Rumusrumus.com kali ini akan membahas tentang pengertian dan persamaan garis singgung lingkaran beserta contoh soalnya dan menjelaskan tentang berbagai metode cara penyelesaianya Show Pengertian Garis Singgung Lingkaran
Persamaan Garis Singgung Lingkarangaris singgung lingkaranPersamaan garis singgung pada suatu lingkaran bisa ditentukan dengan berbagai cara, bergantung pada informasi-informasi apa yang di ketahui dari garis singgung tersebut. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu TitikUntuk hal ini akan dibagi menjadi 2, yaitu persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. PGSL melalui pada titik ligkaranPersamaan garis singgung lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 melalui titik (x1, y1) yