadjaalajahr1g2e×nj6an=g7a2dcamla2h. 12 x jajargenjangApDabikileatalhuausi sleulausrushelpuerrumhupkeaarmn kuukeaaadnaklauhe9a6dcamla2h, m9a6kcamlu2a.s permukaan kue yang tidak berbentuk daerahj ajLLarug=Baesen9bj6paeenr–ragmp7aa2udkak=laoaa2hon4:rdLkcinum=aet29.y6tai–tnikg72tpi=adda2ak4 bcemr2b.entuk jajar genjang adalah L. bidang koordinat dapat membentuk bangun datar. Misalkan kitabmaeMnBmgeiuibslniaeklraikapkapaonakoakrkhdiotiynaoaarnmdtgiteniatmaikktainlAtiik(tte-ii4krbk, epo-3nao)tdru,dakBi?n(b2Tai,dte-nat3tni)utg,ikkCakn(Ao4l(o,u-r4a4ds),,inn-Dy3aa(t)!-, 2dB,a4(p2)a.,tB-m3il)ae,mtCitbi(ke4-n,tit4tui)kk, Ab,aBng, uCn, ddaantaDr.dihubungkan, D(-2, 4). Bilatitik-titik A, B, C, dan D dihubungkan, bangun apakah yang akan terbentuk?Tentukan luasnya! y 6 D(-2, 4) 5 C(4, 4) 4 3 2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x 1 2 34 5 67 -1 -2 A(-4, -3) -3 B(2, -3) 266 -4 -5 -6 Gambar 4.17: Jajargenjang ABCD Pada Koordinat Kartesius Gambar 4.17: Jajar Genjang ABCD Pada Koordinat Kartesius216 PadaKeblaidsaVnIgI SkMoPor/MdiTnsat terlihat bentuk jajargenjang yang terbentuk dari titik-titik A, B, C, D. Luas jajar genjang = panjang alas  tinggiPada bidang koordinat terlihat bentuk jajargenjang yang terbentuk dari titik-titik A, B, C, D.Luas jajargenjang = panjang alas × tinggi = 6 ×7 = 42 satuan luas Dari berbagai masalah dan beberapa gambar jajargenjang di atas, kita temukan beberapa ciri-cirijajargenjang antara lain:1) memiliki dua pasang sisi sejajar;2) jumlah sudut yang berhadapan adalah 180o;3) memiliki dua pasang sudut yang sama besar.Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kita tetapkan pengertian jajargenjang sebagai berikut. Definisi 4.8Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sudut-sudut yangberhadapan sama besar. Sekarang mari kita temukan rumus luas jajargenjang. Perhatikan jajargenjang ABCD di bawah ini! D C DC t B tAE a E aB FLangkah-langkah menemukan rumus luas jajargenjang adalah sebagai berikut.• Tarik garis tinggi DE dan beri ukurannya t satuan sebagai tinggi jajargenjang.• Potong segitiga AED dan pindahkan ke kanan menjadi segitiga BCF. Hal ini dapat dilakukan karena jajargenjang memiliki dua pasang sisi sejajar.• Perhatikan panjang AB pada jajargenjang ABCD sama panjangnya dengan EF pada persegipanjang EFCD.• Berarti luas jajargenjang ABCD sama dengan luas persegipanjang EFCD.• Luas persegipanjang EFCD = panjang × lebar = a × t satuan luas.• Berarti luas jajargenjang ABCD = a × t.Misalkan ABCD adalah jajargenjang dengan panjang alas a, tinggi t, dan l adalah panjang sisi yanglain, maka : L=a×t K = 2a + 2l .L adalah luas daerah jajargenjang dan K adalah Keliling jajargenjang.L adalah luas daerah jajargenjang dan K adalah keliling. Matematika 217Masalah-4.10 Diketahui sebuah jajargenjang ABCD dengan panjang p cm, lebar s cm, dan tinggi t cm. Jikahasil bagi tinggi dengan lebar jajargenjang ABCD adalah 4 , buktikanlah luas jajargenjang ABCDadalah t ( 3 t + p) cm2. 5 4Bukti: FCPerhatikan gambar jajargenjang ABCD berikut. D st p AE BPandang jajargenjang di atas! Pandang jajar genjang di atas!Luas persegipanjang BEDF = BE × DE. ALLEuuDaass=psee12grsiAteiEggia×pEanDAj.aEnDg BEDF = BE × DE.Luas segitiga ∆ = AE × ED.DDMaearnkigajaalnjuaamrsgeeknnegjdagunuagDDMnsaAeaeaknrBgkaigiCnatjaiaDgtlnejuaaodamr∆rasegpemAkeaneEtnagdDdjgPauiuhpnadnyagasstanateAkigg∆kaBoiantrBnCiagtCsAeDa,FoEkrdiae=tadamApaCplaEaFaethDrPddoh2aildepyn(ahat12nAa:sgtDAiokE=raBan×sCB,AECFkD.Eiat)ad==aplCAearFhEo2ld×eah(En:DAA. DE = BC. = AE × ED. × ED) ADA2 Ds22 == AAAEEE222+++DDt2EE2 2 s2 = AE = AE2 + t2 = s2 t2 AEJik a == ,s2m−akt2a 4s = 5t J4isk=aA4s5Est=t = 554t =→, mssas==k2a544tts2= 5t == s52 t−t22  4 t 2 AE 4  4  A E == 3  5 t 2 −  4 t 2 4 4   4  t AELLu as ke=s=eAlu43Ertu×haDnEja+jaBr Ege×njDanEg ABCD dapat ditentukan sebagai berikut.Luas keseluruhan jajarge=nj(a3ngt A×BCt)D+d(app×at td)itentukan sebagai berikut.L = AE × DE 4+ BE × DE (+3(pt =( 3 tt ×= tt) 4 × tp)) 4 J=adt i( l43uat s+jpa)jar genjang ABCD adalah t ( 3 t  p) cm2. 4Jadi luas jajargenjang ABCD adalah t ( 3 tt + p) cm2. 4 (terbukti)218 Kelas VII SMP/MTsUji Kompetensi - 4.3 Latihan 4. Diketahui jajargenjang ABCD dengan titik E dan F merupakan titik tengah garis AB1. Perhatikan gambar trapesium berikut! dan CD. Tarik garis AF, BF, DE, dan CE. a. TentuUkajninKilaioxm. petensi 4.3 Bentuk segiempat apakah yang terbentuk b. Tentukan nilai y. c. Tentu1k. anPelruhatsiktaranpgeasmiubmar.trapesium berikut! ditengah-tengah jajargenjang tersebut? Jelaskan N 17 cm M a. Tentukan nilai x!jawabanmu! y 14 b. Tentukan ni5la.i y!Diketahui keliling suatu jajargenjang adalah x cm 700 c. Tentukan luas tra5pe6sciumm2.diBsuamatplianhg!ukuran jajargenjang tersebut (yang memungkinkan)! L K 23 6. Misalkan a merupakan alas jajargenjang PQRS2. Diketahui luas suactmu trapesium adalah 60cm2. dengan t merupakan tingginya. Jika 2t = 3a,Jika has2i.l pDeimkebtahguiai nlupaasnsjuaantug striaspi-essisuimseajdaajlaarhny6a0cm2. Jiktaenhatusikl apne:mbagian panjangadalah 3 rcumsu,k-druasnuktisnejgagjairntyraapaedasliauhm 1cm5 , cdman, tin ggi tara. pespiuamnja1n5gctmd,atleanmtukaan 5 b. panjang alas dan tingginya jika luastentukan ppanjjaannggmmasainsgi-nmga-sminagsriunsgukssiesjiajsaer jtaerjsaerbut! jajargenjang tersebut 864 cm2.tersebu3t!. Diketahui trapesium PQRS dengan PQ sejaja7r. RSD, iskerettaashuudiutjaPja=rgseundjuatnQg. ABCD. Titik P dan Q3. Diketahui TtruanpjuekskiuanmbaPhQwRa SPSde=nQgRan! PQ sejajar terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurusRS, sert4a. sDudikuettaPhu=i jsaujadrugteQnj.anTguAnjBuCkDkadnenbgaahnwtaitik E danAFC.mJeirkuapapkaannjatintigk AteDng=ah13 cm, AC = 25 cm dan garis AB dan CD. Tarik garis AF, BF, DE, dan CEl.uBaesnjtaujkarsgeegniejmanpgattaepraskeabhut adalah 125 cm2, makaPS = terbentuk ditengah-tengah jajar genjang tersebpuat?njJaenlagskBanQjaawdaablaanhm. .u!. . cm. QR! yang 5. Diketahui keliling suatu jajar genjang adalah 56cm2. Buatlah ukuran jajar genjang tersebut (yang memungkinkan)! 6. Misalkan a merupakan alas jajar genjang PQRS dengan t merupakan tingginya. Jika 2t = 3a, tentukan: a. panjang t dalam a! b. panjang alas dan tingginya jika luas jajar genjang tersebut 864 cm2! 270 Matematika 2195. BELAHKETUPAT Pernahkah kamu mendengar belahketupat? Kata ketupat sering kita dengar saat tiba hari RayaIdul Fitri. Belahketupat adalah salah satu bangun geometri bidang datar. Begitu banyak perma-salahan kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menguasai konsep dan sifat-sifat belahketupat.Rumus luas dan kelilingnya sangat bermanfaat kita pelajari untuk memecahkan masalah. Mari kitatemukan konsep dan sifat-sifat belahketupat melalui pemecahan masalah matematika dan masalahnyata berikut! Masalah-4.11 Seorang pedagang akan bepergian ke empat kota yang berbeda, yaitu Kota A,B,C, dan D. Kota A dan B dihubungkan oleh sebuah jalan yang lurus dengan jarak 16 km. Tepat ditengahnya ada sebuah kota transit yang bernama Kota O. Kota O berada tepat di tengah Kota C dan D. Kedua kota ini dihubungkan oleh jalan yang lurus, Kota C berada tegak lurus terhadap jalan yang menghubungkan Kota A dan Kota B, jarak kota C dan D lebih pendek 4 km dari jarak Kota A dan B. Kemudian Kota A juga terhubung oleh jalan yang lurus ke Kota C dan D, begitu juga Kota B terhubung oleh jalan yang lurus ke C dan D. Jika rute perjalanan pedagang adalah, A ke C, C ke O, O ke D, D Ke B, B ke O dan terkahir dari O kembali lagi ke A. Maka berapakah total jarak tempuh dari pedagang tersebut? a10 8 km 8CO D 6 k6m 8 km B Gambar 4.17: Peta Perjalanan PedagangAB = 16 km, maka AO = OB = 8 km,CD lebih pendek 4 km dari AB sehingga CD = AB – 4 = 12 kmmaka CO = DO = 6 km. 220 Kelas VII SMP/MTsCO tegak lurus terhadap AO, dan CA terhubung dengan jCaOlantelguarkulsu,rmusatkearhbaedralpakAuOd,adlailnPChAyttaegrhourbausnugndtuekngan jalan luru hukum Phytagoras, yaitu:segitiga siku-siku COA yaitu: CA2 = CO2 + AO2 CA2 = 62 + 82 √√ CA = 36 + 64 = 100 = 10 Oun, tuOkjaAr√a.kMBaCka,JDppAiekeedBnadagargdauganatnaenngcpgamAerramDejamyelaamyilnnaiiagkilntiiuksjAaaimr1jaa0akradtkCekimmd,taC.eppmuJahitpk=huaOah1,s0ri=ulO+tu1e6n0tp+u+eDk6r6j,ja+aD+lra1an06ka++CnB8B, B,+B8D=Od4a,8nkAmDengan cara yang sama didapat h√asilA  C, C O, O  D, D  B, B10D+en8g+an8 =ca4r8a kyman.g sama didapat hasil untuk jarak CB, BD dan AD yaitu 10 km.Jika rute perjalanan A  C, C  O, O  D, D  B, B  O, O A. MakapedMagaansgamleamhili-k4i j.a1r2ak tempuh= 10 + 6 + 6 + 10 +M8a+sa8la=h-4185 km. belah ketupat ABCD berada di dalam persegi Setengah bagian dariSMeSatesntaeglnaaghha-hb1a4bgaiagniadnardiabrielabhelkahektueptuapt aAt BACBDCDberbaedraddaisdedpaielardtmiatleaprmelirhsaetgpiapdaangjaamnbgaFAr bCerEikFut. Eseppeerrstei gteiprlainhjaatnpgaAdCa EgFamsebpaFerrbtietreirkluihta. t pada GaEmbar 4.18. DJika AC = 3 dan BC = 1 , buktikan luas daerah yang diarsir BD 4 CE 3 D A O 6 cm Cadalah 336 cm2. x cm A O 6 cm C B GamGbaamr 4b.a1r84:.1B8e:lPBaeehrlasKehgkeiteputaupnpjaaattnddgaann Persegi Panjan x cm B Buktikan luas daerah yang diarsir adalah 336 cm2, jika AC  3 da BD 4 Gambar 4.18: Belah Ketupat dan PeBrusketgi:i Panjang Diketahui:BBukutki:tikan luas daerah yang diarsir adalah 336 cm2, jikBAaDCBADC43  3 dan O6BCBCCCE334 1 .  OC 3 4 3DBikuektatih: ui:  Diketahui: BO 4 x4 AC  3  3x = 24 BD 4  x = 24 BC2 = OB2 + OC2  6 3 BC = 82  62 = 100  10 BO 4 Ingat kembali materi yang ananda pelajari di sekolah dasar ten  3 × BO = 24 cara menentukan luas sebuah segitiga, jika panjang alas  BO = 8 diketahui.BC2 = OB2 + CO2BC = 82  62 = 100  10 sIneIcngbaguarataahtkmeksmeeegmbniatebilngaitalmui,kjmaiatkenaartieplryauinaaynjsaagnngskgeaabmkluaausamhdpuaenlspaetjegialnriagtijigagdriaini,sydeaijkidoksielakakehotpaldaahanhusjiaa.drnatgseanrataltnaesgntbadnaaggnaibmatigannagiagmicnaaynraaa menentukan luasdiketahui.Luas ∆BOC = 1121122(O6C(6COx×x8×8)O)BBO Luas  BOC = = = = 224 cm2 Matematika 221 251Diketahui BC = 1 CE 3BC 1 → CE = 3 × BCCE = 3 → CE = 3 × 10 → CE = 30 cmAC = 2 × OC =2× 6 = 12 cm.Luas persegipanjang ACEF = AC × CE = 12 × 30 = 360 cm2Luas ∆ ACD = 1 (AC) × (OD) 2 = 1 × 12 × 8= 48 cm2 2Luas daerah yang diarsir adalah luas daerah persegipanjang ACEF dikurangi luas segitiga ACD ditambahluas daerah segitiga BOC.Misal L adalah luas daerah yang diarsir. (terbukti)L = 360 – 48 + 24 = 336 cm2Jadi luas daerah yang diarsir adalah 336 cm2. Dari berbagai model belahketupat pada masalah di atas kita temukan ciri-ciri belahketupat, sebagaiberikut.1) Belahketupat dibentuk dari dua pasang sisi yang sejajar.2) Semua sisinya sama panjang.3) Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus.4) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.Berdasarkan keempat ciri belahketupat di atas, mari kita tuliskan pengertian belahketupat. Definisi 4.9 Belahketupat adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan kedua diagonal bidangnya saling tegak lurus.B erdasarkan definisi di atas, dapat diturunkan beberapa sifat belahketupat yang lain sebagai berikut. Sifat-6 i) Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. ii) Semua sisi belahketupat adalah sama panjang. iii) Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. iv) Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar. Dua ruas garis saling tegak lurus, apabila perpotongan kedua ruas garis itu membentuk sudut 90o.Perhatikan Gambar 4.19 belahketupat ABCD dengan panjang sisi a berikut. 222 Kelas VII SMP/MTs13)) MMeemmiilliikkiidduuaapdaisaagnognarlubsuidkasnegjayjanr gdasnalsinamg taepgankjlaunrgu.s.24)) SDeumaupaarsuasnugksbuedluathykaentgupbaetrhaaddaalaphansasmama apabnejsaanrg. .3) Memiliki dua diagonal bidang yang saling tegak lurus.4) DuaDpuasaarnugasugdaurtisysaanlginbgetrehgaadkapluanrusa,mapaabbeilsaarp.erpotongan kedua ruas garis itumembentuk sudut 900. Perhatikan gambar belah ketupat ABCD dengan panjangrusuk aDbuearikruat.s garis saling tegak lurus, apabila perpotongan kedua ruas garis itumembentuk sudut 900. Perhatikan gambar belah ketupat ABCD dengan panjangrusuk a berikut. D ACIkuti lAAangk===adaad2h2-l(aBiDEd)ndE11g=k==a=h C B A D B C D dan C B E D B E D berikut untuk luas belah ABCD E E men(iei)mukan ketu(ipii)atiIIsinkknegbuugBsBCatutaeiietaeEtgllhkllakaiaa(etnhsehpinmegmgeggkkabrkkibahetaeahiaBtaglth-uliutDali-ipabpklbanAaaBaaaadgtnhtnhakgdwlAwaAagkahahBanaaBmhblClC1G2useubeDaarbDaaigamseslkrairbustdssdisiaetkeagear×bubpuabp4unutat.eaia1Bttanltu9uhahgD:kknhkgBssitCmiietueek.talgakgaeadihnintbtekbmieaiganemgantgeaggua)uniap.iakaenaddadtmdanuaAuulualBkaalakuhCuhmaamDrsna12,e12enbsnlneaeaugjtljlaliiaaaatandisshdgsgikiabgeBdedittnuDutliuianpyaAnahgaa,gtgdbgbksaAiuiua.ne.BamatshuCheagpDi,sasteiteygdggaaaAiiinBtttiBiuDgignCCaaAg,,DaEytyadkadieaitatmununbali bahwa luas• CsAeBBEgEDeil(tCa=pCihgedEEkareehCn(tBaupgt=DpeaiakrnAhta12uanAkdtdBiugak2CranaamDnnsbegtdigaanarimgptsgiabgetianabkryeiBastlaaeDshbabCmeaklgaadi,hnedyankuanagia)tna.umanAneuE!n)kj.daudarniandCuEtain(bGgugaamihnbysaeargsi4ta.i1gm9aa,(,iyia)yiadtuiatnuse(AigiiiEt)i)g.daaBnDA dan segitiga ALEua=sAEECB=D=EAC12 11 1 1 1 =d=2 22 adl2as  tinggi = 2 d1  2 d 2 = 4 (d1  d 2 ) LLuuaassLuaBBsDDdAaCer==ah1212 aalBlaaDss A t=tiinng12gggaiil=a=s 11 ddti11ngg1212i dd=22 12==d14114x((dd1211d2dd=22)) 1 (d1 x d2) 2x2 4 LLLuuuaaasssLLbbuueeaaBllssaaDhddhCaakkeeee=rrttaauuhhp12pabaatetlBAlaAaDsBhBCCkCetD=Ditnu==gp=12gal14laituul=Aa(aadssBs112xCdDBtdB1inD2D=g)A1g2Al+uid+a+=2s14llud1=2u(adadse1s141rax(hddB12B12Dd)DB2CdCD2=)A14+(dlu1axsdd2a)erah BDC dSdSieiaeaSabgbdgeuaobuolaunaanahhahah:llbbbbeeeiidldllaaaaahhhnkngegkLtknuneey=pyttaauautpdpddda1==a=1e1t2tnd1d4dgdddda1aa=(1e2endn2n2.n1d14ddpgddga2(a22a2ndnmnjm12adx)napapgkda+kaa2ansn)i14jsljaluaKiu+(nnandayg=sg114sann(4rayrdyudau,a1as2smxu)auaadkdkdkn2anaa)ylylalaaauhhaasa dan panjang dan panjang dan keliling belahketupat LdLd12aaaaddddaaaallaallaahhhhlluuddaaiiaassggbbooLeennl=laaaLhllh=dpkk1keeede2dr1tttud×au2pa2mpda.a2att ABCD dKan=K4aadKa=la4ha keliling ABCD d1 ABCD dan K adalah keliling ABCD d2 Laaddaallaahh lduiaasgboenlaahlkepteuprtaatmABaCD dan K adalah keliling belahketupat ABCD. da1dadaalalahh ddiiaaggoonnalaplekretadmuaadan d2 adalah diagonal kedua. Mari kita manfaatkan sifat-sifat, rumus luas, dan keliling belahketupat di atas 2u7nt4uk memecahkanMasalah-4.15 berikut. Masalah-4.13 274 Misalkan ABCD sebuah belahketupat dengan luas 24 cm2. Panjang OC = x cm dan OD = y cm, dan nilai x + y = 7. Hitunglah keliling belahketupat ABCD. Matematika 223AO C BPanjang OC = x cm dan OD = y cm, dan nilai x + y = 7 cm. Hitunglah kelilingbelah ketupat ABCD.Alternatif PenyelesaianDiketahui OC = x cm, diperoleh AACC == 22xx cdmandOanDO=Dy =cmy ,cma,kdaipBeDrol=eh2yBD = 2y cm.Luas ABCD = d1  d2 • Apakah ada kemungkinan yang lain untuk 2 nilai x dan y, kecuali 3 dan 4 agar memenuhi persamaan xy = 12 dan x + y = 7 ? Beri 2 x2 y  alasanmu ! = 224 = 4xy 224 = 4xy  xy = 12 2Karena xy = 12 dan x + y = 7, maka x dan y yang memenuhi adalah x = 3 dan y = 4.Untuk segitiga COD berlakuCD2 = OC2 + OD2 = x2 + y2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25CD = 25 5cmKk4Keaa×truree5pnna=aat A2ssee0BttiCicaamDpp.s=sisis4iib×eble5alha=kh2e0tkuecptmuatp.asat msaampaanpjaanngjadnagn dCaDn =C5Dcm= ,5mcamka, kmelaikliangkbeleillainhgkebtueplaaht ABCD adalahContoh 4.5Bcmel.aThCeknoetuntuktpaoanthluP4aQs.R6bSelamhekmetiulipkait panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 15 PQRS tersebut!A lterBnealathifkePtuepnaytePleQsRaSinmemiliki panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 15 cm. Tentukan luasDbealraihkkeegtuipaatatnPQmReSnctearrsielbuuats! belah ketupat, diperoleh aturan sebagai berikut.PenyelesaianDari kegiatan mencari luas belahketupat, diperoleh aturan sebagai berikut. 254Luas belahketupat = ½ × diagonal 1 × diagonal 2 = ½ × 10 × 15 = 75Jadi, luas belahketupat PQRS adalah 75 cm2.224 Kelas VII SMP/MTs= ½ x 10 x 15 = 75Jadi, luas belah ketupat PQRS adalah 75 cm2. f. LAYANG-LAYANG Mari kita temukan konsep layang-layang dari pengamatan situasi nyata6. kLehAiYduApNanG. -SLeAlaYnAjuNtnGya kita manfaatkan berbagai konsep dan sifat layang-layang untuMk amriekmiteacatehmkuaknamn aksoanlsaehp. layang-layang dari pengamatan situasi nyata kehidupan. Selanjutnyakita manfaatkan berbagai konsep dan sifat layang-layang untuk memecahkan masalah.MMaasaslaahl-1a6h-4.14lBraauyndacniangbgekarenegnelcamaynAaaarnagnmanneynmay.bauDasiteapsteeerbltaiuhaghamBmgmalueaambmdryaiabanbrannurbgydaeda-itri.esDnacimaanpteainlaghm. Bmemuedmbiubmauteamt srbaeunbtcuuaahnhkgaanlnadylauaynaagpn-oglataoynnanngygabsaekmpeegbreut-i,samping. Bu1d0i membutuhkan duayapitoutosnegpanjang AB dan sepanjang CD. Titik O adalah bambu, yaitu seOpanjang AB tdeamDnpsaesstaipmdtauinpm.ujBaalnnatgmaembupaCt DdimteapnaatCCD . T2it0ik O adalah s2i0mpul dua buah bambu ini diikat menjadi tegak lurus terhadap AB. Kemudiandua buah bambu ini diikat menjBaduidisamtue.nghubungkan ujung-ujung bambu dengan benang.Bambu CD tepat tegak lurus terhaPdaanpjaAngB.AOKemudian 6B0udi menghubungkanpanujjaunngg-OC adalah 10 cm, panjang OB adalah 60 cm, dan adalah 20 cm. Untuk membuat layangan iniujung bambu dengan benang (garBisupdiutjusg-a membutuhkan kertas khusus layang-layang yangputus). Panjang AO adalah 10 cm,npanatninjaynagakan ditempelkan pada layangan dengan kebutuhanOB adalah 60 cm, dan panjang OCkeratdasaldahibatasi oleh benang. Untuk membuat layangan ini20 cm. Untuk membuat layangan BinuidiBtueldaih memiliki potongan bambu yang panjangnya 125juga membutuBhkan kertas khususcmlaydangu-kuran kertas berbentuk persegipanjang 75 cm × 42layGanagmbyaran4g.19nKanertainygkaa akan ditecmmp.eBlkearnapakah sisa panjang bambu dan sisa luas kertas yangpadalalyaaynagn-glaaynandgenBguadni kebutuhan dkiemrtialiskidoibleahtaBsiudoil?eh benang (garis putus-putus).Untuk membuat layangan ini Budi telah memiliki potongan bambu yangpanjangnya 125 cm dan ukuran kertas berbentuk persegi panjang 75 cm x 42 cm.Berapakah sisa panjang bambu dan sisa luas kertas yang dimiliki oleh Budi?BerAdaltsearrknaantigfaPmebnayr elaleysaangiaann di atas, kita peroleh:AOAB+eOOrd+Bas+OarBCkOa+n+CgOOaDm+b=Oa1rD0la+=y6a10n0g+a+2n60d0+i +a2t02as0=, +1k1i2t0a0cpm=er1o1l0ehc:mSisaSibsaambbaumybaungydainmgildikimi oilliekhiBouledhi 1B2u5d–i 111205=–1151c0m= 15 cmLuas segitiga AOD = × AO × ODLuas segitiga ACD = × 10 × 20Luas segitiga BOD = 100 cm2 = 2 × Luas segitiga AOD = 2 × 100 cm2 = 200 cm2 = × BO × DOLuas segitiga BCD = ==6206×00×L0cum6ca0m2s×2se2g0itiga BODLuas segitiga BCD = ===122122×02××060006Lc0m0uc0acm2smc2sm2e2gitiga BOD = 255 =Total luas kertas pada layangan = 200 + 1200 Total luas kertas pada layangan ==715421004×00040c+mc1m22200Luas kertas yang dimiliki oleh Budi = Luas kertas yang dimiliki oleh = ==3311735551005×0c-4mc1m2402 0Sisa luas kertas Budi adalah Budi=Sisa luas kertas Budi adalah = ===173151705500cmc-m212400DDefeifninisiis4i .48.8 Matematika 225Definisi 4.10 Layang-layang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan dua diagonal saling tegak lurus.Perhatikan layang-layang ABCD berikut! Gambar 4.20 Layang-layang ABCDPerhatikan luas segitiga BAD sama dengan segitiga BCD sebab memiliki tinggi dan panjang alas yang samapanjang. Berarti luas kedua segitiga itu sama besar.Misalkan panjang diagonal BD = d1 dan diagonal AC = d2Panjang alas segitiga BAD = panjang alas segitiga BCD = d1Tinggi segitiga BAD = tinggi segitiga BCD = 1 d2Luas segitiga BAD = 1 alas × tinggi 2 2= 1 × d1 × 1 d2 2 2= d1 × d2 4Karena luas segitiga BAD sama dengan luas segitiga BCD maka luas segitiga BCD = d1 × d2 4Luas layang-layang ABCD = luas segitiga BAD + luas segitiga BCD = d1 × d2 + d1 × d2 = d1 × d2 44 2Sebuah layang-layang dengan panjang sisi s1 dan s2, maka luas dan keliling L = d1 × d2 K = 2S1 + 2S2 2d1 adalah diagonal terpanjang dan d2 adalah diagonal terpendek.L adalah luas layang-layang dan K adalah keliling.226 Kelas VII SMP/MTsContoh 4.7 Perhatikan layang-layang PQRS berikut. Jika panjang PQ adalah 18 cm dan panjang RS adalah 12 cm,berapakah keliling layang-layang PQRS tersebut? S 12 cmKeliling layang-layang PQRS = jumlah panjang sisi-sisinya = PQ + QR + RS + SP PR = (2 × PQ) + (2 × RS) 18 cmkarena PQ = QR dan RS = SP, makakeliling layang-layang PQRS = (2 × 18) + (2 × 12) = 60.Jadi, keliling layang-layang PQRS adalah 60 cm. Q Contoh 4.8 Contoh 4.7 Perhatikan layang-layang PQRS berikut. Jika panjang PQ adalah 18 cm dan panjang RS adalah 12 cm,berapakSaehbkuealihlinlagylanygan-lga-ylaaynagngmPeQmRiSlikteirsluebaust?168 cm2. Jika salah satu diagonal layang- layang tersebut panjangnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lain.L = d1 A× dlt2ernatif Penyelesaian L224=x d1 xd2168 = d2 22 4⇒⇒2xd1d222=d21=411268d2 2 168 = = 168  d2 = 14Jadi, paJnajadni,gpdaiangjaongaldyiaanggolnaainl yaadnalgahla1in4 camda.lah 14 cm. Seperti padSaespaaetrtmi epnacdaarisrauamt ums ebneclaahrkiertuumpautsdabnelahyaknegt-ulapyaatndga, ndelnagyaannmg-elnagygaunnga,kdaennrguamnus luassegitigam, keintaggduapnaatkmanenrcuamriulusalsusausastuegbiatinggau,nkditaatadr.apat mencari luas suatu bangun datar. g. Luas Bangun Tidak Beraturan7. LUAS BANGUN TIDAK BERATURANd aeraLhutabsesaertsdrueiakabeunuratt..hyLPapueneargrhsmamdtuiakkeeaanrnauanhbtuyappnaiengrgudmnab-ueebrrkaaanathuagnrutanenyrAsade,nabBpgua, bttd.edaPrintaeeCtnruhtbruaaektnriaiknkdauadntpe. nbagtaandngitpueennr-tsbueakgniagnsautdnueanAng,yaaBnn,gpdemaresnenguCtiupi CCoonnttoohh-34.1.19PerhatikPaenrhbaatnigkuann-bbaanngguunnb-berainkgutuinnib.eHriiktuuntgilnaih. lHuaitsudnagelraahhnlyuaa.s daerahnya. AB C Alternatif Penyelesaan Dapat dilihat bahwa bangun-bangun pada soal merupakan bangun yang tidak beraturan. Untuk menentukan luas daerah bangun-banguMnateymanagtikatidak227 beraturan seperti pada soal, kamu tinggal menghitung petak yang menutupi bangun tersebut. Untuk petak yang tidak utuh, jika petak yang menutupi bangunPenyelesaian Dapat dilihat bahwa bangun-bangun pada soal merupakan bangun yang tidak beraturan. Untukmenentukan luas daerah bangun-bangun yang tidak beraturan seperti pada soal, kamu tinggal menghitungpetak yang menutupi bangun tersebut. Untuk petak yang tidak utuh, jika petak yang menutupi bangun lebihdari setengahnya, maka petak tersebut dihitung satu petak. Sekarang, perhatikan kembali bangun-bangun pada soal. Beri tanda centang pada petak yang utuh danpetak yang menutupi bangun lebih dari setengah bagian. AB CDengan demikian, diperoleh luas daerah bangun A = 12 satuan, bangun B = 6 satuan, dan bangunC = 7 satuan. Uji Kompetensi - 4.4Kerjakanlah soal-soal berikut! e. Berikan alasan yang digunakan untuk1. Diketahui jajargenjang ABCD dengan menggeneralisasi soal butir d! diagonalnya berpotongan saling tegak lurus. 7. Tiga persegi masing-masing panjang sisinya Apakah jajargenjang ABCD dap9a.t juDgaudaikbautakhapnersegi 6decnmg,an10 cm dan 8 cdmanditempatkan se.perti belahketupat ABCD? Jelaskan jawabaCnmaruil!ah nilai padagambar di bawah. Tentukanlah luas2. Tentukan ukuran diagonal-diagonal suatu daerah yang diarsir. belahketupat yang memilikiluas 48 cm2!3. Diketahui layang-layang ABCD mempunyai luas 1.200cm2. Selain itu, ada layang-layang PQRS yang masing-masing panjang diagonalnya dua kali panjang diagonal-diagonal layang-layang ABCD. Tentukan luas layang-layang PQRS!4. Diketahui panjang mpaedanasgliagnhagr-i8m1s9,0.cab.msuianBDdtglauaannCahdgiagb1aurau2gnimaloaachnbnhmaaprl.dneiirlsaseia8gm.i pdisBeninsagignygainaunnni gamnkeodmnigpsruuamnenypadinidagnaenmliunpaiasmyt aesmaisdipaulyanahyna1gi3.2ekmocnmpga2t.ruen layang-layang HIJK Tanpa menggunakan dan luasy layang-layang HIJK tersebut. Badaanldaihng1k3a2ncm2. CaCrialarihlakheklielliinlignngynya!a! hasilnya dengan layang-layang HIJK yang dibuat dengan penggaris!5. Tentukan ukuran diagonal-diagonal suatu layang-layang yang memiliki luas 640 cm2!6. Misalkan suatu persegi diletakkan berimpit di kanan persegi yang lainnya. Tentukan keliling persegi yang terdiri dari: a. 1 persegi 10. Bangunan di samping ini mempunyai empat sisi yang kongruen dan luasy b. Gabungan 2 persegi adalah 132 cm2. Carilah kelilingnya! c. Gabungan 3 persegi d. Gabungan n persegi 228 Kelas VII SMP/MTs PENUTUP Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat-sifat segiemp dan segitiga di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.Kompetensi yang diuji: Menentukan luas segiempat dan segitiga. Indikator:  Siswa membentuk segiempat dan segitiga dari batang lidi. Projek Kasus: Dengan menggunakan batang lidi, potonglah hingga diperoleh batang lidi yang sama panjang. Kemudian bentuklah suatu segiempat dengan menggunakan potongan batang lidi tersebut. Berapa banyak segiempat yang kamu temukan dengan panjang sisi yang sama? Dengan cara yang sama, bentuklah suatu segitiga dengan menggunakan potongan batang lidi tersebut. Berapa banyak segitiga yang terbentuk? Tuliskan hasil temuanmu dari kegiatan di atas, dan temukan hubungan banyak potongan lidi dengan banyak segiempat dan segitiga yang terbentuk, serta sajikan di depan kelas. D. PENUTUP Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat-sifat segiempat dan segitiga di atas,beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut.1. Persegipanjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. Jika L adalah luas, K adalah keliling, p adalah panjang, dan l adalah lebar sebuah persegipanjang, maka: L = p × l dan K = 2p + 2l.2. Persegi adalah persegipanjang yang semua sisinya sama panjang. Jika L adalah luas, K adalah keliling, r adalah sisi sebuah persegi, maka: L = r × r dan K = 4 × r.3. Terdapat beberapa jenis segitiga, yaitu: a. Segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga sama isi. b. Segitiga yang dua sisinya sama panjang disebut segitiga samakaki. c. Segitiga yang sisinya tidak sama panjang di sebut segitiga sebarang. d. Segitiga yang besar salah satu sudutnya 90° disebut segitiga siku-siku. e. Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut segitiga tumpul. f. Segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga lancip.4. Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat satu pasang sisi sejajar. Jika L adalah luas, K adalah keliling, b adalah panjang alas, a adalah sisi atas, t adalah tinggi sebuah trapesium, maka: L = (a + b)× t . 25. Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Misalkan L adalah luas, a adalah panjang alas, l adalah lebar, dan t adalah tinggi sebuah jajargenjang, maka: L = a × t. Matematika 2296. Belahketupat adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan kedua diagonal bidangnyasaling tegak lurus. Sebuah belahketupat dengan panjang sisinya a dan panjang diagonal bidangnyad1 dan d2 maka luas dan kelilingnya berturut-turut adalah: L = d1 × d2 dan K = 4 × a. 27. Layang-layang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan dua diagonalbidang yang saling tegak lurus. Sebuah layang-layang dengan panjang sisi s1 dan s2, serta panjang adalah: L= d1 × d2diagonalnya masing-masing d1 dan d2, maka luas dan kelilingnya berturut turutdan K = 2s1 + 2s2. 28. Jika L adalah luas, K adalah keliling, t adalah tinggi, a adalah alas sebuah segitiga, dan ketiga sisinya adalah p, q,dan r, maka: L = 1 (a × t) dan K = p + q + r. 2 Konsep segiempat dan segitiga yang telah dibahas di atas, kita peroleh dari situasi nyata kehidupan.Konsep-konsep ini sangat berguna bagi kamu dalam pemecahan masalah yang ditemukan dalam kehidupan.Selanjutnya, kita akan membahas tentang perbandingan dan skala. Perbandingan adalah suatu relasi atauhubungan antara dua atau lebih ukuran-ukuran atau objek-objek dalam satu kumpulan. Objek-objektersebut dapat berupa segiempat, segitiga, gedung, pohon, dan berbagai objek yang dibandingkan ukuran-ukurannya. Dengan demikian, pengetahuan kamu dari apa yang sudah pelajari sebelumnya mulai darihimpunan, bilangan, garis dan sudut, serta segiempat akan bermanfaat dalam mempelajari perbandingandan skala.230 Kelas VII SMP/MTsVPerbandingan dan SkalaA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Pengalaman BelajarMelalui proses pembelajaran perbandingan Melalui proses pembelajaran perban-dan skala, siswa mampu dingan dan skala, siswa memiliki1. memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, pengalaman belajar • terlatih berpikir kritis dan berpikir dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kreatif; keguanaan matematika, yang terbentuk • menemukan ilmu pengetahuan dari melalui pengalaman belajar.2. memahami konsep perbandingan dan pemecahan masalah nyata; menggunakan bahasa perbandingan • mengajak untuk melakukan penelitian dalam mendeskripsikan hubungan dua besaran; dasar dalam membangun konsep;3. menggunakan konsep perbandingan untuk • dilatih bekerjasama dalam tim untuk menyelesaikan masalah nyata dengan menggunakan tabel dan grafik. menemukan solusi permasalahan; • dilatih mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka; • merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari.Istilah Penting: • Perbandingan • Rasio • Skala • Perbandingan Senilai • Perbandingan Berbalik NilaiB. Peta Konsep 232 Kelas VII SMP/MTsC. MATERI PEMBELAJARAN1. MENEMUKAN PERBANDINGANAmatilah situasi keluarga Pak Somat pada gambar berikut! Gambar 5.1: Keluarga Pak SomatKita peroleh beberapa informasi dari gambar di atas, yaitu Pak Somat memiliki 2 anak laki-laki dan 1perempuan. Selanjutnya, terdapat 2 perempuan dan 3 laki-laki dalam keluarga Pak Somat. Pada gambarjuga tampak ada 2 gelas warna kuning dan 3 gelas warna krem. Sekarang cermati pernyataan berikut!• Banyak anak perempuan berbanding banyak anak laki-laki dalam keluarga Pak Somat adalah 1 berbanding 2, ditulis 1 : 2.• Banyak perempuan berbanding banyak laki-laki dalam keluarga Pak Somat adalah 2 berbanding 3, ditulis 2 : 3.• Banyak gelas warna kuning berbanding banyak gelas warna krem di atas meja adalah 2 berbanding 3, ditulis 2 : 3. Masalah-5.1 PENSIL Siti mempunyai 8 buah pensil, sedangkan Putri mempunyai 16 buah pensil. Bagaimanakah perbandingan banyak pensil mereka? Matematika 233Perhatikan penyajian banyak pensil Salsa dan pensil Putri pada gambar berikut! Gambar 5.2: Pensil Salsa dan PutriUntuk menjawab Masalah-5.1 di atas, lakukanlah kegiatan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaanberikut ini!Kegiatan-11. Berapa banyak pensil Salsa?2. Berapa banyak pensil Putri?3. Pensil siapakah yang lebih banyak?4. Berapa kali lebih banyak pensil Putri dari pensil Salsa?Kita dapat mengatakan banyak pensil Salsa dibandingkan dengan banyak pensil Putri adalah 8 banding 16yang biasanya ditulis sebagai 8 : 16.Perbandingan tersebut bisa disederhanakan menjadi 1 : 2Apa yang dapat kamu simpulkan?Masalah-5.2 GAJAH DAN KAMBING Gambar 5.3: Kumpulan Gajah dan KambingPerhatikan Gambar 5.3, kemudian lakukan kegiatan berikut!Kegiatan-21. Berapa banyak gajah?2. Berapa banyak kambing?3. Tentukan perbandingan banyak gajah dengan banyak kambing! 234 Kelas VII SMP/MTs4. Berapa banyak seluruh kaki gajah?5. Berapa banyak seluruh kaki kambing?6. Tentukan perbandingan seluruh kaki gajah dengan seluruh kaki kambing!7. Apakah perbandingan banyak gajah dengan banyak kambing sama dengan perbandingan banyak seluruh kaki gajah dengan banyak seluruh kaki kambing?8. Apa yang dapat kamu simpulkan?Amatilah berbagai perbandingan di atas, cobalah memecahkan masalah berikut! Sebagai latihanmu: ♦ Pak Abdul adalah seorang pedagang sapi dan kambing. Perbandingan banyak sapi dan banyak kambing yang dimiliki Pak Abdul adalah 3 : 5. Setelah dihitung, ternyata banyak sapi yang dimiliki Pak Abdul adalah 300 ekor. Dapatkah kamu menentukan banyak kambing yang dimiliki Pak Abdul dengan memanfaatkan perbandingan yang diketahui? Masalah-5.3 RESEP RENDANG Bahan : 1. 5 kg daging 2. 20 butir kelapa 3. 1½ kg cabe di giling halus 4. ½ kg bawang merah di giling halus 5. 1 ons bawang di giling putih 6. 2 ons lengkuas di giling halus 7. ½ ons jahe di giling halus 8. 2 lembar daun kunyit 9. 5 lembar daun jeruk 10. 2 batang serai Cara membuat : 1. Aduk bumbu yang sudah dihaluskan dengan santan kelapa. 2. Masukkan daun-daun. 3. Panaskan sampai mendidih 4. Setelah santan mendidih, masukkan daging. 5. Aduk sampai menjadi rendang.Kegiatan-31. Berapakah perbandingan daging dengan kelapa?2. Berapakah perbandingan cabe dengan bawang merah?3. Berapakah perbandingan lengkuas dengan jahe?4. Jika ibu hanya akan membuat 1 kg rendang, berapakah banyak kelapa yang dibutuhkan? Berapakah perbandingan daging dan kelapanya?5. Apa yang dapat kamu simpulkan dari permasalahan di atas? Matematika 235Cermati bahan-bahan dan porsi bahan pembuatan rendang di atas, jika kita ingin membuat rendang denganbahan daging sapi yang tersedia adalah 200 kg, berapa banyak kelapa dan berapa kilogram cabe yang haruskita sediakan?Perhatikan langkah-langkah pemecahan berikut.Misalkan x adalah banyak butir kelapa yang harus disediakan.Banyak daging berbanding banyak kelapa = 5 : 20.Banyak daging yang tersedia adalah 200 kg, maka:200 : x = 5 : 20 ⇒ 200 = 5 x 20 ⇒ 5x = 4000 ⇒ x = 4000 5 ⇒ x = 800Jadi banyak butir kelapa yang harus disediakan untuk membuat rendang daging sapi 200 kg adalah 800butir.Sebagai latihanmu:♦ Coba kamu tentukan berapa kg cabe yang harus disediakan untuk membuat rendang dengan 200 kg daging? Berlatihlah pasti kamu bisa!Dari beberapa masalah di atas kita tuliskan konsep (pengertian) perbandingan sebagai berikut. Definisi 5.11. Perbandingan adalah hubungan antara ukuran-ukuran atau nilai-nilai dua atau lebih objek dalam satu kumpulan.2. Rasio adalah suatu bilangan yang digunakan untuk menyatakan sebuah perbandingan ukuran atau nilai dari dua atau lebih objek. Contoh 5.1– Jika umur Budi 15 tahun dan umur ayahnya 40 tahun, maka hubungan antara umur Budi dengan umur ayahnya adalah 15 berbanding 40. Rasio antara umur Budi dengan umur ayahnya adalah 15 : 40.– Jika kecepatan maksimal sepeda motor A adalah 80 km/jam dan kecepatan maksimal sepeda motor B adalah 100 km/jam, maka hubungan antara kecepatan maksimal sepeda motor A dengan kecepatan maksimal sepeda motor B adalah 80 km/jam berbanding 100 km/jam. Rasio antara kecepatan maksimal sepeda motor A dengan kecepatan maksimal sepeda motor B adalah 80 : 100.Ingat kembali pengertian pecahan yang sudah kamu pelajari, coba pikirkan apa perbedaannya denganperbandingan! Sebelumnya kamu sudah ketahui bahwa pecahan adalah suatu bilangan, setiap pecahan dapatdinyatakan dalam bentuk pembilang dan penyebut. Pada pecahan 1 , 1 sebagai pembilang dan 3 sebagai 3penyebut. Pada pecahan 2 , 2 sebagai pembilang dan 5 sebagai penyebut. Pecahan desimal 0,12 berartipembilang 12 dan penyebu5t 100 (sebab 0,12 = 12 ). Dengan demikian besar bilangan untuk pembilang 100dan penyebut dapat kita bandingkan.236 Kelas VII SMP/MTsPecahan dapat diartikan sebagai perbandingan. Pecahan merupakan perbandingan sebagian dengankeseluruhan banyak benda dalam suatu kumpulan. Pada Gambar 5.1 di atas, terdapat 2 gelas warna kuning 2dari 5 gelas di atas meja. Pecahan 5 dapat dipandang sebagai perbandingan 2 dari 5 gelas. Mari kita perhatikan lebih lanjut! Kotak warna ungu ada 4 dari 7 kotak yang ada, ditulis 4 . Dapat juga dikatakan bahwa 7 “kotak warna ungu” berbanding “semua kotak” adalah “4 berbanding 7”, ditulis 4 : 7. Banyak kotak warna ungu 4 buah dan kotak kuning 3 buah. Dapat dikatakan kotak ungu berbanding kotak kuning sebagai 4 : 3. Ditulis, ungu : kuning = 4 : 3. Perhatikan kembali gambar berikut! (a) (b) Gambar 5.4: Kumpulan Hewan dan Kursi Dalam kumpulan hewan pada Gambar 5.4a, terdapat 2 ekor burung dan 3 ekor tikus. Perbandinganbanyak burung dengan banyak keseluruhan hewan adalah 2 berbanding 5 atau 2 : 5. Perbandingan banyaktikus dengan banyak keseluruhan hewan adalah 3 berbanding 5 atau 3 : 5. Perbandingan banyak burungdengan banyak tikus adalah 2 berbanding 3 atau 2 : 3. Banyak kursi pada Gambar 5.4b adalah 5 kursi.Bagaimana perbandingan banyak kursi berkaki tiga dengan banyak kursi berkaki empat. Bagaimanaperbandingan banyak kursi bertangan dengan banyak kursi tidak bertangan? Contoh 5.21. Tentukan nilai a, b, dan c, jikaa a : b = 5 : 3, b = c, dan c – b = 18. Penyelesaisan b = c dan c – b = 18 ⇒ c – c = 18 ⇒ c = 18 ⇒ c = 18 × 5 = 90 c = 90 dan b = c ⇒ b = × 90 ⇒ b = = 72 Jika a : b = 5 : 3, maka 3a = 5b Nilai b = 72 dan 3a = 5b ⇒ 3a = 5 (72) = 360 ⇒ a = 120 Dengan demikian nilai a = 120, b = 72, dan c = 90. Matematika 2372. Jumlah uang tabungan Rina dan Rini adalah Rp 2. 000. 000,00. Uang Rina 3 dari uang Rini. Berapa rupiah masing-masing uang Rina dan uang Rini? 5 Jumlah uang tabungan Rina dan Rini = Rp2.000.000 Jumlah perbandingan uang Rina dan Rini = 3 + 5 = 8. Uang Rina = × 2.000.000 = 3 × 250.000 = 750.000 Uang Rini = × 2.000.000 = 5 × 250.000 = 1.250.000 bagian dari banyak kelereng3. Selisih kelereng Tono dan Toni adalah 20 butir. Banyak kelereng Tono Toni. Berapa banyak kelereng Tono dan Toni? Kelereng Tono : Kelereng Toni = 2 : 3 Selisih perbandingan = 3 – 2 = 1 Jadi, Kelereng Tono = × 20 = 40 butir Kelereng Toni = 3 × 20 butir = 60 butir 1 Pertanyaan Kritis Berdiskusilah dengan temanmu dan bertanyalah pada guru! 1. Apa perbedaan 12 , 1 ,dan 1 : 2? 2 2. Apakah pecahan pasti merupakan perbandingan? 3. Apakah perbandingan pasti merupakan pecahan? 4. Apakah rasio pasti merupakan pecahan? 5. Apakah pecahan pasti merupakan rasio? 6. Apakah rasio pasti merupakan perbandingan? 7. Apakah perbandingan pasti merupakan rasio? Semua pecahan adalah rasio, tetapi tidak semua rasio adalah pecahan. Contoh, rasio 12 dengan 0bukan suatu pecahan. Pecahan 6 , memiliki pembilang 6 dan penyebutnya 7. Sehingga, perbandinganpembilang dan penyebut dapat di7nyatakan sebagai rasio 6 : 7. Cermatilah! 1. Pecahan adalah suatu perbandingan antara beberapa bagian dengan keseluruhan banyak benda dalam suatu kumpulan. 2. Perbandingan dua atau lebih objek biasanya dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana. Sifat-5.1Misalkan a, b, c, d adalah bilangan bulat positif. Jika a : b = c : d, maka bc = ad.Sebagai latihanmu:♦ Tentukan nilai a, b, dan c, jika a - b = 24; a : b = 5 : 2; dan c = 1 (a + b) . 7238 Kelas VII SMP/MTsContoh 5.31. Jumlah pembilang dan penyebut sebuah pecahan adalah 60. Perbandingan antara pembilang dan penyebutnya adalah 5 : 7. Tentukan pecahan tersebut! Rasio pembilang dengan penyebut adalah 5 : 7. Jumlah perbandingan pembilang dan penyebutnya adalah 5 + 7 = 12. Jumlah pembilang dan penyebut sebuah pecahan adalah 60, sehingga: – Pembilangannya adalah 5 × 60 = 5× 60 = 25 12 12 – Penyebutnya adalah 7 × 60 = 7 × 60 ==2355 12 12 Jadi pecahan itu adalah 25 . 352. Perbandingan antara pembilang dan penyebut sebuah pecahan adalah 5 : 9, sedangkan selisih antara pembilang dan penyebutnya adalah 16. Tentukanlah pecahan itu! Rasio pembilang dan penyebut adalah 5 : 9. Selisih antara pembilang dan penyebut adalah 9 – 5 = 4, sehingga: – Pembilangnya adalah 5 ×16 = 5× 4 = 20 41 – Penyebutnya adalah 9 ×16 = 9× 4 = 36 41 Jadi pecahan itu adalah 20 . 363. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan sendiri oleh Amir selama 6 hari. Jika dikerjakan sendiri oleh Beni selesai dalam 12 hari. Jika dikerjakan sendiri oleh Conrad selesai dalam 4 hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh Amir, Beni, dan Conrad secara bersama-sama, dalam berapa harikah pekerjaan itu akan selesai dikerjakan? Perhitungan berapa hari pekerjaan itu jika dikerjakan oleh Amir, Beni, dan Conrad secara bersama- sama, dilakukan sebagai berikut. – Amir dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 6 hari, berarti dalam 1 hari ia hanya dapat menyelesaikan1 bagian dari pekerjaan itu.6 – Beni dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 12 hari, berarti dalam 1 hari ia hanya dapat menye- lesaikan 1 bagian dari pekerjaan itu. 12 – Conrad dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 4 hari, berarti dalam 1 hari ia hanya dapatmenyelesaikan 1 bagian dari pekerjaan itu. 4 Jika dikerjakan oleh Amir, Beni, dan Conrad secara bersama-sama dalam 1 hari, maka pekerjaan yangdiselesaikan adalah 1 + 1 + 1 = 6 = 1 bagian pekerjaan. 6 12 4 12 2 Agar seluruh bagian pekerjaan itu selesai maka dibutuhkan waktu 2 hari. Matematika 239- Mengapa disimpulkan bahwa pekerjaan itu dapat diselesaikan dalam 2 hari? Bagaimana cara menemukannya?- Jika ternyata Beni tidak ikut menyelesaikan pekerjaan itu, berapa hari Amir dan Conrad harus bekerja secara bersama-sama agar pekerjaan itu selesai?- Jika ternyata Conrad tidak ikut menyelesaikan pekerjaan itu, berapa hari Amir dan Beni harus bekerja secara bersama-sama agar pekerjaan itu selesai?Contoh 5.4 Perbandingan banyak uang tabungan Dina dengan banyak uang tabungan Roni adalah 3 : 2, sedangkan 3tabungan Roni 4 dari tabungan Ningsih. Jumlah tabungan Dina dan Ningsih Rp 1. 700.000,00. Beraparupiah tabungan mereka masing-masing?PenyelesaianDiketahui:Uang tabungan Dina berbanding uang tabungan Roni adalah 3 : 2.Jumlah tabungan Roni 3 dari jumlah tabungan Ningsih. 4Jumlah tabungan Dina dan Ningsih Rp 1. 700.000,-.Ditanya:Berapa rupiah tabungan mereka masing-masing?Rasio tabungan Dina dan Roni adalah 3 : 2 = 9 : 6.Rasio tabungan Roni dan Ningsih adalah 3 : 4 = 9 : 8.Sehingga rasio tabungan Dina : Roni : Ningsih = 9 : 6 : 8.Rasio tabungan Dina dan Ningsih adalah 9 : 8.Jumlah perbandingan tabungan Dina dan Ningsih adalah 17.Tabungan Dina = 9 × 1. 700.000,00 = Rp 900.000,00 17Tabungan Roni = 6 × 1. 700.000,00 = Rp 600.000,00 17 8Tabungan Ningsih = 17 × 1. 700.000,00 = Rp 800.000,00240 Kelas VII SMP/MTsUji Kompetensi - 5.1A. Selesaikan Soal Cerita Berikut! 9. Jarak kota A ke kota B adalah 350 km. Jarak kota B ke kota C adalah 250 km. Berapakah1. Harga sebatang pensil perbandingan jarak kota A ke kota B dengan Rp1.000,- Harga sebuah Jarak kota A ke kota C? pulpen Rp1.500,- Berapa- kah perbandingan harga 10. Pada pertandingan lompat tinggi, lompatan Amir sebatang pensil dengan sebuah pulpen? Berapa- 3 m lebihnya dari tinggi lompatan Jonatan. Per- kah perbandingan harga 5 batang pensil dengan bandingan tinggi lompatan Amir dan Jonatan 6: 5 buah pulpen? 5. Berapa tinggi lompatan Jonatan?. 2. Buku Matematika tebalnya 124 halaman. 11. Perbandingan kemampuan angkat besi Rudolf Buku Bahasa Indonesia tebalnya 96 halaman. dengan kemampuan Gerald adalah 2 : 1. Jika Berapakah perbandingan tebal sebuah buku Gerald mampu mengangkat beban 145 kg. matematika dengan tebal sebuah Apakah Rudolf mampu mengangkat beban itu? buku bahasa Indonesia? Dapatkah kamu menyederhanakannya? 12. Jumlah pembilang dan penyebut sebuah pecahan Berapakah perbandingan tebal 7 adalah 46. Jika pembilang dan penyebutnya buah buku matematika dengan 7 masing-masing dikurangi 4, maka nilai pecahan buah buku bahasa Indonesia? itu menjadi . Tentukan pecahan itu! 3. Perhatikan masalah berikut. 13. Kandungan gula pada susu yang di konsumsi Usia Agus 12 tahun. Adiknya, Diah berusia Glorista lebih rendah 10% dari kandungan gula pada susu yang di konsumsi Adi. Jika perban- 4 tahun. Sedangkan ibunya berusia 36 tahun. dingan kandungan gula kedua susu itu 4 : 6, Tentukan perbandingan usia Diah dengan usia berapa persen kandungan gula pada susu yang Agus dan perbandingan usia Agus dengan usia diminum oleh Glorista dan Adi? ibunya!4. Perbandingan umur Dono 14. Jumlah kuaci Santi berbanding kuaci Rani dan Dini adalah 4 : 5. Jika adalah 8 : 6 dan banyak kuaci Rani sama dengan Umur Dono 40 tahun. 4 kuaci Leni. Kuaci Rani lebih banyak 18 buah Berapakah umur Dini? 55. Jumlah umur Dono dan dari kuaci Leni. Berapa jumlah kuaci Santi, Rani, dan Leni seluruhnya? Dini adalah 90 tahun. Umur 15. Ladang Pak Tani ditanami 3 jenis bunga. Luas Dono dari umur Dini. tanah yang ditanami anggrek dua kali lebih luas dari luas tanah yang ditanami bunga matahari. Berapakah umur Dono dan Dini? Luas tanah yang ditanamani bunga matahari6. Ladang jagung Pak Roni berbentuk persegi pan- 1 dari luas luas tanah yang ditanamani bunga jang. Keliling tanah ladang itu 81 m. Panjang dan 2 lebarnya berbanding 5 : 4. Hitunglah luas ladang itu! mawar. Jika luas keseluruhan ladang 500 m2, berapa luas masing-masing tanaman bunga?7. Selisih kelereng Marisi dari kelereng Marisa 35 butir. Perbandingan banyak kelereng mereka 4 : 3. Berapa banyak kelereng Marisa?8. Jumlah pembilang dan penyebut suatu pecahan36. Nilai pecahan itu . Tentukan pecahantersebut! Matematika 241B. Sederhanakan perbandingan di bawah ini!a. 90 : 80 f. 70 : 35 i. 13 : 5 8 24b. 16 : 4 g. 1 : 1c. 120 : 144 42 j. 5 : 7d. 256 : 28 26e. 150 : 3 h. 3 : 4 5 15C. Tentukanlah nilai a, b, dan c untuk masing-masing soal berikut!(1) a : b : c = 4 : 5 : 6 ; a + b = 18, dan c - a = 4.(2) a : b = 8 : 6, b = 4 c dan c - b = 18. 5(3) a  b , a + c = 15 dan a = 1 c.bc 4(4) a : b = 4 : 5, a + b = 90, dan b = 1 c. 3(5) 5a - b = 24, a : b = 5 : 2, dan c = 1 (a  b) . 7(6) a + c = 144, a : c = 5 : 7, dan b = 1 (a  c) . 6 Buku Pegangan Siswa 279

242 Kelas VII SMP/MTs

Page 2

c) Tentukalah suatu himpunan anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S!a) Tentukan anggota himpunan S, A, dan B! S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}b) Misalkan P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, kita lakukan dengan memasangkan anggota himpunan A dan himpunan S dengan algoritma sebagai berikut. 1. Ambil elemen pertama dari A. Cocokkan dengan elemen-elemen S. Bila ada yang cocok, hapus dari anggota S. 2. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua dari A, elemen ketiga dari A sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan. 3. Hapus anggota himpunan S yang merupakan anggota himpunan A, sehingga anggota himpunan S yang tersisa adalah 1, 3, 5, 7, dan 9. Dengan demikian anggota himpunan P adalah anggota himpunan S yang tersisa, yaitu P = {1, 3, 5, 7, 9}. Himpunan P disebut juga komplemen dari himpunan A atau P = Ac.c) Misalkan Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan Q, yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, kita lakukan dengan memasangkan anggota himpunan B dan himpunan S dengan algoritma sebagai berikut. 1. Ambil elemen pertama dari B. Cocokkan dengan elemen-elemen S. Bila ada yang cocok, hapus dari anggota himpunan S. 2. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua dari B, elemen ketiga dari B sampai semua elemen dari B telah selesai dicocokkan. 3. Hapus anggota himpunan S yang merupakan anggota himpunan A, sehingga anggota himpunan S yang tersisa adalah 1, 4, 6, 8, dan 9. Dengan demikian anggota himpunan P adalah anggota himpunan S yang tersisa, yaitu Q = {1, 4, 6, 8, 9}. Himpunan Q disebut juga komplemen dari himpunan B atau Q = Bc.Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.16 dan penyelesaian contoh 1.17, kita peroleh definisiberikut.Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatuhimpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan Ac.Dengan notasi pembentuk himpunan definisi ini dapat dituliskan sebagai berikut. A = {x | x ∈ S dan x ∉ A}Pada diagram Venn di bawah ini, Ac merupakan daerah yang diarsir:Matematika 43Gambar 1.20 Diagram Venn Himpunan Ac Sebagai latihanmu: a Buktikan bahwa jika S adalah himpuan semua bilangan asli yang kurang dari 10 dan B = { x ∈ S | x bilangan prima kurang dari 10}, maka Bc = { 1, 4, 6, 8, 9 }! b Buktikan bahwa jika S = { 1, 2, 3, ..., 9 } dan A = {1, 3, 7, 9}, maka Ac = {2, 4, 5, 6, 8}!Perhatikan diagram Venn disamping.Dari diagram di tersebut kita peroleh:S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}A = {1, 3, 5, 7, 9}B = {7, 9, 11, 13, 15}A ∩ B = {7, 9}A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}Ac = {11, 13, 15, 17, 19, 21}Bc = {1, 3, 5, 17, 19, 21}Ac ∩ Bc = {17, 19, 21}(A ∩ B)c = {1,3,5, 11,13,15,17,19,21}(A ∪ B)c = {17, 19, 21}Perhatikan dari data di atas diperoleh1. {17,19,21} = {11,13,15,17,19,21} ∩ {1,3,5, 17,19,21}. Selanjutnya buktikan bahwa (A ∪ B)c = Ac ∪ Bc2. {1,3,5,11,13,15,17,19,21}= {11,13,15,17,19,21} {1,3,5,17,19,21}. Selanjutnya buktikan bahwa (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.Dari 1 dan 2 kita peroleh sifat berikut. 44 Kelas VII SMP/MTsSifat-1.6 Untuk A dan B adalah himpunan, maka berlaku: i) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ii) (A ∩ B)c = Ac ∪ BcKedua sifat ini sering disebut dengan Hukum De Morgan.Bukti (i) Misalkan x sembarang anggota himpunan (A ∪ B)c Jika x ∈ (A ∪ B)c,, maka x ∉ A ∪ B. Karena x ∉ A dan x ∉ B, berlaku x ∈ Ac dan x ∈ Bc. Oleh karena itu x ∈ Ac ∩ Bc. Jadi, (A ∪ B)c ⊂ Ac ∩ Bc dan Ac ∩ Bc ⊂ (A ∪ B)c Oleh sebab itu, (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (terbukti)Bukti (ii) Silahkan anda coba, jika anda tidak paham berdiskusilah dengan temanmu atau bertanya pada guru.Perhatikan diagram Venn berikut.Dari diagram Venn di samping kita peroleh informasi berikut.a) S = {1,3,5,7,9,11,13,15}
b) A = {1,3,5}c) B = {5,7,9,11}d) Ac = {7,9,11,13,15}e) Bc = {1,3,13,15}f) (A ∩ B)c = {1,3,7,9,11,13,15}g) (A ∪ B)c = {13,15} Gambar 1.21. Diagram Venn (1) Jika M = Ac, sebutkanlah anggota himpunan Mc! Bagaimana hubungan Mc dengan A? (2) Jika N = Bc, sebutkanlah anggota himpunan Nc! Bagaimana hubungan Nc dengan B? (3) Jika P adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota himpunan (A ∩ B)c, sebutkanlah anggota himpunan Pc. Bagaimana hubungan Pc dengan (A ∩ B)?Setelah pernyataan kritis di atas kita selesaikan, kita temukan:hh (Ac)c = {1,3,5} = Ahh (Bc)c = {5,7,9,11} = Bhh ((A ∩ B)c)c = {5} = (A ∩ B)DISKUSI ! Gambar 1.22. Diagram VennBerdasarkan ketiga hal yang kita temukan di atas, untuk sembarang himpunan X, apakah (Xc)c = X?Berdiskusilah dengan temanmu. Matematika 45Sifat-1.7Misalkan A himpunan dan Ac adalah komplemen himpunan A, maka (Ac)c = A Bukti: Mengapa? Ac = {x│x ∈ S, x ∉ A} Mengapa? (Ac)c = {x│x ∈ S, x ∉ Ac} Mengapa? = {x│x ∈ S, x ∈ A} Terbukti = A d. Selisih (difference)Masalah-1.17 Aturan pembagian kelas di sebuah SMP didasarkan pada hasil tes I dan tes II. Siswa yang lulustes I dan tes II akan ditempatkan di kelas VII-A, siswa yang hanya lulus tes I ditempatkan di kelasVII-B, dan siswa yang hanya lulus tes II akan ditempatkan di kelas VII-C. Hasil tes 10 orang siswaditunjukkan pada tabel berikut. Tabel 1.1 Hasil Tes I Pembagian Kelas di SMPNo Nama Tes I Hasil Tes Lulus Tes II 1 Toni Tidak Lulus 2 Wanti Lulus Tidak Lulus 3 Budi Lulus Lulus 4 Eka Lulus Lulus 5 Boby Tidak Lulus Lulus 6 Rudi Lulus Tidak Lulus 7 Susan Lulus Lulus 8 Tino Lulus Lulus 9 Serli Tidak Lulus Tidak Lulus10 Nurhasanah Lulus LulusJika A adalah himpunan siswa yang lulus tes I dan B adalah himpunan siswa yang lulus tes II.a) Tentukanlah anggota himpunan A dan himpunan B!b) Tempatkanlah siswa berdasarkan kelas masing-masing!c) Gambarkanlah diagram Venn himpunan A dan B!46 Kelas VII SMP/MTsMasalah-1.17 Aturan pembagian kelas di sebuah SMP didasarkan pada hasil tes I dan tes II. Siswa yang lulustes I dan tes II akan ditempatkan di kelas VII-A, siswa yang hanya lulus tes I ditempatkan di kelasVII-B, dan siswa yang hanya lulus tes II akan ditempatkan di kelas VII-C. Hasil tes 10 orang siswaditunjukkan pada tabel berikut. Tabel 1.1 Hasil Tes I Pembagian Kelas di SMPNo Nama Tes I Hasil Tes Lulus Tes II 1 Toni Tidak Lulus 2 Wanti Lulus Tidak Lulus 3 Budi Lulus Lulus 4 Eka Lulus Lulus 5 Boby Tidak Lulus Lulus 6 Rudi Lulus Tidak Lulus 7 Susan Lulus Lulus 8 Tino Lulus Lulus 9 Serli Tidak Lulus Tidak Lulus10 Nurhasanah Lulus LulusJika A adalah himpunan siswa yang lulus tes I dan B adalah himpunan siswa yang lulus tes II.a) Tentukanlah anggota himpunan A dan himpunan B!b) Tempatkanlah siswa berdasarkan kelas masing-masing!c) Gambarkanlah diagram venn himpunan A dan B!a) Anggota himpunan A dan himpunan B. A = {Toni, Budi, Eka, Boby, Susan, Tino, Serli} B = {Wanti, Budi, Eka, Rudi, Susan, Serli, Nurhasanah}b) Pembagian kelas masing-masing siswa adalah: ●● Siswa yang ditempatkan di kelas VII-A yaitu siswa yang lulus tes I dan tes II. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-A adalah anggota himpunan A irisan himpunan B. ●● Siswa yang ditempatkan di kelas VII-B adalah siswa yang hanya lulus tes I. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-B adalah anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. ●● Siswa yang ditempatkan di kelas VII-C adalah siswa yang hanya lulus tes II. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-C adalah anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A. ●● Dengan demikian, himpunan siswa ketiga kelas itu adalah: –– Kelas VII-A = {Budi, Eka, Susan, Serli} –– Kelas VII-B = {Toni, Boby, Tino} –– Kelas VII-C = {Wanti, Rudi, Nurhasanah}c) Diagram venn himpunan A dan B ditunjukkan pada gambar berikut. Matematika 47Gambar 1.23 Diagram Venn Himpunan A dan B Contoh 10.12 Diketahui himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 dan B adalah himpunanbilangan ganjil yang kurang dari 5.(1) Jika C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, maka tentukanlah anggota himpunan C!(2) Jika D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, maka tentukanlah anggota himpunan D!Anggota himpunan A dan anggota himpunan B adalah:A = {1, 2, 3, 4}B = {1, 3}(1) C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. Untuk menemukan sebuah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B dapat kita lakukan dengan membandingkan anggota himpunan A dan himpunan B dengan algoritma sebagai berikut. 1. Ambil elemen pertama dari A. Jika elemen tersebut ada di himpunan B hapus dari anggota A, jika tidak ada di B biarkan pada himpunan A. 2. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan. 3. Himpunan A yang tidak terhapus merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. Dengan menggunakan algoritma ini, kita lakukan sebagai berikut. ●● Ambil elemen pertama dari A yaitu: 1. Apakah 1 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A = {2, 3, 4}. ●● Ambil elemen kedua dari A yaitu: 2. Apakah 2 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 3, 4}. ●● Ambil elemen ketiga dari A yaitu: 3. Apakah 3 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A = {2, 4}. ●● Ambil elemen keempat dari A yaitu: 4. Apakah 4 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 4}. 48 Kelas VII SMP/MTs●● Karena semua anggota himpunan A telah dicocokkan dengan anggota himpunan B, maka himpunan A yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. ●● Maka himpunan C = {2, 4}. Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B merupakan selisih himpunan A dan B.(2) D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, dengan menggunakan algoritma pada butir (1), kita cari anggota himpunan D sebagai berikut. ●● Ambil elemen pertama dari B yaitu: 1. Apakah 1 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B = {3}. ●● Ambil elemen kedua dari B yaitu: 3. Apakah 3 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B = { }. ●● Karena semua anggota himpunan B telah dicocokkan dengan anggota himpunan A, maka himpunan B yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A. ●● Maka himpunan D = { }. Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A merupakan selisih himpunan B dan A. Definisi 1.10 Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan ang- gota himpunan B, dilambangkan dengan A – B.Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.17 dan penyelesaian contoh 1.19, kita temukan definisiberikut.Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggotahimpunan B, dilambangkan dengan A – B.Dengan notasi pembentuk himpunan definisi ini dapat dituliskan sebagai berikut A – B = {x | x ∈A dan x ∉ B} = A ∩ BcPada diagram Venn di samping ini, A - B merupakan daerah yang diarsir:Gambar 1.24 Diagram Venn A - B Matematika 49Contoh 1.3Sebagai latihanmu, kerjakanlah:Jika A = {1, 2, 3, ..., 10} dan B = {2, 3, 5, 7,11,12}, tentukanlah(1) A – B dan(2) B – A.Perhatikan himpunan berikut.A = {1,3,5,7,9}B = {2,4,6,8,10}Kita peroleh:hh A ∩ B = ∅hh A – B = {1,3,5,7,9}hh B – A = {2,4,6,8,10}Ternyata : = {1,3,5,7,9}{1,3,5,7,9} =AA – B = {2,4,6,8,10}{2,4,6,8,10} =BB – A DISKUSI ! - Apa yang mengakibatkan A – B = A dan B – A = B? berdiskusilah dengan temanmu! - Apakah A – B = A dan B – A = B jika A ∩ B bukan himpunan kosong? Berilah contoh! Bandingkan dengan hal berikut. Diberikan himpunan A = {1,3,5,7,9} dan B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Dari himpunan A dan B kita peroleh: ●● A ⊂ B, silahkan membuktikannya! ●● B – A = {2,4,6,8,10} ●● Apakah A - B = ∅? Diskusikan dengan temanmu!Dari uraian di samping, kita peroleh sifat:Misalkan A ⊂ B dan B ⊂ A- Berapa anggota himpunan A – B? Mengapa?- Berapa anggota himpunan B – A? Mengapa?50 Kelas VII SMP/MTsSifat-1.8 Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku: i) Jika A ∩ B = ∅, maka A – B = A dan B – A = B ii) Jika A ⊂ B, maka A – B = ∅e. Sifat-sifat Operasi Himpunan Masalah-1.18 Anto memiliki olahraga kesukaan yaitu: bola kaki, bola volley, dan catur. Misalkan himpunan semua olahraga kesukaan Anto adalah himpunan K. (1) Hal apa yang kamu temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto digabung dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri? (2) Hal apa yang kamu temukan jika himpunan olahraga kesukaan Anto beririsan dengan himpunan olahraga kesukaannya sendiri?K = {bola kaki, bola volley, catur}(1) Jika K ∪ K Jika anggota K digabung dengan anggota K itu sendiri maka: K ∪ K = {bola kaki, bola volley, catur} ∪ {bola kaki, bola volley, catur} = {bola kaki, bola volley, catur} Ternyata: K ∪ K = K(2) Jika K ∩ K Jika anggota K beririsan dengan anggota K itu sendiri maka: K ∩ K = {bola kaki, bola volley, catur} ∩ {bola kaki, bola volley, catur} = {bola kaki, bola volley, catur} Ternyata: K ∩ K = KDari alternatif penyelesaian masalah di atas kita temukan sifat:- Misalkan A himpunan kosong berlaku A ∪ A = A?- Misalkan A himpunan kosong berlaku A ∩ A = A? Matematika 51Masalah-1.19 Budi dan Badu adalah siswa kelas VII SMP. Budi senang dengan pelajaran matematika, bahasaIndonesia, dan Kimia. Sedangkan Badu tidak senang dengan pelajaran apapun.(1) Jika pelajaran yang disenangi Budi dan Badu merupakan himpunan, tentukanlah anggota kedua himpunan itu!(2) Jika pelajaran yang disenangi Budi di gabung dengan pelajaran yang disenangi Badu, apa yang kamu simpulkan?(3) Pelajaran apa yang sama-sama disenangi Budi dan Badu? Sifat-1.9Untuk sebarang himpunan A, berlaku:i) A ∪ A = Aii) A ∩ A = A Kedua sifat ini sering disebut dengan sifat idempoten. Misalkan P dan Q himpunanApakah kamu dapat mencari kata yang lain dari idempoten?Silahkan mencoba. (i) Kondisi apa yang harus dipenuhi agarMisal: A adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi. P ∪ Q = P? Mengapa? B adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu. (ii) Kondisi apa yang harus dipenuhi agar(1) Anggota kedua himpunan ini adalah: A = {matematika, bahasa Indonesia, Kimia} P ∩ Q = ∅? Mengapa? B adalah himpunan pelajaran yang disenangi Badu B={}(2) Pelajaran yang disenangi Budi digabung dengan pelajaran yang disenangi Badu, dilambangkan dengan A∪B A ∪ B = {matematika, bahasa Indonesia, Kimia} ∪ { } = {matematika, bahasa Indonesia, Kimia} Ternyata A ∪ B = A(3) Pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dan Badu, dilambangkan dengan A ∩ B.A ∩ B = {matematika, bahasa Indonesia, Kimia} ∩ { } = { }Maka pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dan Badu adalah tidak ada.Perhatikan kedua himpunan berikut. P adalah bilangan asli yang tidak kurang dari 3 dan Q adalahhimpunan kosong. Dari kedua himpunan ini kita peroleh:P = {1,2,3} P ∩ Q = {1,2,3} ∩ ∅Q = {} =∅P ∪ Q = {1,2,3} Ternyata: P ∪ Q = {1,2,3} = PBerdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.19 di atas, kita temukan sifat berikut.52 Kelas VII SMP/MTsSifat-1.10 Untuk sebarang himpunan A, berlaku: i) A ∪ ∅ = A ii) A ∩ ∅ = ∅Kedua sifat ini sering disebut dengan sifat identitas. Temukanlah istilah lain dari sifat identitas.Perhatikan kedua diagram Venn berikut. Diagram Venn I Diagram Venn II Diperoleh: Gambar 1.25. Diagram Venn I dan II A = {1,3,5} Diperoleh: B = {5,7,9,11} A = {p,q,r} A ∪ B = {1,3,5,7,9,11} B = {s} B ∪ A = {1,3,5,7,9,11} A ∪ B = (p,q,r,s) A ∩ B = {5} B ∪ A = (p,q,r,s) B ∩ A = {5} A∩B = Ø Ternyata: B∩A = Ø A ∪ B = B ∪ A Ternyata: A ∩ B = B ∩ A A∪B = B∪A A∩B = B∩ADari diagram Venn I dan II kita peroleh sifat berikut. Sifat-4.11 USnitfuakt-s1eb.1a1rang himpunan Adan B berlaku: i) A ∪ B ∪ A; ii) A ∩ B = B ∩Ahh Kedua sifat ini sering disebut dengan sifat komutatif. Temukanlah istilah lain dari kata komutatif! Buktikanlah kedua sifat di atas. Diagram Venn I Diagram Venn IIhh Matematika 53Perhatikan kembali diagram Venn berikut. Gambar 1.26. Diagram Venn I dan IIDiperoleh: Diperoleh:P = {a,b,c,d,e} P = {1,2,3,4}Q = {d,e,f,g,h,i} Q = {4,5,6,7,8,9,10}R = {c,e,i,j,k,l,m} R = {7,8,9,10,11,12}P∪Q = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} P∪Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}Q∪R = {c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m} Q ∪ R = {4,5,6,7,8,9,10,11,12}(P ∪ Q) ∪ R = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m} (P ∪ Q) ∪ R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}P ∪ (Q ∪ R) = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m} P ∪ (Q ∪ R) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}(P ∩ Q) ∩ R = {e} (P ∩ Q) ∩ R = ØP ∩ (Q ∩ R) = {e} P ∩ (Q ∩ R) = ØTernyata Ternyata:(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)Dari diagram Venn I dan II kita peroleh sifat berikut. Sifat-1.12 Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku: i) (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R); ii) (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R).Kedua sifat ini sering disebut dengan sifat asosiatif. Temukanlah istilah lain dari kata asosiatif!Dari diagram Venn I dan II kita temukan juga:Diagram Venn I Diagram Venn IIP ∪ (Q ∩ R) = {a,b,c,d,e,i} P ∪ (Q ∩ R) =∪(P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) = {a,b,c,d,e,i} (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) = ∪P ∩ (Q ∪ R) = {c,d,e} P ∩ (Q ∪ R) = {4}(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {c,d,e} (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {4}Ternyata: Ternyata:P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) 54 Kelas VII SMP/MTsP ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)Dari diagram Venn I dan II kita peroleh sifat berikut. Sifat-1.13 Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku: i) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) ii) P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)hh Kedua sifat ini sering disebut dengan sifat distributif. Temukanlah istilah lain dari kata distributif!hh Pembuktian kedua sifat di atas kita lakukan sebagai berikut. Bukti (i): Misalkan x sembarang anggota himpunan P ∪ (Q ∩ R), maka x ∈ P ∪ (Q ∩ R) berlaku x ∈ P atau x ∈ (Q ∩ R). Akibatnya, x ∈ P atau {x ∈ Q dan x ∈ R) (Mengapa?). Oleh karena itu, {x ∈ P atau x ∈ Q} dan {x ∈ P atau x ∈ R), atau dapat dituliskan x ∈(P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). Jadi, jika x ∈ P ∪ (Q ∩ R), maka x ∈ (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). Berarti P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). (terbukti)Sebagai bahan latihanmu silahkan membuktikan sendiri Sifat-1.14 bagian (ii).f. Penyederhanaan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat operasi himpunan yangtelah dipelajari di atas. Misalkan apabila terdapat (A − B) ∪ (A ∩ B), operasi himpunan yang panjang inisebenarnya dapat disederhanakan sebagai berikut.(A − B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ B) dengan sifat A − B = A ∩ Bc = A ∩ (B ∪ Bc) dengan sifat distributif = A ∩ S dengan sifat komplemen = A dengan sifat irisanContoh lain, misalkan sederhanakan (A ∪ B) ∪ Ac(A ∪ B) ∪ Ac = (A ∪ Ac) ∪ (B ∪ Ac) = { } ∪ (B ∪ Ac) = (B ∪ Ac) = B −AA. Pilihan Berganda1. Misal A = {1,2,3} dan B = {2,1,5}, maka (A∪B) – A = … Matematika 55Uji Kompetensi - 1.2a. {1, 2} a. (H ∪ I) – Jb. {3} b. (H ∪ I) – J’c. {5} c. (H ∪ I) ∪ (H ∪ J’)d. {1, 2, 3, 5} d. (H ∪ I) ∪ J’2. Jika H = {2,4,5}, K = {1,4,7} dan L = {7,5,1}, 7. Jika E ={x | (x – 1)2 = 0}, F = {x | x2 = 1} dan Gmaka (H – K) ∪ L = … = {x | x2 – 3x + 2 = 0}, maka (E ∪ F’) ∪ G = …a. {1, 0, -2, 7, 5} a. {-1}b. {2, 5, 7, 1} b. {1, 2}c. {1} c. {-1, 2}d. {5} d. {1, -1, 2}3. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan 8. Jika A’ ∪ B, maka A’ ∪ (B ∪ A) = …semua bilangan asli dan misalkan D = {x | x a. A’kelipatan 5} dan E = {x | x kelipatan 10}, maka b. BD – E’ =... c. Ø d. Sa. {x | x kelipatan 5, x ganjil} 9. Misalkan P = {c, {a,b}, a, d} dan Q = {a,b},b. {x | x kelipatan 5, x x genap} maka P ∪ Q’ = …c. {x | x kelipatan 50} a. {A}d {x | x kelipatan 2}4. Dalam gambar berikut, daerah yang diarsir b. {c, a, d} adalah: c. {c, {a, b}, d}a. A ∪ C’ d. {a, b}b. A’ ∪ C 10. Jika D = {1, ½, ⅓, , …} dan E = {1, 2, 3, 4,c. A – C …}, maka E – D = …d. B’ ∪ (C – A) a. {0, 2, -½, 3, -⅓ , 4, - , …}5. Misalkan P = {Panther, Kijang, Honda, b. {0, 2, 3, 4, …} Suzuki}, Q = {Marcedes, Panther, BMW} dan c. {1} R = {Honda, BMW}, maka P’ ∪ (Q ∪ R) = … d. {2, 3, 4, 5, …}a. {BMW} B. Essayb. {Marcedes, BMW} 1. Diketahui n(P) = 21, n(Q) = 30. Carilah nilaic. {Panther, Marcedes, Honda} n(P ∪ Q) jika n(P ∪ Q) = 10d. {Panther, Honda, Kijang, Suzuki, BMW }6. H ∪ (I – J) =2. Sebuah puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 40 orang, 23 orang menderita penyakit demam berdarah, 11 orang menderita penyakit diare, 8 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare. Berapa orang pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut?56 Kelas VII SMP/MTs3. Perhatikan grafik di bawah: Daerah yang diarsir dibentuk oleh himpunan….(jawaban boleh lebih dari satu)4. Gambar diagram Venn jika diketahui: S = Himpunan bilangan cacah kurang dari 7 A = himpunan bilangan prima kurang dari 7 B = himpunan bilangan asli kurang dari 75. Dalam sebuah kelas terdapat 50 orang anak. Dari jumlah tersebut, 19 orang anak gemar berenang, 21 orang anak gemar bernyanyi, 19 orang anak gemar sepak takraw, 10 orang anak gemar berenang dan bernyanyi, 10 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 7 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 6 orang anak gemar berenang dan sepak takraw, dan 4 orang anak gemar ketiga-tiganya. a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas b. Berapa orang anak yang tidak gemar satupun dari ketiga kegiatan tersebut?6. Pada saat di sekolah dasar, kamu mengenal faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Sebenarnya keduanya ini dapat dicari dengan menggunakan operasi himpunan. Jelaskan operasi himpunan yang diperlukan untuk mencari FPB dan KPK.7. Rancang sebuah algoritma untuk mencari A-B. Tunjukkan operasional algoritma mu tersebut bila dipergunakan untuk mencari nilai A-B dimana A = {1,2,3,4,5,6} dan B = {1,3,5,7,9}. Berapa langkah yang diperlukan untuk memperoleh hasilnya? Berapa perbandingan yang diperlukan sampai hasilnya diperoleh?8. Perhatikan kegiatan-kegiatan sekolahmu. Bagaimanakah operasi himpunan dipergunakan dalam menjalankan kegiatan sekolah tersebut?9. Sebuah lembaga penelitian meneliti makanan ringan yang dikonsumsi anak-anak. Dari hasil penelitian, tercatat 18 merek mengandung zat pewarna sintetik, 24 merek mengandung penyedap rasa buatan, dan 10 merek mengandung kedua zat tersebut. Jika ada 9 merek tidak mengandung zat pewarna sintetik maupun penyedap rasa buatan, berapa merek makanan ringan yang diteliti oleh lembaga penelitian tersebut? Matematika 5710. Dalam tesing penerimaan CPNS pada tahun 2012 yang lalu, seseorang dinyatakan diterima apabila lulus tes karakater pribadi, tes potensi akademik, dan tes wawasan kebangsaan sekaligus. Untuk mengisi formasi guru Matematika, terdapat 100 orang peserta yang ikut tesing. Pada saat pengumuman hasil tes, 20 orang hanya lulus tes karakter pribadi, 8 orang hanya lulus tes potensi akademik, 5 orang hanya lulus tes wawasan kebangsaan, 10 orang lulus tes karakter pribadi dan tes potensi akademik, 7 orang lulus tes potensi akademik dan tes wawasan kebangsaan, 30 orang lulus tes karakter pribadi dan tes wawasan kebangsaan. Berapa orang yang diterima menjadi guru Matematika? Melalui proses pembelajaran himpunan yang telah kita pelajari di atas, kita berikan beberapa rangkuman sebagai berikut. Projek Menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya. Menyajikan irisan dan gabungan dalam diagram Venn. Kasus: Proyek ini dilakukan secara tim (kelompok). Lakukanlah survei di sekolahmu tentang kartu apa yang mereka pakai pada ponsel mereka. Catatlah banyak siswa yang menggunakan setiap kartu yang sama. Tanyalah mereka alasan menggunakan kartu tersebut. Klasifikasikanlah alasan mereka, misalnya: a) Lebih ekonomis dan terjangkau. b) Memiliki banyak layanan keunggulan. c) Sinyal operator kartu lebih jelas. d) Keluarga dan teman mayoritas menggunakan kartu operator itu. D. PENUTUP1. Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau terdefinisi dengan jelas.2. Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dilambangkan dengan dengan S.3. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ⊂ B.4. Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya seluruh himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A).5. Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, dilambangkan dengan A = B. 58 Kelas VII SMP/MTs6. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua aggota tanpa S yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B, dilambangkan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.7. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing, jika tidak ada anggota A yang merupakan anggota B dan tidak ada anggota B yang merupakan anggota A, dilambangkan dengan A // B.8. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota tanpa S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B.9. Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan Ac.10. Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B.11. Berbagai sifat-sifat operasi himpunan yang perlu kamu ketahui sebagai berikut. Untuk sebarang himpunan A, B, dan C, berlaku sifat-sifat sbb. a) Sifat komplemen i) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ii) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc iii) (Ac)c = A b) Sifat identitas i) A ∪ Ø = A ii) A ∩ Ø = Ø c) Sifat idempoten i) A ∪ A = A ii) A ∩ A = A d) Sifat komutatif i) A ∪ B = B ∪ A. ii) A ∩ B = B ∩ A. e) Sifat asosiatif i) (A ∪ B) ∪ C =A ∪ (B ∪ C). ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). f) Sifat distributif i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). g) Selain sifat-sifat di atas berlaku juga sifat: i) Himpunan kosong (Ø) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan. ii) Jika n(A) = k, maka n(P(A)) = 2k, k bilangan bulat positif. iii) Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A. iv) Jika A ∩ B = Ø maka A – B = A dan B – A = B.Matematika 59v) Jika A ⊂ B, maka A – B = Ø. vi) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). vii) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). viii) Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B. Pada Bahasan 2 (Bab 2), kita akan mempelajari tentang bilangan. Sama halnya dalam penemuankonsep himpunan yang ditemukan kembali dari situasi nyata kehidupan, kita akan temukan konsep dansifat-sifat bilangan bulat, pecahan dan bilangan rasional dari proses pemecahan masalah nyata. Anandaketahui bahwa himpunan bilangan adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan. Dengandemikian konsep dan sifat-sifat operasi dan relasi pada himpunan yang anda sudah dipelajari pada bahasanpertama, akan digunakan pada himpunan bilangan. Selanjutnya ananda akan mempelajari sifat-sifat khususoperasi pada bilangan bulat, pecahan, rasional dan irasional. Seperti sifat tertutup, komutatif, assosiatif, dansifat distributif pada bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.Cermati apakah semua jenis operasi pada bilangan bulat memenuhi sifat yang sama? Kemudian kitalanjutkan membahas faktor dan faktor prima dari suatu bilangan bulat untuk menentukan Faktor PersekutuanTerbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Seluruh konsep dan sifat-sifat bilangan bulat,pecahan, rasional dan irasional akan kita aplikasikan dalam pemecahan masalah kehidupan. Perlu kamitekankan bahwa apa yang ananda sudah pelajari di Sekolah Dasar terkait bilangan cacah, asli dan pecahanakan berguna dalam mempelajari materi pada Bab II. 60 Kelas VII SMP/MTsIIBilanganA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARKompetensi Dasar Pengalaman BelajarMelalui proses pembelajaran bilangan siswa Melalui pembelajaran materi bilangan, siswamampu : memiliki pengalaman belajar:1. menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, • terlatih berpikir kritis dan kreatif. • menemukan ilmu pengetahuan dari konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif dan tidak mudah menyerah dalam pemecahan masalah nyata. memecahkan masalah. • dilatih bekerjasama secara berkelompok2. memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki untuk menemukan solusi permasalahan. rasa percya pada daya dan keguanaan • dilatih menemukan ide-ide secara bebas matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. dan terbuka.3. membandingkan dan mengurutkan berbagai • merasakan manfaat matematika dalam jenis bilangan serta menerapkan operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan kehidupan sehari-hari. dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi.4. menggunakan pola dan generalisasi untuk menyelesaikan masalah.Istilah Penting: Istilah Penting: • Bilangan Positif • Bilangan Negatif • Bilangan Bulat • Bilangan Pecahan • Bilangan Cacah • Bilangan AsliB. PBE.TPAEKTOANSKEOPNSEPMASALAH HIMPUNANOTENTIK BILANGAN Real (R) Membentuk Imajiner (i)Irasional Ιr Rasional (Q) i = −1 Bilangan Kompleks a + bi ; a,b ∈ R;b ≠ 0Bilangan Bulat (Z) Bilangan PecahanBulat Positif (Z+) NOL Bulat Negatif (Z-)Bilangan Cacah (C )Bilangan Asli (N) BUKU PEGANGAN SISWA 8962 Kelas VII SMP/MTsC. MATERI PEMBELAJARAC. MATERI PEMBELAJARAN 1. Menemukan Konsep Bilangan1. MENEMUKAN KONSEP BILANGAN BULAT Pada sebuah acara berita tv dilaporkan prakiraan cuaca seluruh dunia. PadDiberitakan bahwa suhu Jakarta rata-rata pada hari itu adalah 290C dengan cuaccuaca cerah dan di Kota Beijing yang sedang dalam musim dingin memiliki suhu Jakamenyentuh 00C sedangkan di Alaska yang memiliki musim dingin dengan cuaca cuacekstrim memiliki temperatur dingin hingga mencapai 250C di bawah titik beku. dala Sekarang mari kita cermati data yang telah diberikan, dari data di atas dapatkita nyatakan sebagai berikut.●● suhu kota Jakarta adalah 290C. seda ●● suhu kota Beijing adalah 00C. den ●● suhu kota Alaska adalah -250C. hing Pembagian zona waktu dunia berdasarkan GMT (Greenwich Meredian GamGbaamr 2b.1arT2h.e1rmTohmeremterometerTime) menjadi standar acuan waku dunia. Jika sekarang di Greenwich pukul00.00 pukul berapakah di Jakarta dan di Kalimantan? Sekarang mari kita cermati data y nyatakan sebagai berikut.  suhu kota Jakarta ada  suhu kota Beijing ad  suhu kota Alaska ada Pembagian zona waktu dunia be menjadi standar acuan waku dunia. berapakah di Jakarta dan di KalimanGambar 2.2 Zona waktu GMTDengan penetapan kota Greenwich sebagai titik acuan atau titik nol waktu dunia dapat kita lihat padapengelompokan daerah dan urutannya. Pandang urutan bilangan yang ada pada gambar. Maka berdasarkanGMT diperoleh sebagai berikut.• Untuk menetapkan waktu Jakarta tambahkan waktu Greenwich sebesar 7 satuan, maka diperoleh waktu Jakarta adalah pukul 07.00 GMT.• Posisi Kalimantan berada pada +8 terhadap waktu Greenwich jadi diperoleh waktu di Kalimantan adalah pukul 08.00 GMT. Tentukanlah waktu di daerah di Washington dan New York! Gambar BUKU PEGANGAN SISWAPerhatikan Gambar 2.3 di samping. Dapatkah kamu mengukurtinggi daratan? Pernahkah kamu mendengar pernyataan “Tinggibukit X berada 500 m di atas permukaan laut. Untuk menentukanletak suatu tempat digunakan permukaan laut sebagai titik acuan.Sehingga tinggi permukaan laut adalah 0 m dan dengan mudahkita mengukur berapa tinggi bukit atau daratan yang hendak kitaketahui. Dan untuk kedalaman laut juga menggunakan permukaanlaut sebagai titik acuan. Matematika 63Gambar 2.3 Laut dan DaratSehingga tinggi permukaan laut adalah 0 m dan dengan mudah kita mengukurberapa tinggi bukit atau daratan yang hendak kita ketahui. Dan untuk kedalamanlaut juga menggunakan permukaan laut sebagai titik acuan.DDaarriikketeitgiagacocnotonhtodhi datiaastdaaspdaat pkaittakmiteangmgeanmgbgaarkmabnabriklaanngbanil-abnilgaanng-abnilkaendgaalnamkegadraislabmilangan:garis bilangan: Bilangan Cacah Bilangan Asli-20 -19 ... -2 -1 0 1 2 ... 19 20 Bilangan Bulat Negatif Bilangan Bulat Positif GambGaram2b.a4rG2.4aGriasriBs BilialannggaannPada gambar garis bilangan dapat dilihat terdapat himpunan bilangan yang memiliki sifat dan konsep yangberbePdaad, ayakgnai:mbar garis bilangan dapat dilihat terdapat bilangan-bilangan yang1. mHmempuilniakni sbiiflant gdaannAksolindseitpulyisaknagn:bAer=be{d1a,2,,3y,a4k,.n..i}:2. Hi1m. pnBainlabnilgaanngaAnsCliadcaithuldiistkulainsk:aAn:=C{=1,{20,,31,,42,3..,.4.},...}Hbii2lma.npguBannialnnaonblgi.laIantnugCsaaanmccaaahchadahlintauydlaaisldakehanngg:aabnCugn=agba{un0n,Hg1,aim2n,ph3ui,mn4a,p.nu..nB.}ainlabniglaanngAasnlibdualnathpiomspituifnadnanyahnimg panugnganotyaannygaanggoKtanuymapbuillaanngabnilnaonlg. an cacah adalah gabungan himpunan bilangan asli dan3. HimpuhnimanpBuinlaanngyananBgulaantgdgitoutlaisnkyaan bZil=an{…ga¸n-4n,-o3l,.-2It,-u1,s0a,m1,2a,3h,a4l,n…y}a dengan gabunganDengahnimkaptuanlaainn bHiilmanpguannanbBulialatnpgaonsiBtifuladtanadahliamhpguanbaunngyaannhgimapnugngaontabnilyaangbainlabnuglaatnpositif danHimpunnoaln Bilangan Bulat Negatif 3. Himpunan Bilangan Bulat serta himpunan ሼyǥanǛgെanͶgǡgെot͵anǡ െyaʹbǡ iെlaͳnǡgͲaǡnͳǡnʹoǡ͵l.ǡͶǡ ǥ ሽ dituliskan z =DBaUriKkoUnsPepEGbilAanNgGanAdNi aStaIsScWobAa diskusikan dengan teman kelompokmu! 911. Himpunan Bilangan Asli adalah himpunan bagian dari Himpunan Bilangan Cacah dan Himpunan Bilangan Cacah adalah himpunan bagian dari Himpunan Bilangan Bulat. Apakah Himpunan Bilangan Asli adalah himpunan bagian dari Himpunan Bilangan Bulat?2. Berapa banyak bilangan asli dan berapa banyak bilangan bulat?2. OPERASI BILANGAN BULAT Gambar 2.5 Anak Pramukaa) Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat.Aplikasi penjumlahan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupanatau dalam masalah nyata. Mari kita perhatikan ilustrasi berikut.Setiap hari Sabtu Widodo selalu mengikuti kegiatan ekstrakurikuler pramuka yangdiadakan di lapangan sekolah. Pada saat latihan baris berbaris diperintahkan darikomandan regu: “Maju 3 langkah”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah3 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 4 langkah”, hal iniberarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 4 langkah, demikianseterusnya. Secara matematis dapat ditulis mundur 4 langkah = -4, dan maju 3langkah = 3.Jika digambarkan dalam garis bilangan maka:64 Kelas VII SMP/MTsakan bergerak melawan arah sejauh 4 langkah. Demikian seterusnya. untuk selanjutnya secara matematis dapat ditulis mudu 4 langkah = -4, dan maju 3 langkah= 3. Gambar 2.5 Jika digambarkan dalam garis bilangan maka:Anak Pramuka mundur maju -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 GGaammbbarar2.62.6SkSetkseatmsaamjua-mjuu-nmdurndur CoPenmtaonhfaa2ta.n1 pola bilangan lebih memudahkan kita untuk menjumlahkan danPbielmanagnafnabmabeteuarninlkagtupuytor.alaannggbckiluaaknnugpabniblaalnenbygiaahkn.m-Pbeeimrlahunadtgiakahanknabcnouknlaittotahyubanentrugikkucmtu. eknujpumblaanhkyaank.daPnermhaentigkuarnancgoknantobhilangan-PenyelesaianTentukanlah hasil penjumlahan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 48 + 49 + 50 = …KDiitkaebtaahnugiuB1nU+pKo2lUa+b3Pila+EnG4ga+An5Nde+Gn6gAa+Nn…mSeI+nSj4uW8mA+la4h9ka+n510dengan 49, 2 dengan 48 dan seterusnya. Bilangan 92 manadi antara bilangan 1 sampai 50, yang tidak punya pasangan sehingga jumlahnya 50?1 + 49 = 502 + 48 = 503 + 47 = 50dan seterusnya dapat kamu lanjutkan sehingga kita peroleh 25 buah bilangan 50 dan angka 25 adalahbilangan yang tidak punya pasangan.50 + 50 + 50 + 50 + ... + 50 + 25 = 25 (50) + 25 = 1250 + 25 = 1275Jadi hasil penjumlahan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 48 + 49 + 50 = 1275Dapatkah anda menyelesaikan soal di atas dengan cara lain? Silahkan mencoba! Contoh 2.2Tentukan hasil 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56.PenyelesaianPola yang diperoleh dari penjumlahan 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56, dapat dinyatakan dalam bentuk(6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50).Misalkan p = (6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50).Ditanya: tentukan nilai p!p = (6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50). = 6 x (50) + (1 + 2 + 3 + … + 50) = 300 + 1275 (manfaatkan jawaban soal contoh 2.1 di atas)p = (6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50) = 300 + 1275 = 1575.Jadi 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56 = 1575. Matematika 65Aplikasi penjumlahan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupan atau dalam masalah nyata. Mari kita perhatikan ilustrasi berikut. Masalah-2.1 Sebuah pesawat Garuda, mula-mula terbang pada ketinggian 3.000 kaki di atas permukaan laut, karena gumpalan awan dekat maka pesawat terbang naik sampai ketinggian 7.000 kaki. Coba tentukan kenaikan posisi pesawat dengan penjumlahan bilangan bulat! Gambar 2.6: Pesawat Terbang Ketinggian pesawat mula-mula 3.000 kaki. Ketinggian akhir pesawat 7.000 kaki. Misalkan pertambahan ketinggian pesawat adalah t.ari posisis semula adalah 4.000 kaki. Kita peroleh persamaan nilai t dapat dibantu dengan garis bilanga3n00d0e+ngta=n7. 000 kaki.0 t = 4000 Berarti kenaikan pesawat Penjumlahan bilangan bulat positif dari posisi semula adalah 4.000 kaki. Pednajnumblialahnangabnilabnuglaant nbeuglaattpifositif dan bilangan bulat negatif Permasalahan menentukan nilai t dapat dibantu dengan garis bilangan 3t dengan mengambil 1 skala = 1.000 kaki. 012345 67 8 Perhatikan Masalah-2.2, Masalah-2.3, dan Masalah-2.4 untuk 3 + t = 7; t = 4 menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat Masalah-2 positif, serta penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif. Sebuah kapal selam, mula-mula Masalah-2.2 menyelam 120 m dibawah permukaan laut, kemudian kapal Harga satu 1 kg alpukat satu bulan yang lalu Rp bergerak ke bawah sejauh 60 m. 6000. Karena musim alpukat, harganya turun dipasaran Coba nyatakan posisi kapal selam hingga Rp 2000 per kg. Coba tentukan harga penurunan apokat dengan penjumlahan bilangan bulatm Gambar 2.7: Alpukat Harga alpukat mula-mula Rp.. Harga alpukat setelah turun Rp... am 120 m di bawah permukaan laut. Misalkan p penurunan harga 1 kg alpukat. ari posisi semula. Kita peroleh persamaan 6000 + p = 2000 selam di bawah permukaan laut adalah h.erada pada posisi 180 m di bawah permukaan laut. nilai h dapat 6di6bantu KdeelansgVaInI SgMaPr/iMsTsbilangan. Lihatawah ini.Alternatif PenyeAlelstaeiranna:tif Penyelesaian: Harga alpukat muHlaa-rmgaulaalpRupk…at…m…ula. -mula Rp………. Harga alpukat setHelaarhgtauarulpnuRkpa.t …set…ela…h turun Rp. ……… Misalkan p penurMuniasnalhkaarngap 1peknguarlupnuaknatharga 1 kg alpukat Kita peroleh persKamitaaapneroleh persamaan 3K0it0a0p+eBP6rtt0eoe=0r=rlma0er4a7th+is0p.ahppl00=aa=er0h0g-ra2a04sn00aa0m0lm0p0eu6BPnaPk0eeeaea0rnrtnmna0ttujruaut+kirsmpauahpnnl=laaa=nrRhhg-ia2plaa4an0.ni0a04mp0l0b0p0e0diuln0akape,annaptgttetuadruknirkbaugbann.nunRtluiapltad.iep4npo0gs0dai0antip,fgapaterdrisikbbgai.nlatnugdaennbgearnikp = - 4000Berarti harga alpukat turun Rp 4000, per kdgimBPb. aeeenrrntmaugradatisemanklgbeaainhlnaaig1nkaasrminksaeplnaees=nawt1uP.ak0detan0adnjn0udamabrnknililaaibahpliknalaoaignin.sa6bgintiaslnaibdsnubPagulseaaplnenatajmtudnbtnmaueuenlgdglalaabataihttibpiilaffaoaannsdn6ibgtatiiafullnaanbhdguael4nan.t0bgnu0ealg0anat tkpigfoaaskirtiiiPermasalahan menentukan nilai p dapat Ppenjumlahan bpilangan bulatbilangan, yang disajikan pada gambar di samping. dan bilangan bulat nega 0123 4 5 67 8 9Masalah-2.3 0123 4 5 67 8 9 6 + p = 2; p = -4 36 + p = 2; p t= -4 Pada kedalaman 180 m, kapal selam harus Penjudma-n2la4-b1h08ial0na-1n+b8g9i0P-al01a9n-e81P=n0n02bgehj0uanu;dlnhjmau-ad6=tbmnl0apu-a-hn92lolbhaa04sibaht0il0itnanlinfae-b1nggbi8gaali0-taaln1ia9n-nf81n0b0g2bgua0uakPsbMkklnlneaaaeeea-lttpadbr6tbeuhas0appuspuaallha0eololaktliaarimasskamkstMStii1hra0etatananunie-ilnnfneaf43eka2bgmgsga1pse+uaaa8e3natynat0irtdsaiflmhfein=a4m9rtagie0h.,7slkPbkMk5aak-Lk;baaeeemlh2aeaaittpadrhpush,h6pa=sapaaaanaallertaklankat4l.7riamalg-isamksk2rDehareaea?alru-l8iann.sinda4ksmaemgima1Cpbla8adaheaioynaik ke permukaan 90 m, karena ditemukan batukarang yang besar. Di mana posisi kapal selamsetelah naik? Coba anda selesaikan sendiri. Lihatgaris bilangan di sebelah kanan untuk membantuanda!Perhatikan masalah 2.4 berikut! -180 + 90 = h;sheb=e-l9a0hmkierinuynetulkammsseeelbmeeslbaaaihk1natk2uni0raisneudnnMasalah-2.4 penguSreaknagraanngduma abriilaknSigteaaknatbernauntluagtk.amCnearprmiolakatiittahaanltdebanetruopikpkeeaurrntamisnpiuioudklanaatnuatakinsnidlmalaheanuoteipttni,ektru-akktisatei tersedia! pengurangan dua bilangan bulabt.eCrgeermraatki hkalebebriakwutainh tersedia!Sebuah kapal selam, mula-mula menyelam Coba nyatakan pos120 m di bawah permukaan laut, kemudian kapalbergerak ke bawah sejauh 60 m. Coba nyatakanBUKU PEGANGAN SISWAposisi kapal selam dari permukaan lauGt ademngbaanr 2.7: Kapal BSUelKaUmPEGANGAN SISWApenjumlahan bilangan bulat! Alternatif Penyelesaian: Posisi mula-mula kapal selam 120 m di bawah permukaan laut. Bergerak ke bawah 60 m dari posisi semula. Misalkan posisi akhir kapal selam di bawah permukaan laut ada Kita peroleh persamaanPosisi mula-mula kapal selam 120 m di baw–ah12pe0rm+u(k–a6an0)la=ut.hBergerak ke bawah 60 m dari posisi semula. h = –180Misalkan posisi akhir kapal selam di bawah Bpeerrmaurtkiaaknaplaault saedlaalamh hte. lah berada pada posisi 180 m di bawah peKita peroleh persamaan Permasalahan menentukan nilai h dapat dibantu dengan ga–120 + (–60) = h, maka h = -180 gambar garis bilangan di bawah ini. PenjumPleanhjuamnlbahilaannbgialanngbaunlbaut lnatengeagtaiftifBerarti kapal selam telah berada pada posisi 180 m di bawahpermukaan laut. Permasalahan menentukan nilai h dapat dibantu dan bidlaanngbailnanbguanlabtunlaetgnaetgiaftifdengan garis bilangan. Lihat gambar garis bilangan di samping. -60 Sekarang mari kita perhatikan pola penjumlahan bilangan -120di bawah ini. Cermati hal berikut ini dan isilah titik-titik yang htersedia! Apakah ada sifat penjumlahan bilangan bulat yang kamu -240 -180 -120 -60 0tarik dari pola tersebut? -120 + (-60) = h; h = -180 BUKU PEGANGAN SISWAMatematika 67Bagian I Bagian II5+4=9 –5 + 4 = –15+3=8 –5 + 3 = –25+2=7 –5 + 2 = –35+1=6 –5 + 1 = - 45+0=5 – 5 + 0 = –55 + (–1) = 4 = 5 – 1 –5 + (–1) = –6 = –5 – 15 + (–2) = 3 = 5 – 2 –5 + (–2) = –7 = –5 – 25 + (–3) = 2 = 5 – 3 –5 + (–-3) = … = –5 + …5 + (–4) = 1 = 5 – 4 –5 + (–4) = … = –5 + … Masalah-2.5 Pak Agum memiliki usaha penjualan ayam potong di pasar. Pada bulan pertama ia mendapatuntung 4 juta, bulan kedua mengalami kerugian sebesar 6 juta. Pada bulan ketiga dan keempat, hasilpenjualan Pak Agum mengalami kerugian sebesar 2 juta dan 3 juta.a. Apakah Pak Agum mengalami untung atau rugi dari hasil penjualan pada bulan pertama dan kedua?b. Hitunglah total kerugian Pak Agum untuk bulan ketiga dan keempat?a. Pak Agum memperoleh untung dari hasil penjualan ayam pada bulan I sebesar 4 juta dan mengalami kerugian pada bulan ke-II sebesar 6 juta,dalam perhitungan untung dan rugi dari hasil penjualan, kita menggunakan tanda negatif ketika mengalami kerugian dan tanda positif ketika mengalami keuntungan. Jadi untuk mengetahui apakah Pak Agum memperoleh keuntungan atau kerugian dari hasil penjualan ayamnya, kita jumlahkan hasil keuntungan dan kerugian yang diperoleh sebagai berikut. Untung = 4 juta Rugi = 6 juta Untung + Rugi = 4 + (-6) = …. mari kita selesaikan menggunakan garis bilangan: Langkah-langkah: 1. Ambil titik nol sebagai titik acuan kemudian bergeraklah (arah kanan dari titik nol) menuju ke titik 4. 2. Karena bilangan 4 dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif 6 maka mundurlah ke kiri sebanyak 6 satuan dari titik 4. 68 Kelas VII SMP/MTs1. Ambil titik nol sebagai titik acuan kemudian bergeraklah (arah kanan3. 23P..andsKdP6eaaaasnbrnargiaedtlntunaaiyathanian231kgtok.i...ltnpai6koheAPsdKrlesaaat)aamabcirnstrmtuiaiibedukantneiaaipnlytnannaeiahtcukg.niokiujltnjnupaiua6gkohenmkgrlsnate)ahlaioastmkittihinuliekteagapsitnknnageietcu.bani4bkujaj.ukeuagbrenmaketairtehlihnattiteidihniktntaaigitkknbignseaa4ebercg.tkheeuareelattanaitnhftinitmidkmskaeeuambtdkneeuuaelragdhhmsaieeatnmubinftaniundbmdsyueeuaarrtkrkgleaaels6haerhmasbkakamutelnuanuaykhdndaiur.ku(irarlrasahehbkkaenanykaairnki 6 satuan. mundur 6 satuan mundur 6 satuan -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4. Dari gambar di atas, hasil penjumlahan 4 + (-6) = -2. Dengan demikian4. baMDyialaaarrmnidkMpiggkaeopaaairrltanmuiaradighbhcbakioauaaaib4bsrlsntauiaai.dltllsimascppeanDMdkeoebeetbaenbaIanneaarrsearsdjjuigr,niuuaiaaghmhtmargniukiaalaa2ebksiaIlsmntIaineanialj,lhrneusbpiPacnakhpeteaaaonytuabenrkubastnerjb.kdiuAmuasjliaimuapplgmnaaareiulpnataln2emhaaahghjndsnaua.ja,emusamnnniahtella4bytbaanupuashu+rgkeimulalalaan(anpl-npnatj6i4pumaes)Iham+hnei=dab.jd(lkusa-aa-aei62mhglnrb).uaaplduDIganieelIhieabnn,a4nanegnjPngura+asiaImnk4ekn(dmbul-+daaeAt6ee.hsn)l(magia-hrduIn6iaI2ekm),t4nipja=Pugon+mata-ladka2ne(arh-.nuAmr6aDgip)sgaehiieadllluanahipsemhgm.ienlaangitpnmjauenmndejnelummagahaeliaallkainnihmaanit 4 + 2 = 6pola hasil penjum4 l+ah(-a3n)b=il1angan bulat sebagai berikut. 4 +41+=2 5= 64 + 2 = 6 44 + (-34)) ==104 + (-3) = 1 4 +40+=1 4= 54 + 1 = 5 44 ++ ((--45)) ==0-41 + (-4) = 0 4 +44(++-1(0)-1==)43=4 3+ 0 = 4 444 +++ (((---566))) ===---1242 + (-5) = -1 4 +4(-+2)(-=2)2=42+ (-1) = 3 JaJaddii44++ ((--664)) ==+--(22-6) = -2b. Penjuabl.anPaeynajumalPaankaAygaummp4ma+ken(Ag-a2gl)uam= i2pkaedruagbiaunlapnadkae-JbIauIdIla=in4-k2+e,-b(I-Iu6Il)asen=bke-s2ea-rIV2=ju-t3a, dan kerugian padaD1(2b3-.u..2e l)nagn+dKPAaki(namag-enr3al-ebdaD(m)Imn-321ianV=l2eaanbg...tn)kgaak…iotgdlra+asAsKPpiakkaaheeehtaal(amn-obbrannn-lrattabhaa3oilbedsadtnann.)liniia3lagknlyysp=an(DPmlpkejgaa-ta321eagueeiab2ekmkka…nc...ttlnnhan)ikaoauajkj33guj,ghghaay+puuAKPsammnaa-aneessaaital(ramnnaaorbolllaahitn-taaaragttsiitkal3nilbeduuhtntasnnianab)isgsnaiiaaaklgknaelyiabnkt=annnlpgmobagyatuag..abeipctaknk…ahatalalHneueiaggkoamaclkr3adjnynaeahhaputuknaajnail-neaspeatuIpnlnikatirrnolaatmadtinduaageitiltkntakutgiasmnilisgkksiahaniAdnkbeauaibknhietaeabnmdIngaua.agrppcIaighauhlPnapauaaegamcgemtnaetnaynianudakrfendjaibotabauIpmniAnieltnpkemgaeijsdkrgagtraaeghedaaeiktultdmtekmsaahanehamrikanhlia:auabbtammInidaksictIdpuhatgiaanluuaialirlmagkmanakdap(hdann-daeaneun2bakunnrbnbbk)epkeerojkdeuegletdraa+elaieurtlr-atedatmahahgIri(thliknknI-eiea:uss3tIfidnrehemik-=td)ta2ababteaiii.k.kaa-amsgpI2lnninIaaelnsay,yIrhrbeb(keaabdio-teskekgaakue2lrraenblel33)hgaathtieIie+mhinsslfVtnarhaaiau(kntttkaumu-ikmnegms3aa-l-idaen)a2nulIsannuhV..en(kjr-Htadal=ke2dauale)iha-lr:t3+mhiitniu(ik-mnd3-da)2upunardtlauhr sebmaunnydaukr 33ssaatutuanan. Hal ini dapat digambarkan dalam garis bilangan mundur 3 satuan -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 23 --55 -4 -3 -2 -1 0 1 -5DarDi gaarmi gbaarmdbipaerrdoilpeher(o-2le)h+((--23)) += (-5-3) = -5bCiolaC2bnao+gba3pane prbehreCahrtaioiktkb=iukaa tan.n5Dp ceaarrrhiaagtmaimkmeaenbnneanertncuadtkuriaapkneamrn(o-2el(-e)n-2h+e2+n)((-t-2u23+k)) ad+(n-e=3(n- )g(3-a)2d0n)e=pno+-g5la(nh-3aps)ioldlpaeennhgjauasmnil ahpaennjbuimlanlaghananberikut. pola hasil penjumlahan1 + 3 bila=n g4a n berikut. -2 + 1 = -10 + 3 = 3 -2 + (0) = -2 -1 + 3 = 2 -2 + (-1) = -3 97B-U2 K+ U3 PEG=A N1 GAN SISWA -2 + (-2) = -4-3 + 3 B=U K0U PEGANGAN SI-S2 W+ (A-3) = -5 97Dari pola di tersebut dapat kita tuliskan: Matematika 69●● Pola yang tampak pada hasil penjumlahan dua bilangan di atas adalah “berkurang 1” ●●●● Jika kedua bilangan bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif), maka jumlahkan lebih dahulu kedua bilangan tersebut kemudian kembalikan tanda pada hasilnya. –– • Contoh:●● –– 2 + 3 = 5 –– -2 + (-3) = - (2+3)= -5 Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memperhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar. Contoh: –– -45 + 30 = - (40 - 35) = -5 –– 75 - 125= - (125 - 75) = -50 Aplikasi pengurangan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupan atau dalammasalahah kehidupan sehari-hari. Mari kita cermati ilustrasi berikut.Masalah-2.6 Seekor katak mula-mula di titik 0. Katak itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekalimelompat jauhnya 4 satuan. Jika katak melompat dua kali ke kanan, kemudian 3 kali ke kiri, makakatak itu sampai di titik...Katak berangkat dari titik nol.Karena satu kali lompat, katak berada pada 4 satuan maka untuk dua kali melompat ke kanan, katak beradapada titik 2 × 4 = 8.Kemudian katak melompat 3 kali arah kiri dari titik 8, maka katak berada pada titik8 – (3 × 4) = 8 – 12 = - 4.Untuk lebihUmnetmuakhlaembiihpemrheamtikaahnamgairipsebrhilaantigkaannbgearirkisutb. ilangan berikut. PePnegnugruarnanggaannbbiillaannggaann ppoossiittiiff dadnanbbilialannggaann ppoossiittiiff 12 8 n -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 - 12 = n; n = -470 Kelas VII SMP/MTs Masalah-7 Dua ekor ikan mas berada di dalam aquarium. Ikan yang besar 15cm dan ikan12 8 n Masalah-8 -5 -4 -3 -2 -18 -0121KE=de2wtni;na3ngrdg=4ii-an45ngi6nk a7mt reo8ml bduiat katrol timba air. atas permukaan Permukaan tanah tanah 2m dan permukaan air 3m di bawah permukaan tanah. BerapaCermati masalah berikut ini! panjang tali dari permukaan air ke katMroalM?saalsaahla2Mh.7-8asalah-2.7Air sumur 2m EdwEdawrdairndgiinngminemebmuabtukaattkroaltrtoiml tbima baiar.air. KeKtinegtignigagniaknatEkroadltwroadrlid daiintgaasintapsmeerpmmeburumkaautaknkaaatnrol timba air.Gambar-2.10: SumPuerrmPuekrmaaunkataannathanah tantaahna2hKm2emtdinagndgaipannerpkmaeturrmkolauadkniaaaatnaisr ap3ierrmm3umkdaiandtianah 2m dan bawbawh ahpepremrpmuekuramkaanuaknaairan3tmantaadhni.abha.wBaehrBaeppreaarpmaukaan tanah. 3m panpjanjganBgtearlaitpaaldipaarndijaarnpigertpmaeliurmdkaauraiknpaearnamiruakikaraenkaeir ke katrol? katkroalt?rol?Alternatif Penyelesaian:KetinggianAirksAauimtrrsuourlmudr ari permukaan tanah 2m, dan permukaan air di bawahpermukaan tanah 3m.MSUenihAstuialnkltGgkeGagralnnaeaGmbmappabitbahimapafnrarj-bPm-na22aenj.e.a1rn1gmn-00y2gt::aea.ShSl1lteuiaa0usmldm:miaauSdiiruaraiurnbrkmi:aagputraeroirmml kauenkapaaecnrmaaruairkkmaeaenkmaaptirreor5lom,lme.haknailpai= 2 – (–3) = 5. garis p perhatikanbilKanegAtianlntgebgreinarainktuikft.aPteronlyedlaersiaiapner:mukaan tanah 2 m dan permukaan air di bawahdJK=UMppUcJpMppaieena2daieeerbnts=tdhriirrriuaa–,MKpUSbstanmmmaiwulka2p,ietgek(nelikluuuia–rahgakamk–tstmln kkkh3iniunaeapaanjne)aaa(nbkglaulnapnpg–gkmaaae=inangekhg3nnagnbpkgnrajlap2ni)maiaeaaraatahetmbinnbta=+apnsnuppiarr jegilnroeokiabaih32rtrpmalm5lnainiadke lhak=adg+ajnaamehatmnpnaukanrhaa3 m5ttnijar3teagrlea.hta.i.inakognl mmamani=pna3jilnhgtalkdi.eat a,maaadr5narhayhdoltimbma.rgt.iaaPala3iarrnludmiorpikegp-i mgik6anelaedi,-ardibrg.2p5pktamipadmiaaubeersanP–-kesalagirra4uarteirneamna(hrjatkgpmh–-iantonaia3kabraeuni3mglguotanairik)a-icumnldamnkl2gkaah=aarnaakakngap–-anaraup2r21naaneaieaan3nbgikrmnd +aagiap0akmali,na3aaeregtc1denn2nra=5nakmmaagnmbea2nrpmapauagtii;brnlehp.3kapoaarektmalPnpor=ir,ea42fdlgome-ese5n6imnaskemhu5-sinhgaa5tka,dpiituinmapnf-rarer4aiodgonlpar5nalag-sonim,3binnailagtmeig-ii.ppla2rfh.aapn–-npke13nbgarimia0llpnaau-1i2n=6nkPge2ape2-ag5nan23–ang-pd4–tupeia(r(4fo–r-ana–3hs3in35brai-)g)2titila=i=fadk-n–p1n2ia53bg+n.ia0bl3naag2n1=wnagerp2aagi;hnsa3ptpi=4fo5s5itifgaris bilangan, yang disajikan pdaadnabilangan neg2at–if(–3) = 2 + 3 = p; p = 5gambar di samping. M–a3salah-2.8 Masaplah-92 –-4(KkMBttBk–-eee3auer3urullnn)-dmedal2yy=raihiBKMMuea-a-s21dnmutteebu3aaaig+dmlBel0uuasiaBBra3unrklukm-ua1udlueedm=bahdilkBadi2eenhpiauiaibrur;ynnIleklm32kepaaadanar.a?hi=mglBa8kla4ai.aeb5huannIkhl5iedaKean2Bri2rlkemaekukmebkhnkeadeleeugleilaierenldrlmersraeie3ereadhndnaennlegueigngnnn.rgkBgug3dB.deadhuaeBeelndennnenreniygarkgregpaaAAeabannaa.lpneltgneiirakA.,.rmeeAAllanie.itlgrniieM,..ndguelkan-egmkaanullaaAhatIina, -6-5 2Gambar-2.11: Anak Bermain teMrnaysaatlaaBh-u9di kalah 2 kelereng. Berapa kBeluedrei ngbekremkaailnahaknelBeruednigselduernughannya?Ali.AlternGaatimf bPaer-n2y.1e1le:sAaniaank:Bermain Mula-mula Ia kalah 3 kelereng. Kemudian Budi bermain dengan Ati,Mula-mula Budi kalah 3 kelereng, kemudiantkeranlayhatlaagBiu2dikeklaelraehng2.kelereng. BerapaBMaMMinsiuayBsllaaakUlk-akmGKnakauneUkmllkaebbPrBaaaeEdnurn-adyG2glia.a1Akkkh1aeNkb:lkaaeAGahnllneyaA3arahekNkkaneBnkglSeeebrklrIeueSmenrdkWeaginai,naglAkadekhamealkanuahdBlia5ahunakdnkei,alkBelmearulheadenkirlagea,gn.mkig2a=kkkea–ek3lear–lean2hga=.n–B5u.di seluruhnya. 77k = –3 – 2 = –5. -5BmPBeaUernnhKyMABMeaantUalkiuittnksuelkaayPakrnel-aankElmnkeaaGrunbgtkeiaalAnefkanrgliPNeybsBkraeaGeueknnnkbdnAyygaiyilealNaakaklknehakegSsaklekaaanleIaehniSlblareae3Wunrhndeb:kagAnieenragklidkeebkakurueleatadknlhaiaghua5l,andkknhtaueealBklmaneuhruBdem5dniu!igekda.mnei,lbekmaranealtnakuhga.lkkaag=mi –2u3k–el2er=Pene–ng5g..duarnanb–gi2alannbgialna–n3nge1ag0na0tnief gatif k -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 –3 – 2 = k; k = –5BUKU PEGANGAN SISWA 100 Matematika 71Masalah-2.9 Dua ekor ikan mas berada di dalam aquarium. Ikan yang besar 15cm berada di bawah permukaan air dan ikan yang kecil 9cm berada di bawah permukaan air. Berapa perbedaan jarak kedua ekor ikan dari permukaan air?Gambar-2.12: AquariumPosisi ikan yang besar 15 cm di bawah permukaan air, dan posisi ikan kecil 9 cm di bawah permukaan air.Misal d adalah perbedaan jarak kedua ikan dari permukaan air, maka:d = –15 – (–9) = –15 + 9 = –6.Karena ukuran jarak selalu positif maka nilai d = 6Jadi perbedaan jarak kedua ikan di bawah permukaan air adalah 6 cm.Untuk lebih memahami bagaimana cara memperoleh nilai d perhatikan garis bilangan berikut. Pengurangan bilangan negatif dan bilangan negatif –15 d –9-15 -13 -9 -5 -2 -1 0 1 2 3 –15 – (–9) = –15 + 9 = d; d = –6 Sekarang mari kita tentukan pola untuk menentukan hasil pengurangan dua bilangan bulat. Cermatihal berikut ini dan isilah titik-titik yang tersedia.Bagian I Bagian II5 – 4 = 1 = 5 + (-4) -5 – 4 = -9 = -5 + (-4)5 – 3 = 2 = 5 + (-3) -5 – 3 = -8 = -5 + (-3)5 – 2 = 3 = 5 + (-2) -5 – 2 = -7 = -5 + (-2)5 – 1 = 4 = 5 + (-1) -5 – 1 = -6 = -5 + (-1)5–0=5=5+0 -5 – 0 = -5 = -5 + 05 – (-1) = 6 = 5 + 1 -5 – (-1) = -4 = -5 + 15 – (-2) = 7 = 5 + 2 -5 – (-2) = -3 = -5 + 25 – (-3) = … = … + … -5 – (-3) = … = … + …5 – (-4) = … = … + … -5 – (-4) = … = … + …72 Kelas VII SMP/MTsBerdasarkan beberapa pemecahan masalah nyata dan pola pengurangan bilangan bulat pada bagian Idan bagaian II di atas, diperoleh sifat berikut ini. Sifat-2.1 Misalkan a, b bilangan bulat. a) Mengurangkan b dari a sama halnya dengan menjumlahkan a den- gan lawan dari b, ditulis, a – b = a + (-b) b) Setiap bilangan bulat dikurangkan atau dijumlahkan dengan 0 hasil- nya bilangan itu sendiri. Dari berbagai hasil penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif atau bilanganbulat negatif serta hasil pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif atau bilanganbulat negatif, hasilnya selalu bilangan bulat. Dari hal ini dapat disimpulkan sifat ketertutupan himpunanbilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan sebagai berikut. Sifat-S2i.f1at-2.1 BilanBgialnangbaunlatbubleartsibfaetrsitfearttutueprtutuerphatdearhpadoapperaospierpaesni jupmenlajuhmanlahaatanu a Sifat-2.2 pengpueranngguarannagratinnyaratihnaysailhpaesniljupmenlajuhmanlaahtanu apteanugpueranngguarnandguaan adtuaau aletabuihleb bilanbgialnanbgualnatbpualastiphaasstilnhyasailbniylaanbgialnanbgualnatb. uDlaittu. lDisitulis Himpunan Bilangan Buala+t bbear=s+ifcab,t t=deerctnu,gtudapnenteagr,habna,dada,pabno,pcderbaanisliacpnebgnialjnaun-mbgliaalanhna-bngialnanbgualnatbulat atau pengurangan; artinay–a,bjau=m–ldab,h=daetdnau,gdasneelniasg,iahbnd, aud,aabnb,idldaanbngilaadnnbgbialunalna-btg,iaplanan-sbtgiialnanbgualnatbulat bilangan bulat. Ditulis a + b = c, dengan a, b, dan c bilangan-bilangan bulat; a – b = d, denganCae,rbm,Cadetairnmkdeambtiilbkaanelmgiasbnia-fbalitlaspinefganatjnupmbeunllajauht.manlasheabnarsaenbgarbainlagnbgialnanbgualnatbduelantgdanenbgialannbgialna BagaBimagaaniamhaansailhnaysai?lnya?Cermati kembali sifat penjumlahanCsoenbatCroahonng2t.bo3ihla2ng.3an bulat dengan bilangan nol. Bagaimana hasilnya? Contoh 2.3 a. 2 a+. 02=+00+=20=+22 = 2 b. -5b+. -05=+00+=(0- 5+) (=- 5-5) = -5a. 2 + 0 = 0 + 2 = 2 c. 15c.+105=+00+=105+=1155= 15b. -5 + 0 = 0 + (- 5) = -5 Dari Dkeatriigkaectiognatochontetorshebteurtsedbauptatdakpitaat skiimtapsuilmkapnulbkaahnwbaa:hwa:c. 15 + 0 = 0 + 15 = 15Dari ketiga contoh tersebut dapat kitSa isfiamt-Sp2iu.fl2akta-n2.b2ahwa: BilanBgialannbguanlatbumlaetmmiliekmi iulinksiuur nisduerntiidtaesnttietarhsatdearphaodpaperaospiepraesnijupmenlajuhmanlaha Sifat-2.3 artinyaartinhyaasilhapseinl jupmenlajuhmanlahbainlanbgialnangbaunlatbudleant gdanengbainlanbgialnangnaonl n(0o)l (0 hasilhnaysailbniylaanbgialnanigtuanseintudisrei.ndDiirtiu. lDisitaul+is0a=+00+=a0=+aa, =dean,gdaennag,abn, ad,abn, daHimpunan Bilangacn bBiulaclantbgmialnaen-mbgiialliankn-ibguianlnasnubgruaildnaetbn. tuitlaast.penjumlahan, yaitu0, artinya jumlah bilangan bulat dengan nol adalah bilangan itu sendiri.Ditulis a + 0 = 0 +Maa=saMal,a a hds-ea1nl0aga.hn-1a0b.ilangan bulat.Masalah-2.10 WiraWdiarna WdainriWkairkiakabkearkadbiekrasdeidkansgedmanegmmbaenmtubaanytauhanyahmnyeammaseamngasuabnign urbu sepersteipyearntigytanmgptaakmppaadkapgaadmabgaarm. Bbaer.apBaekrahpakkoathakkoutbaikn uybainngymanegremkaerpeaksaanpga Wira dan Wiri kakak beradHikasilHpHaesamislialpspeaemnmgaaassanannWggaainnraWWiriara HaHsial spielHmpaeasmsial anpsgeaamnngaWasanirniWgainri Wirisedang membantu ayahnya memasangubin rumah seperti yang tampak padagambar. Berapakah banyak ubin yangmereka pasang? AlterAnlatetirfnpaetnifypeelensyaeialens.aian. BanyBakanuybaikn uybainngytaenrpgatsearnpgasaadnaglaahdablaanhybakaMnuaybtaeikmnauhtbiakisanilhpaesmil7aps3eamngaasnanWgainraWditraam banybakanyakunbyian uhbaisnilhpaesmilapseamngaasnanWgainriWyaikrinyi:akni:Banyak ubin yang terpasang adalah banyak ubin hasil pemasangan Wira ditambah banyaknya ubin hasilpemasangan Wiri yakni: Hasil pemasangan Wira + Hasil pemasangan Wiri = 48 ubin + 35 UbinJika di pertukarkan maka: Hasil pemasangan Wiri + Hasil pemasangan Wira = 35 ubin + 48 UbinMenurut kamu apakah 48 + 35 = 35 + 48. Jika sama, coba pikirkan alasan kamu berdasarkan gambar diatas, mengapa demikian?Dari hasil ilustrasi di atas, kita misalkan banyak ubin hasil pemasangan Wira adalah a dan banyaknya ubinhasil pemasangan Wiri adalah b. Coba cermati: apakah a + b = b + a ?Ternyata pertukaran tempat (sifat komutatif) terhadap operasi penjumlahan a dan b tidak merubah hasilperhitungan.Perhatikan beberapa contoh berikut! Contoh 2.4a. 34 + 2 = 2 + 34 = 36b. -21 + (-54) = -75 -54 + (-21) = -75 Perhatikan -21 + (-54) = -54 + (-21) = -75c. 37 + 25 = 25 + (-37) = -12Berdasarkan masalah dan contoh di atas dapat ditetapkan sifat berikut. Sifat-2.4 Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat komutatif (pertukaran), ditulis dengan: a + b = b + a 74 Kelas VII SMP/MTsContoh 2.5Isilah kotak-kotak berikut yang masih kosong dengan hasil penjumlahan bilangan-bilangan bulat+ 7 8 9 10 -10 -11 hh Apakah 8 + 9 = 9 + 8 ?7 14 -3 -4 hh Apakah -10 + 9 = 9 + (-10)?8 16 18 Dapatkah anda tunjukkan contoh yang lain ?9 1810 18 20-10 -3 0 -20-11 -1 -22Perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 2.6a. 1 + (3 + 4) = (1 + 3) + 4 1 + 7 = 4+4 8 = 8 Ternyata: 1 + (3 + 4) = (1 + 3) + 4b. 2 + (-10 + 8) = 2 + (-2) = 0(2 + (-10)) + 8 = (2 -10) + 8 = -8 + 8 = 0Perhatikan 2 + (-10 + 8) = (2 + (-10)) + 8 = 0c. (-5 + 3) + 7 = -2 + 7 = 5-5 + (3 + 7) = -5 + 10 = 5Perhatikan (-5 + 3) + 7 = -5 + (3 + 7) = 5d. -3 + (2 + (-3)) = -3 + (-1) = -4(-3 + 2) + (-3) = -1 + (-3) = -4Perhatikan -3 + (2 + (-3) = (-3 + 2) + (-3) = -4 Berdasarkan contoh di atas dapat kita tetapkan sifat assosiatif pada bilangan bulat terhadap operasipenjumlahan sebagai berikut. Sifat-2.5 Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. Operasi penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat asosiatif (pen- gelompokan), ditulis: a + (b + c) = (a + b) + c. DISKUSI ! Berdiskusilah dengan temanmu, apakah sifat asosiatif berlaku terhadap operasi penguranganbilangan bulat? Matematika 754. Diketahui suhu di Puncak Jaya Wijaya –4 C, sedangkan 480C. Hitunglah selisih suhu kedua tempat tersebut! 5. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. Jika Kota C terletak d sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B, berapakah jarak 6. Tulislah sebuah persamaan dengan operasi penjumlah nilai t! Uji Kompetensi - 2.1 a. a. t1. Pak Manuputi adalah seorang peternak ayam -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 potong dan ayam kampung. Ia memelihara 650 ekor ayam potong dan 135 ekor ayam b.b . t kampung. Akibat terjangkit flu burung, dalam minggu yang sama terdapat 65 ayam potong -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 dan 45 ayam kampung yang mati. a. Berapa banyak ayam potong yang masih t hidup? b. b. Berapa selisih banyak ayam potong dan -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ayam kampung yang mati? c.c . UJI KOMPETENSI-2.12. Abdul mempunyai hutang pada Boas sebesar 7. Tulis sebuah persamaan dengan operasi1. RumaPmpenanegkgm7al0Malea0glm.iai0hni0pauk0arpdae,0uca0et6.ilB5aaok0Kdaasaaaenlrksae,eohnIbraaesstaeeaayorrnparaaamRknkpgsap2ppom0aetk0oet.emn0rA0gni0nab,jd7kd0aaum.07nal..yTa1uTnm3liu5ilsalpiiesospckteo!eosbnnregugbuaaurdhyaaaahnnmpgaeapnrkyesuaarasmnmmatumpakkuaaannmamgne.pdnueeAdnnnekgtgnuia.gbknIaaaannt onpoileparieacrsa!isipepnegnugruarnagnagnanunutnutk bsGeib4taalle.a.5umrnrjabugayhanaBBrnnagkeemykarrdainaatakpplnafaaaahldmutsbaeeppabnBluentuiurosnyrmkiaugahasank!nysbgaaaa,lbynnadeaghyramaaalmnpakpamaaoitniyhtm.ioaunmtipangnagpdgygoaauAtnogybgnadagrmnui7sldga.anssaniiaTnhl.amaiu.hilyalaicaiidBs!mtacueU.!pr skd?KeaabUmpuaapPthu6En-75gpG-ea6yAryas-aN5anmmg-G4ampA-a3oaNnt-to2i?Snd-1cgeIS0ncdgWa1annA2 operasi pengurangan unt 3456 73. iSkAeaonbradpnuaglusmtumreimselpdouinncsayetalaiktehSguiurtnaadnnaggamnpaesldaihamapBt aosieae4skomsrebesbaa..r Rp -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 c1 2 3 4 5c 6 7 2. 700.00-70,-0-680--5.7-K-46a--3r5e-n-24a--13a0n-2a1k-12 03c41 52 63 74 3. bpkdsaeeiiSbpBlmraiaemolntklpoaaaguarnssuaaikAgtnpnamasbaegempnnredbomnteuduesynulaisrlesykinaailsmeauariltamtdkaee.nRmiannnustplgGauenapuskltal2aaautaam.um0tkmnsKb0Spmabi.deua0remaeinlk0rranduiea0he9adpcm,n0ieatmaum0uldnahlk.eaakualliiadGianthmmaiaakanlneimetbgn,lmoastgbaAIwnebaasaecrabaaraki8lkhndstito.eaurrnlcbpiHl.s.kaacbceihka...tlnsuuapnrpbuega.mhr lumaneshyam!mas-ia7epnllaaj-oa6dhnm-aa-8c5n-Ba-8-u7t4oi-ak-n7-an63eisc-gg-!6-5p2ci-rla-5-aa41dng--a4gi30-a-g3pn2aa1--2rd1i2as-103 1 c2 3 4 0 1234 45 6 74. apTKJjtHyD–aeaa.ea44syDsiTsJnu. iorrirknnaaeat0kall8aiatuuCeiialjgmmrdkaenksk0aultnant,naClaigeCidmagappksKnykshtip.htllaadlalaega!adKouaaaHii-ahddihkhat7ilhu2ls.94oaiuauriaaase5s-tintiislnAe6nuabmmasuKgedilksnunuk-iukjibAaudm5ostahagaddnaaiurihathrnuh-lknriiitanaad4auuadamabthAskhakae-spnKutda3nKdnurra?eusmhtwipisoiythsr-eoleuKees2PtKauaealtbapraraiinuko-hPsuomss2e1dBeemnetauittrA5panid!ahab0cmmnet4eauaukKBcuBslnrd0a1uakatomkumo,!aakkt4ankhtn2Jenbdauna0mcdaumeeakay3aBndrJn.Mknkpataraaieg,mJalei4apysleanaitWdanasaKkkin.g5teukumaaetJloadiat!aharij.6KnoaptWhskauatnKepay4oaetjbgoiei7.Ba8atjmeurkKapa1819rmG0ma,–taayCep01..!sCo119b1819knaae4ruia...t1.0aem10..n0atdccbaaDLbHjppAts..rC..yiaat..id..baaeaikCecbcDjptaApaLbeaiclpbcbjDAatHLapie198,.--aipdnar--atiiaboaa..d.ar...eaand.lp.ka7ea20..9eubk2se8lpilraiajlpias e.tn--.Idrna----ibkarad--e1.oataeibu4lneoae9ea72kimI9b2 +a72r+9ub28laa8ajhldneandaannerkIIgnibIa71aaaku4+1eu+4hnre9k9lI+rhuj+I+garAlpllcscdpadHb8L+tu(hladu2nahdhednkabkIuueaeinkIgu7i8oaa7+-...–na+e.ea.+r+kredr5hktut( gohppbbiusee3utm(nmt2u(dhlkan0+2n--lrdba!ja-t-gb-ou8aua8a-–iaaaiaaa-–smr692suaa)l27r5t1(+r5!ogkn(sfoes3tskne3l.kn0u+llrkrmehuokn0a+-3ra1npm6-a(4abkii1+uaa,is-r6n+)sr6a+b1)ag+a1ak-Bn+f!kanfpgd7(lteu6eosu)amhrko3yrp8+m6(3ap+nm6kihi(k1uaa+-ekj1l+u-alur6raid2ak-(kraik--a1paea(+)mtaep76(ptlen)i6at=ks)an-k8r6gubns8no=5u-e=(sauksliKu-eonaslhu46rag3+a6eraakryu1kr1ge-a+-)u1yi+n)eunjet=nseu2-ts=sru!mbkn)rn6=…1)ubf+agn=n=a=onasoau4o5ada4reamgnh=ley(atamut4y1nejejrneeinju+2nisa:ut2mk--as)tas…mgna)u…tagn(.eu-ia=kn4au)r5a8gr=lnekg4=gun?r44-rsnplintinutink6istlu4tsbu)1nau+aBu.ua=k.4gb-adn=kg4aiCua=gu-bot=rgukp4et4ympu,trkhtt.li3u4u,ilu4unBeK:kBa2mniaailrinaa)uiatata-kpaftklmk,draktKmhj,t=-.n4ta3rnes:raneo:anai2nmuaisLaamaau0ta=buutlfJrkfnjrk.onjpn-t.ga!trairnrr-paananninaeaa2aaecaugbajut1elgbiaauJklJnnapIgd!tnrapgainirlrnn-ianenii,eAnKalntngaauik1kgfaukymaaIlnrIgerMng1g0jlpgam,anal,inoaklakebabntmdalmaraplep1gn1hpg0almtleuaipueeautkkakankbmaa1tiogursapegnklapenasmnnuimm8lujieuaasknbmuuAtinabmd1agatiit20traisnnkaslsaskadrjBeu?hnjeuabsiid?aiudaaaiiutsun2arkirnk3blgns.lsus,snratmbnii1abiinsiUiaaeutuasutkskukngun.03glug.-urlrmimpnsiubesb4jinai6uinkkioumalgusbl-kul-etnlnu4bebaubeb4aiu6napn65naurbnogtopbknubekunkej1dn4aae4+raergpab.ap5aurnaurntnastirnarn6ndaeoaeaBk+rae+rarbngmr1gyntgrna1spirnasiraasae6dea6kakla1y0en1y7itnrntl81res1iasaasadidddru6ada61=atbp60ia0r7il8ruml8aupainiIaddiuesium1=1p=mnnk6p,aa…6griimanmnnIdI8edmemt,dml,m…g?,g…gaan6aanmatut,dtl,ldg?lmag?anaiamarmeatatluullmaamaiInninirlereInllgeauIaiI,inInglIblInurIngeuIgeduI,au,agdmIgbIubruarntdrdaauaaudanmdmeanannbtr8ptraamnnegteiannb8pab8plmm.mniagtgitlaialalaijnlmkm..ni.Lnia 4.5. 5.6. 6. t panjang tali keseluru0ha0n! 32 86 7b6. -K7e-l6as-5V-II4S-3M-P2/M-1Ts0 1 2 3 4 5 6 7 0 00 32 44 86 00Gambar-2.3122: 4U4tas Talic. -7 + (-3) + 6=9. Leonardo menyusun karung berisi beras di dalam gudang. Lantai gudang berbentuk persegi panjang, panjang lantai 10 m dan lebar 8 m. Banyak beras adalah 80 karung. Berapa lapis susunan karung menurut panjang dan lebar, jika ukuran panjang karung 1 m dan lebarnya 1 m?10. Apakah sifat komutatif berlaku untuk operasi pengurangan bilangan bulat? Ujipada dua soal berai.k8u9t7: – 666 = … b. -64 + 16 = … Kemudian sambung tali I dengan hasila. 897 – 66161=. …Diberikan 3 utas tba.li,-6ta4li+I1m6e=m…iliki ukuran sambungan tali II dan tali III. Catat berapa11. tDaliibeIIrIikbaenru3kuutraasn8tbat6e4alrmil4uim,k,IIut,.atralaJdliiniakInaIm4I4kteammilmtia.eimIlsJIiaiiIklkm,kiaibubekukuruniaktrgpuaaarntaksanaal8him63Imb2p,umat,nant,gljaailtniIatgIalI,ilIidtaImaIIlIin,emtaillikIiIuIi,ki)bu erarhpCanaaposn3abij2lkaasmnasagham,mtbabluiunnkggeasntealtluailrIiudIhadanannntaytlaail!IiII.I,Kseammubduinangpanjang tali keselkuersuehluarnu!han! dengan tali III. Catat berapa panjang tali 0 86 keseluruhannya! iii) Misalkan panjang tali I adalah a, panjang 0 32 tali II adalah b dan panjang tali III adalah c. Apakah a + (b + c) = (a + b) + c? 0 44 12. Jelaskan arti pengurangan dengan bilangan Gambar-2.12: Utas Tali negatif berikut dan hitunglah: a. 2-(-3) =. Coba sambung tia) li ICI odbeangsaanmtbaulni gIIIt.alKi eImI uddeniagnansatmalibuInIIg. tali I dbe.n ga4n-(h-6a)s=il sambungan tali II dan tali III. Catat berapa panjang tali keseluruhannya!i. Coba sambung tali I dan tali II. Kemudian hasil sambungan tali I dan tali II,sambung dengan tali III. Catat berapa panjang tali keseluruhannya!ii. Misalkan panjang tali I adalah a, panjang tali II adalah b dan panjang tali IIIadalah c. Apakah a + (b + c) = (a + b) + c?BUKU PEGANGAN SISWA 106 Matematika 77b) Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat 1) Perkalian Bilangan Bulat Apakah ada hubungan operasi perkalian dengan operasi penjumlahan dan apakah ada hubungan operasipembagian dengan operasi pengurangan? Mari kita temukan konsep perkalian dari konsep penjumlahandengan memecahkan masalah nyata. Masalah-2.11 Satu batang tebu memiliki 15 ruas dengan panjang yang sama. Setiap satu ruas panjangnya 20 cm. Berapa meter panjang batang tebu tersebut?Diketahui banyak ruas tebu adalah 15 ruasPanjang satu ruas tebu adalah 20cmMisalkan panjang tebu adalah xx = 15 × 20 = 300cm.1 m = 100cm, maka 300cm = 3m.Jadi panjang tebu adalah 3m. Masalah-2.12 Hana sedang sakit flu berat dan diberi obat oleh dokter. Untuk antibiotik 3×1 sehari dan paracetamol 3×2 sehari. Berapa banyak obat yang dimakan Hana dalam 3 hari?Untuk obat antibiotik banyak obat yang diminum dalam sehari yakni pagi, siang, dan malam satu tablet,maka obat yang diminum adalah:3 × 1 berarti: 1 tablet diminum pagi hari, 1 tablet tablet diminum siang hari, dan 1 tablet diminum malam hari.Maka banyak obat antibiotik yang dimakan Hana adalah 3 tablet.Dapat ditulis menjadi: 3 × 1 = 1 + 1 + 1 = 3.Untuk obat paracetamol:3 × 2 berarti: 2 tablet diminum pagi hari, 2 tablet tablet diminum siang hari, dan 2 tablet diminum malam hari.Dapat ditulis menjadi : 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6. Definisi 2.1 Misalkan a, b bilangan bulat positif. a. Perkalian bilangan a dan b adalah penjumlahan berulang bilangan b sebanyak a suku, dapat ditulis .a × b = b+b+b +b+b sebanyak a suku b. Perkalian bilangan b dan a adalah penjumlahan berulang bilangan a sebanyak b suku, dapat ditulis × = � �+� � +��⋯�+�� 78 Kelas VII SMP/MTsBanyak obat paracetamol yang diminum Hana dalam sehari adalah 9 tablet, sehingga untuk 3 hari kedepan, Hana meminum obat paracetamol sebanyak:9 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27 tablet.Perhatikan beberapa contoh berikut! Contoh 2.71) 4 × (-9) = (-9) + (-9) + (-9) + (-9) = -362) 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24Selain Contoh 2.9, perhatikan pola hasil perkalian dua bilangan bulat di bawah ini. Bagian I Bagian II2 × 6 = 12 6 × 2 = 122 × 5 = 10 5 × 2 = 102×4=8 4×2=82×3=6 3×2=62×2=4 2×2=42 ×1=2 1×2=22×0=0 0×2=02 × (-1) = -2 (–1) × 2 = –22 × (-2) = -4 (–2) × 2 = –42 × (-3) = … (–3) × 2 = …2 × (-4) = … (–4) × 2 = …2 × (-5) = ... (–5) × 2 = … Pada bagian I, dengan menggunakan pola hasil kali dua bilangan bulat positif, membantu kitamenemukan pola hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Sedangkan pada bagian II,penerapan pola hasil kali dua bilangan bulat positif, mengarahkan kita menemukan pola hasil kali bilanganbulat negatif dengan bilangan bulat positif. Berdasarkan data pada tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini agar kamu dapatmelihat beberapa pola yang terjadi sehingga melahirkan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat.hh Pada tabel bagian I dan II, perhatikan hasil kali yang diberikan, naik atau turun? Ada berapa selisihnya?hh Pada tabel bagian I, hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah: ……………………………….hh Pada tabel bagian II, hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah: ………………………………hh Bagaimana hasil kali pada bagian I dan II, apakah sama? coba pikirkan sifat apa yang terjadi? Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan negatif dan hasilkali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif juga menghasilkan bilangan negatif. Perhatikansifat berikut. Sifat-2.6a). Jika a dan b bilangan bulat negatif, maka a × (-b) = - (a.b).b). Jika a dan b bilangan bulat positif, maka (-a) × b = - (a.b). Matematika 79Selanjutnya, cermati perkalian dua bilangan bulat berikut. Bagian III Bagian IV2 × (–4) = –8 (–4) × 2 = –81 × (–4) = –4 (–4) × 1 = –40 × (–4) = 0 (–4) × 0 = 0(–1) × (–4) = 4 (–4) × (–1) = 4(–2) × (–4) = 8 (–4) × (–2) = 8(–3) × (–4) = 12 (–4) × (–3) = 12(–4) × (–4) = 16 (–4) × (–4) = 16(–5) × (–4) = 20 (–4) × (–5) = 20(–6) × (–4) = 24 (–4) × (–6) = 24 Bagian III, menunjukkan hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan negatif dan hasil kalibilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, dapat digunakan untuk menunjukkan pola hasil kalibilangan bulat negatif dengan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Berdasarkan data pada tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini agar kamu dapatmelihat beberapa pola yang terjadi sehingga melahirkan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat.hh Pada tabel bagian III dan IV, perhatikan hasil kali yang diberikan, naik atau turun ? Ada berapa selisihnya?hh Pada tabel bagian III dan IV, hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah …hh Bagaimana hasil kali pada bagian III dan IV, apakah sama? coba pikirkan sifat apa yang terjadi?hh Perhatikan tabel bagian I, II, III, dan IV, hasil kali bilangan 0 dan bilangan bulat lainnya adalah ……! Hasil kali bilangan 1 dengan bilangan bulat lainnya adalah ………! Sifat-2.7Jika a dan b bilangan bulat, maka (-a) × (-b) = a.b.Berdasarkan Definisi-2.1, sifat 2.6 dan sifat 2.7, ditemukan bahwa hasil kali dua bilangan bulat selalumerupakan bilangan bulat, seperti disajikan pada sifat berikut ini. Sifat-2.8 Himpunan Bilangan Bulat bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, artinya hasil perka- lian dua atau lebih bilangan bulat pasti hasilnya bilangan bulat. Ditulis a × b = c, dengan a, b, dan c bilangan-bilangan bulat.Untuk melengkapi Sifat 2.5, 2.6. dan 2.7, berikut ini diberikan sifat-sifat lain yang muncul dalam perkaliandua bilangan bulat. Sifat-2.9 Beberapa sifat hasil operasi perkalian pada bilangan bulat 1. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 0 (nol) hasilnya nol. 2. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 1 hasilnya bilangan bulat itu sendiri.80 Kelas VII SMP/MTs3. Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat positif (+ × + = + ).4. Bilangan bulat positif × bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat negatif (+ × – = – ).5. Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif (– × + = – ).6. Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif (– × – = + )Masalah-2.13 Pekerjaan Amin dan Surya adalah buruh tukang bangunan. Mereka berdua sedang memasangubin di suatu rumah. Hasil pemasangannya dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Berapakah ubinyang terpasang oleh Amin dan Surya?HHaassiill ppeemmaassaanngagnanAAmimn in HHaassililppeemmasaasnagnagnaSnuSryuaryaHasil pemasangan Amin Hasil pemasangan Surya GGaammbbaarr-2-2.1.122a a GGaammbbaarr--22..1122bb Gambar 2.12: Pemasangan Ubin Gambar 2.12: Pemasangan UbinAlternatif Penyelesaian. Gambar-2.12b¾ Bcaacnayha,kceurbminaGthiaahmsaillbbparee-rmG2ik.aa1usm2ta.anbgaarn2A.1m2:inPdeampaatsadningyaantaUkabninhasil perkalian bilanganhh BAanltyearknuabtiinfHPhaesaisnliylpepelememsaaasisaaannngg.an Ammiinn dapat dinyatakan hasilHpaesriklaplieamn absialannggaan Acamcaihn, cermati halb¾erikBuat.nyak ubin hasil pemasangan Amin dapat dinyatakan hasil perkalian bilangancacah, cermati hal berikut. Diuraikan Hasil pemasangan Amin Hasil pemasangan AminHasil pemasangan Amin Menurut Hasil pemasangan Amin Kolom Diuraikan Menurut Gambar 2.12: PKemolaosmangan Ubin AminPerhatikan di atas, banyaknya ubin hasil pemasangan Amin adalah8 × 6 = 6 + 6 + 6 G+ a6m+b6aG+ra2m6.1b+a26r: 2P+.1e62m:=Paes4ma8nasgaanngaUnbUibninAAmmiinnP8e×rh6at=8Pik6ea×rn+h6da6it=i+aHk6ta6aans+s+,idbl66iap+n+aeytm66aaska++,nsb6ay6ana++nguy6ab6ani+kn+An6h6yma=as+ii4nlu86pbei+nm6hasa=asni4lg8apnemAmasiannagdaanlaAHh masiinl paedmalaashangan AminHasil pemasangan Amin Diuraikan Hasil pemasangan Amin 81 Menurut Matematika Baris DiuraikanGambar 2.12: Pemasangan Ubin Amin Gambar 2.12: Pemasangan Ubin Amin Perhatikan di atas, banyaknya ubin hasil pemasangan Amin adalahPe8rh×at6ik=an6d+i 6at+as6, b+an6y+ak6n+ya6u+bi6n+ha6si=l p4e8masangan Amin adalah8 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48 Hasil pemasangan Amin HHasaislilppeemmaassaanngan AAmmiinnHHaassiill ppeemmaassaannggaannAAmminin Hasil pemasangan Amin Diuraikan DiurDaiiukMraaennikuarnut MenMureuntBuarruist Baris Baris Gambar 2.13: Pemasangan Ubin Amin Gambar 2.13: Pemasangan Ubin Amin Gambar 2.13: Pemasangan Ubin Amin Perhatikan di atas, banyaknya ubin hasil pemasangan Amin adalahPerhatPike6arnh×aGt8iakm=abn8adr+i28a.1t+3asd8,ib+aatna8sy,+abk8ann+yyaa8kun=byi4an8uhbainsilhapseiml paesmanasgaanngaAnmAimniandaadlaalhah:6 × 8 =6 8×+88=+88++88++88 ++ 88 =+ 488+ 8 = 48Berdasarkan Gambar 2.12 dan Gambar 2.13, dapat disimpulkan bahwa: 110 1108 × 6 = 6 × 8 = 48. BUKU PEGANGAN SISWA BUKU PEGANGAN SISWA DISKUSI ! Berdiskusilah dengan temanmu untuk menentukan berapa banyak ubin yang dipasang Surya!Terapkan cara di atas seperti penentuan banyak ubin yang dipasang Amin! Contoh 2.8a. Lengkapilah tabel berikut! x 7 8 9 10 -10 -11 7 49 56 63 70 -70 -77 8 56 64 72 80 -80 -88 9 63 81 -99 10 70 80 100 -10 -70 -100 100 110 -11 -77 -99 -110 110 -121Berdasarkan hasil perkaliaan bilangan bulat pada tabel di atas diperoleh bahwa:82 Kelas VII SMP/MTs●● 7 × 8 = 8 × 7 = 56 ●● 7 × (-10) = -10 × 7 = -70 ●● -11 × (-10) = (-11) × (-10) = 110 ●● -11 × 9 = 9 × (-11) = -99Berdasarkan masalah dan contoh perkalian bilangan bulat di atas, ditemukan sifat berikut. Sifat-2.10 Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat, Operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat komutatif, dapat ditulis a × b = b × a.Perhatikan contoh berikut! Contoh 2.9a. 4 × (3 × 5) = 4 × 15 = 60 (4 × 3) × 5 = 12 × 5 = 60 Perhatikan bahwa 4 × (3 × 5) = (4 × 3) × 5 = 60.b. -3 × (-5 × 6) = -3 × (-30) = 90 (-3 × (-5)) × 6 = 15 × 6 = 90 Perhatikan bahwa -3 × (-5 x 6) = (-3 × (-5)) × 6 = 90.c. (-5 × 5) × 4 = -25 × 4 = -100 -5 × (5 × 4) = -5 × 20 = -100 Jadi (-5 × 5) × 4 = -5 × (5 × 4) = -5 × 20 = -100.Berdasarkan contoh di atas dapat kita tetapkan sifat assosiatif operasi perkalian pada bilangan bulat sebagaiberikut. Sifat-2.11 Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. Operasi perkalian pada bilangan bulat berlaku sifat assosiatif, dapat ditulis a × (b × c) = (a × b) × cSifat distributif (penyebaran) pada bilangan bulat Dalam sifat distributif kita menggunakan operasi penjumlahan dan perkalian sekaligus. Perhatikanpermasalahan berikut. Masalah-2.14 Ibu Lena adalah seorang pedagang buah apel. Ia Gambar-2.14: Apelmemasukkan buah apel ke dalam keranjang sebanyak 8 karungdengan setiap karung berisi 100 buah apel. Ternyata keranjangtersebut belum penuh, sehingga Ibu Lena menambahkan 12 buahapel lagi pada setiap karung. Berapa buah apel di dalam keranjangtersebut? Matematika 83Banyak karung dalam keranjang adalah 8 buah.Masing-masing karung berisi 100 apel.Banyak buah apel dalam keranjang mula-mula = 8 × 100 apel.Setiap karung ditambahkan 12 buah apel.Berarti banyak apel yang ditambahkan = 8 × 12 buah.Banyak apel dalam keranjang setelah ditambahkan 12 apel pada setiap karung adalah 8 × 100 + 8 × 12 =800 + 96 = 896 apel.Dapatkah anda memikirkan cara lain menentukan banyak apel dalam keranjang?Misalkan: banyak karung dalam keranjang adalah a. banyak buah apel dalam setiap karung adalah b. banyak buah apel yang ditambahkan pada setiap karung adalah c.Coba cermatiApakah a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ? Jika sama, berikan penjelasan mengapa demikian! Masalah-2.15 Pak Rahmat mendapat paket hari raya terdiri atas beberapa bungkusan. Ada 5 bungkus yang masing-mMasaisnaglabhe-1ri5si 10 kue Wafer dan 5 bungkus lagi yang masing-masing berisi 6 Wafer. Berapa banyaknyPaaWk RafaehrmyaatngmdeintedraipmatapPaakketShoamriarta?ya terdiri atas beberapa bungkusan. Ada 5 bungkus yang masing-masing berisi 10 kue Wafer dan 5 bungkus lagi yang masing-masing berisi 6 Wafer. Berapa banyaknya Wafer yang diterima Pak Somat?Dari soal ceDArilattareirtsenoraastleifcbeuPrteitndayatepelraestseabdiuiattnud:laispkaat ndimtuleinskjaadnim: enjadi:(5 × 10) + ((55××160)) + (5= ×…6 ) = …atauata u 5 ×5 (×10(1+06+) =6)… . = …. 50 + 5300 + =3080 = 80atauat au 5 ×5 ×1 6 16= 8 0 = 80 Untuk jelasnya perhUantitkuakn jgealmasbnayradipbearwhaathikinain! gambar di bawah ini! (5 ×(51×0) 1+0(5) +×6()5 ×6)Gambar-15aG:aDmubaarB-1u5nag: kDuusaaBnuWngakfeursan Roti Wafer 5 × (10 + 6) Gambar-15b: Modifikasi Dua Bungkusan Wafer84 BKaneylaask VWIIaSfeMrPp/aMdTasGambar-15a sama dengan banyak Wafer pada Gambar-15b sehingga dapat ditulis 4 × ( 15 + 8) = (4 × 15) + (4 × 8). Pengerjaan hitung tersebut menggunakan sifat distributif (penyebaran) perkalian(5 × 10) + (5 ×6)Gambar-15a: Dua Bungkusan Wafer 5 × (150 ×+ (61)0 + 6) GamGbaamr-1b5abr:-M15obdi:fiMkaosidDifuikaaBsuinDgkuuasaBnuRnogtikWusafaenr WaferBanyakBroatniyWakafWerapfeardapaGdaamGbaamr-b1a5ra-15saamasadmeangdaenngbaannybaaknyroatki WWaaffeerr ppaaddaa GGaammbbaarr--1155bb sehingga dapatdPietnugliesr4jasPtea×eernhnh(igahn1deig5tragujp+aanagpd8nea)tneph=rjaiustt(eum4dbnliu×gattuh1tmlaei5snre)s.4n+egb×(gu4u(tn×1ma58ke)+an.ng8gs)iu=fnaat(4kdai×snt1rsi5bif)ua+ttif(d4(ips×terni8by)ue. tbiafr(apne)npyeerbkaarlaiann) tpeerhrkaadlaiapnpenjumlahan.Perhatikan mPaesnaglearhjabaenrimkuent!ggunakan sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap pengurangan juga sering terjadi dalam permasalahan kehidupan nyata kita. Masalah-2.16 Perhatikan masalah berikut! MaTsuatliashe-d1a6ng menyusun piring-piring. Piring-piring tersebut disusun dalam 5 tumpukan. Setiap bsaatnuytatTuukmumptpiipruuisknkeagadnnay.tnaegSnrdgetimritaeieprdnsaiyssrauaits?u9unptuirmpiniprgui.nkKga-nepmitreuirnddgiia.rni PdTiaurritinig9m-ppeiinrrgiinnaggm.btKielres4mepbuiudrtiinangdidTsuaurstiuisnmeteidanapglaatmummbpi5lukan. Berapa 4 piring dari setiap tumpukan. Berapa banyak piring yang tersisa? Alternatif Penyelesaian: AAlltteerrnnPaaetntiigffePPrjeeannayyneellmeesseaaniiaaennt::ukan banyak piring yang tersisa dapat diilustrasikan pada PPeennggeegrrjajaamaanbnarmmdeeinnbeeannwttuuakkhaaninnib!baannyyaakk ppiirriinngg yyaanngg tteerrssiissaa ddaappaatt ddiiiilluussttrraassiikkaann ppaaddaaPengerggjaaaammBnbbUmaaKrernUddeiinPbbtEuaakwwGaaAnahhNbiaiGnniiyA!!aNk pSiIrSinWg Ayang tersisa dapat diilustrasikan pada gambar di bawah1i1n3i! BanyBaaknypaikrinpigri=ng5=×59× 9BBaannyyaakk ppiirriinngg == 55 ×× 99 GGaammbbGGaaaarrmm--11bb66aaaar-r::1-6S1Sa6uu: aSss:uuusSnununaaasnnnuPPPniiirarriinninngggPiringBBaannByyaaBankkayanppkyiirrpaiininkrgignpgyyiraayinnangngggydddaiiaanmmmgbbbdiiliilla===m555b×i××l4=445 × 4 Banyak piring sisa = 5 × (9 – 4) Coba cermatBBi aannyByaankkyGGGppaakiaiarrmimipmnnbigrgabbGirnaass-ag1rirism6s-s-b1ai1asb:66a==Sabb=ur5:5:s-5u1SS××n×6uua(b(nss99:uPu–––Sinnr4ui4a4an)s)n)gnuPPniiarrininnggPiringCCoobbaaAcceperrammkaaahttii5 × (9 – 4) = (5 × 9) – (5 × 4) ? Jelaskan apa alasanmu!AAppaakkaaMhhi55sa××lk((a99n––: 44)) ==B((a55n××ya99k)) t––u(m(55p××uk44a))n??pJJieerlliaanssgkkaandnaaalpaphaa aall.aassaannmmuu!!MMiissaallkkaann:: BBaannyyaaBkkattnuuymmakppuupkkiarainnngppiidrriiannlgagmaaddsaaalltaauhhtaua.m. pukan mula-mula adalah b. BBaannyyaaBkkappniiyrraiinnkggpddiraaillnaagmmyssaaanttguudttuuiammmppbuuikklaadnnarmmi tuuilalaap--mmtuuumllaapuaadkdaalnlaahahdbba..lah c.AAppaakkaaAdhhepmaaaki××kaih((abbnaB!B––×aaccnn())byy==aa–kk((aacpp)i×i×rr=iibnbn()g)ga––yy×aa((anabng)g××–ddccii()a)aa??mm×JJbbiikikicllaa)dd?ssaaaJarrimmikttaaaiiaa,,sppbbaemettuurriaimmkk,aappbnnuuekkrppiaaeeknnnnajjnaaeeddllpaaaaessllanaaahnjhnMemmcalcat..uuesmammnameetinnkugagaamppeaang8ap5addeemmiikkiiaann!! Berdasarkan ilustrasi permasalahan di atas, sifat distributif (penyebaran)DISKUSI ! Coba cermati! Apakah 5 × (9 – 4) = (5 × 9) – (5 × 4) ? Jelaskan apa alasanmu! Misalkan: Banyak tumpukan piring adalah a. Banyak piring dalam satu tumpukan mula-mula adalah b. Banyak piring yang diambil dari tiap tumpukan adalah c. Apakah a × (b – c) = (a × b) – (a × c)? Jika sama, berikan penjelasanmu mengapa demikian! Berdasarkan ilustrasi permasalahan tersebut, sifat distributif (penyebaran) operasi perkalian terhadappenjumlahan dan sifat distributif operasi perkalian terhadap pengurangan pada bilangan cacah dapatdinyatakan sebagai berikut! Sifat-2.12 Untuk a, b, dan c bilangan bulat, berlaku sifat: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (ii) a × (b - c) = (a × b) – (a × c) Kedua sifat ini disebut sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan pada bilangan bulat. Contoh 2.10hh 8 × (5 + 7) = (8 × 5) + (8 × 7)hh 26 × (25 - 20) = (26 × 25) - (26 × 20)hh 35 + 20 = (5 × 7) + (5 × 4) = 5 × (7 + 4)hh 54 – 36 = (6 × 9) – (6 × 6) = 6 × (9 – 6)hh n × (27 – 23) = (16 × 27) – (16 × 23). Berdasarkan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan diperoleh n = 16.hh 28 × (m + 29) = (28 × (-12)) + (28 × 29). Berdasarkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan diperoleh m = -12.2) Pembagian Bilangan Bulat Masalah-2.17 Gambar 2.17 Kelinci Hadi memiliki 36 ekor kelinci. Ia menempatkannyapada 6 kandang dan banyaknya kelinci pada setiapkandang adalah sama.a. Berapa ekor kelinci ada pada setiap kandang?b. Dari tiap kandang diambil 2 ekor kelinci untuk dijual kepada Hadi. Berapa ekor kelinci yang tersisa seluruhnya?c. Berapa ekor kelinci yang dijual kepada Hadi? 86 Kelas VII SMP/MTspada 6 kandang dan banyaknya kelinci pada setiap Gambar 2.17 Kelincikandang adalah sama.a. Berapa ekor kelinci ada pada setiap kandang?b. Dari tiap kandang diambil 2 ekor kelinci untuk dijual kepada Hadi. Berapa ekor kelinci yang tersisa seluruhnya?c. Berapa ekor kelinci yang dijual kepada Hadi?Alternatif Penyelesaian.bKBeaarnriekynuaKdBatka!aabkpnraeaeynltniayndakacikilkbaHeakklanueidnlykiicnaaaikcndiHaskslaeeaedbthliiaia3ngap6cadiikaeakblsanoeehdrrt,iai3kadn6puagnte!akkbdaaoannrl,dyahadaknasgnkaambnaaaddn,aaynmlaagahkkkkaeslaaipnnmecdmiaaa,bndagmaglkiaaaehknlai6nkbcepulieianamhcd.ibaaldagahipaa6nt buah. sebagai dkielalkinuckianoSpeteiraapsStiikeapatpeniamdkpaabnnakgdgabianaendnrga.isnmigbeebnreagrpuiasnieakkboaernrakopelpaineecrkai?soi…rpk…eeml.ibnNacygia?itaa…nk.a…n b.aNnyyaaktakkelainncbi adnalyaamktkiaepliknacniddanaglammengunakanDari setiap kandang diambil dua kelinci untuk dijual, berapa kelinci yang tersisa setiap kandang? ………..Berapa seluruhnya kelinci yang tersisa?BMainsaylakkaBnkUeblaiKnncUyiaykPakEnegGlidnAicjuNi auGlnktAuekpNatdiSaapIJSkoWajonndAa=ng…a…da…lah×k.…….. = ………. 115k = 36 : 6 = 6 atau 36 = 6 × k ⇒ k = 6.Masalah-2.18 Untuk keperluan ongkos dan uang jajan Alfon ke sekolah, orangtuanya memberikan uangsebanyak Rp 50.000,-. Jika setiap hari ongkos dan uang jajannya adalah Rp 10.000,-, berapa harikahuang itu akan habis?Uang yang diberi orangtua Alfon adalah Rp 50.000,-Biaya ongkos dan jajan setiap hari Rp 10.000,-Ongkos dan uang jajan hari pertama Rp 10.000,- maka sisa uangnya adalah: 50.000 – 10.000 = 40.000Ongkos dan uang jajan hari kedua Rp 10.000,- maka sisa uangnya adalah: 40.000 – 10.000 = 30.000Ongkos dan uang jajan hari ketiga Rp 10.000,- maka sisa uangnya adalah: Matematika 8730.000 – 10.000 = 20.000Ongkos dan uang jajan hari keempat Rp 10.000,- maka sisa uangnya adalah: 20.000 – 10.000 = 10.000Ongkos dan uang jajan hari kelima Rp 10.000,- maka sisa uangnya adalah: 10.000 – 10.000 = 0Maka uang yang diberi orang tua Alfon akan habis selama 5 hari.Proses perhitungan ongkos dan uang jajan Alfon di atas sama artinya dengan mengurangkan 10.000 secaraberulang dari uang yang diberikan orangtuanya. Perhitungannya kita lakukan sebagai berikut:50.000 – 10.000 – 10.000 – 10.000 – 10.000 – 10.000 = 0, artinya bahwa 10.000 di kurangkan dari 50.000sebanyak 5 kali sehingga hasilnya menjadi 0. ●● Ingat kembali konsep pembagian sewaktu kamu duduk di bangku sekolah dasar.Proses pengerjaan ini dapat juga di lakukan dengan menggunakan konsep pembagian, yaitu: 50.000 : 10.000= 5. (dibaca: lima puluh ribu dibagi dengan sepuluh ribu hasilnya 5).Perhatikan lagi contoh berikut!hh Enam dibagi dengan tiga (6 : 3), sama artinya dengan pengurangan 3 dari 6 secara berulang, maka agar sisanya 0 kita harus mengurangkan 3 dari 6 sebanyak 2 kali, yaitu: 6 – 3 – 3 = 0. Sehingga kita sebut bahwa 6 : 3 = 2.hh Negatif delapan dibagi dengan dua (-8 : 2), sama artinya dengan pengurangan 2 dari -8 secara berulang, maka agar sisanya 0 kita harus mengurangkan 2 dari -8 sebanyak -4 kali, yaitu: -8 – (-2 – 2 – 2 – 2) = 0. Sehingga kita sebut -8 : 2 = - 4.hh Sebagai latihanmu, apa maksudnya 10 : 5? Berapa hasil pembagiannya?Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah-2.18 dan contoh-contoh di atas, maka dapat kita nyatakanpembagian sebagai lawan dari perkalian, perhatikan contoh berikut. Contoh 2.111) 3 x 2 = 6 ⇒ 3 = 6 atau 2 = 6 2 32) 5 x 3 = 15 ⇒ 5 = 15 atau 3 = 15 3 5Berdasarkan beberapa contoh dan masalah di atas, ditetapkan pengertian pembagian sebagai lawan perkaliansebagai berikut. Definisi 2.2Misalkan a, b, dmanakcabail=ancgban, abtauulabt d=enacg,anunbtu≠k0.a ≠0Jika a × b = c, Masalah-2.19 Seekor Tupai mula-mula berdiri di titik 0, Tupai itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan.Sekali melompat jauhnya 3 satuan. Tupai telah melompat ke kiri dan berada di titik 15 sebelah kirinol. Berapa kali Tupai telah melompat. 88 Kelas VII SMP/MTsSeekor Tupai mula-mula berdiri di titik 0, Tupai itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekali melompat jauhnya 3 satuan. Tupai telah melompat ke kiri dan berada di titik 15 sebelah kiri nol. Berapa kali Tupai telah melompat. Alternatif Penyelesaian. Tupai melompat ke arah kiri (ke arah kiri titik nol artinya daerah bilanganTupai melomnGpeeagrtaaktkieaf)an.raThukpiarii (dkaepaartadhikgiarmi tibtiakrknaonl apratidnayagdaraiesrabhilbainlagnagnanbenreigkauttifi)n. i. Gerakan Tupai dapat digambarkan pada garis bilangan berikut ini. –15 -15 -12 -9 -6 -3 0 1 2 3Jarak yang ditempuh tupai untuk satu kali melompat 3 satuan.Jarak yang dUitenmtupkuhmtuenpaeimupnutuhk tsiatitku k–a1li5m(e–l1o5mpaartti3nysaatutiatnik. 15 di sebelah kiri nol), tupai harusMUnistuakl bmaneynaemtMmk=lpeiosul–moah1mlpt5biapttai:aakn3nty–bka1=eak5rn–a(gl5–opg1mau5rkapuataaaralttuiadi?nna–yla1kah5atnitt=.gikg31u×5rudt ia⇒dseabltael=haht–.5ki.ri nol), tupai harus melompat berapa kali?t = –15 : 3 =(l–ih5atagtaauri–s1b5il=an3g×ant d⇒i att=as–,5-.5 adalah banyak anak panah 3 satuan arah ke kiri).(lihat garis bilangan di atas, -5 adalah banyak anak panah 3 satuan arah ke kiri).CermatiCermati i. 24 : 4 = 6 sebab 24 = 4 × 6 iv. –15 : (–5) = 3 sebab –15 = –5 × 3i) 24 : 4 =ii6. – s1e5ba:b324==–54 ×se6b a b – 1 5 = 3 × –5 iv) v. –10–1: 5(–:2()–5=) 5= s3esbeabbab–1–105==––25××53ii) –15 : 3ii=i.–150se:b(a–b5–) 1=5–=23s×eb–a5b 10 = –5 × –2 v) vi. 7 :–110=:7(–s2e)b=ab5 7se=ba1b ×–170 = –2 × 5iii) 10 : (–5B) e=rd–a2ssaerbkaabn1h0a=sil–5pe×n–g2a matan di atas davpia)t dirumuska7n :b1eb=e7raspeabasbif7at=-s1ifa×t7dalam pembagian:Berdasarkan hasil pengamatan di atas dapat dirumuskan beberapa sifat-sifat dalam pembagian:Beberapa sifat hasil operasi pembagian pada bilangan-bilangan bulat1) BilSanifgaatn-2bu.1la3t positif dibagi bilangan bulat positif hasilnya adalah bilangan bulat2) posiBtief b(+er:a+p=a +s)ifat hasil operasi pembagian pada bilangan-3) b1nBBbi)l ueaiiglllnaaaaBagnnttdigganiflaaaaen(nngnl–abagbhb:tuuaiu+fllbanla(ai=tt+l.tban–:unpe)–lgogasaa=titntipi–ffbo)dudsibiiltabaifatggipdiboibibslaaiitlgniafign(ag+nbain:bla+ubnlua=gtlaa+pnt)o.nsbietugiflaahttiafpsiholnassyiitalifnayhdaaalsaiahlndbyaiallaahngbainlabnuglaant4) 2B) ilaBngilaanngbaunlatbunelagtatpifosdiitbifagdiibabgiliabniglaanngbaunlabt unleagtantief ghaatsiiflnhyaasialndyaalah bilangan bulaat dpaoslaithifb(–ila:n–g=an+ b) ulat negatif (+ : – = –).5) 3S) etiaBpilabinlagnagnanbubulalat tndeibgaagtif1dhibasaiglni ybailbainlagnagnanbiutulastepndoisrit.if hasilnya adalah bilangan bulat negatif (– : + = –). 4) Bilangan bulat negatif dibagi bilangan bulat negatif hasilnyaBU5K) U PaSdeEatGilaapAh NbbiiGllaanAnggNaannSbIbSuulWlaattAdpiobsaigtiif (– : – = + ). itu sendiri. 116 1 hasilnya bilangan Matematika 89Uji Kompetensi - 2.2Perkalian dan pembagian bilangan bulat berapa banyak ayam seluruhnya?1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang c. Ayam siapakah yang lebih banyak?panjangnya 28 m dan lebarnya 12 m. Tanah itu 5. Hari pertama Bu Wilda berdagang di pasarditanami jagung. Jarak setiap pohon jagung 50 rugi Rp 75. 500. Hari kedua masih merugi Rpcm. 65.750. Pada hari ketiga rugi lagi Rp 75. 500a. Berapa banyak pohon jagung yang dapat tetapi Ia mendapat uang di jalanan Rp. 350. 000.ditanam di atas tanah tersebut? Hasil penjualan hari keempat mendapat untungb. Berapa banyak pohon jagung yang Rp 32. 750. Selama Bu Wilda berdagang 4 hariditanam jika 1 m keliling tanah tidak itu untung atau rugi? Berapa jumlah untungditanami? atau ruginya?2. Sebuah mobil bergerak maju dari titik start 6. Seorang pedagang semangka membeli 6dengan kecepatan 75 km per jam untuk keranjang semangka, masing-masing berisimenempuh titik finish jarak 600 km. Kemudian 25 buah semangka. Rata-rata berat satu buahmobil itu bergerak mundur dari titik finish semangka 5 kg. Harga pembelian tiap keranjangmenuju titik start dengan kecepatan 25 km per Rp 160.000,00. Kemudian keranjang dibuka,jam. ternyata 4% dari keseluruhan semangka itua. Berapa waktu yang dibutuhkan untuk busuk. Sisanya kemudian dijual dengan hargamencapai titik finish? Rp 1.500,00 per kilo. Untung atau rugikahb. Berapa waktu yang dibutuhkan untuk pedagang itu.mencapai titik start dari titik finish? 7. Umur Paramitha 5 tahun lebih tua dari padaBerapa rata-rata waktu yang digunakan umur Suaminya. Sedangkan umur suaminyauntuk mencapai titik finish dan kembali 23 tahun lebih muda dari pada umur Ibunya.ke titik start? Umur Ibu Paramitha sekarang 60 tahun. Berapa3. Seorang petani bawang dari Brebes membawa beda umur Paramitha dan Suaminya terhadap 70 karung bawang merah hasil panennya untuk umur Ibu Paramithadijual pada seorang Agen di Bekasi. Masing- 8. Ganti nilai s dengan bilangan yang tepat.masing karung berisi 30 kg bawang. Setelah a. 9 × –s = –54 setiap karung dibuka, ternyata 15% bawang b. –120 : s = –5 itu sudah busuk. Berapa kg bawang yang masih c. s : 14 = –3tidak busuk? d. (–4 + 4) × 5 = s × (–5 + 5)4. Amos dan Sudrajat punya keinginan yang sama e. –s : (–35) : 7 = 5yaitu memelihara ayam. Ayam Amos dibagi 9. Tentukan nilai p dengan menggunakan sifat–dalam 5 kandang dan setiap kandang berisi sifat operasi pada bilangan bulat.30 ekor. Ayam sudrajat sebanyak 3 kali ayam a. p × 6 = 89 × (–18 + 18) p = ...Amos setelah dikurangi 2 ekor setiap kandang. b. (–4 × 62) × p = (–4 × 62) p = ...a. Berapa banyak ayam Amos seluruhnya ? c. 6 × (21 – 7) = (6 × 21) – (5 × p) p = ...b. Jika ayam Amos dan Sudrajat digabung, d. –8 × –9 = (–8 × 12) + (p × –8) p = ...90 Kelas VII SMP/MTs3. Menggunakan Faktor Prima dan Faktorisasi untuk Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Berkaitan dengan FPB dan KPK1) Menemukan Konsep Bilangan Bulat Habis Dibagi Bilangan Bulat. Perhatikan pembagian bilangan bulat berikut. ●● 12 : 3 = 4 Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: –– 12 adalah bilangan yang dibagi –– 3 adalah bilangan pembagi –– 4 adalah bilangan hasil pembagian –– 3 habis membagi 12 –– 12 habis dibagi 3 ●● 20 : 2 = 10 Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: –– 20 adalah bilangan yang dibagi –– 2 adalah bilangan pembagi –– 10 adalah bilangan hasil pembagian –– 2 habis membagi 20 –– 20 habis dibagi 2 Berdasarkan kedua contoh pembagian ini, kita temukan definisi berikut. Definisi 2.3 Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan a dikatakan habis dibagi b dengan b ≠ 0 jika ada bilangan bulat k sehingga berlaku a = k × b atau a merupakan kelipatan dari b Contoh 2.12a) 12 habis dibagi 3, karena ada bilangan bulat, yaitu 4 sehingga berlaku 4 × 3 = 12.b) 20 habis membagi 100, karena ada bilangan bulat, yaitu 5 sehingga berlaku 100 = 5 × 20.c) Tentukanlah bilangan bulat yang habis membagi 8!Jawab:Bilangan-bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah: ●● 1, karena ada bilangan bulat 8 sehingga berlaku 8 = 8 × 1. ●● 2, karena ada bilangan bulat 4 sehingga berlaku 8 = 4 × 2. ●● 4, karena ada bilangan bulat 2 sehingga berlaku 8 = 2 × 4. ●● 8, karena ada bilangan bulat 1 sehingga berlaku 8 = 1 × 8.Maka bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah bilangan 1, 2, 4, dan 8. Sebagai latihanmu! - Apakah 9 habis dibagi 3? Berikan alasanmu! - Apakah 10 habis dibagi 4? Berikan alasanmu! - Tentukanlah bilangan bulat yang habis membagi 10!Matematika 912) Menemukan Konsep Faktor-Faktor Bilangan Bulat. Perhatikan perkalian bilangan bulat berikut! ●● 12 = 3 × 4 Dari perkalian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: –– 12 adalah bilangan hasil perkalian –– 3 adalah bilangan yang dikalikan –– 4 adalah bilangan pengali –– 3 faktor dari 12 –– 4 faktor dari 12 ●● 30 = 6 × 5 Dari perkalian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: –– 30 adalah bilangan hasil perkalian –– 6 adalah bilangan yang dikalikan –– 5 adalah bilangan pengali –– 6 faktor dari 30 –– 5 faktor dari 30 Berdasarkan kedua contoh perkalian ini, kita temukan definisi berikut. Definisi 2.4 Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan b dikatakan faktor dari a jika dan hanya jika a habis dibagi b. Contoh 2.13a) 2 faktor dari 4, karena 2 habis membagi 4 atau 4 habis dibagi 2.b) 10 faktor dari 50, karena 10 habis membagi 50 atau 50 habis dibagi 10.c) Tentukanlah bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10! Jawab: Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah: ●● 1, karena 1 merupakan faktor dari 10. ●● 2, karena 2 merupakan faktor dari 10. ●● 5, karena 5 merupakan faktor dari 10. ●● 10, karena 10 merupakan faktor dari 10. Maka bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10. Sebagai latihanmu: - Apakah 3 faktor dari 9? Berikan alasanmu! - Apakah 4 faktor dari 10? Berikan alasanmu! - Tentukanlah himpunan bilangan bulat yang merupakan faktor dari 15!3) Menemukan Konsep Bilangan Prima Perhatikan tabel bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan 100 berikut.

92 Kelas VII SMP/MTs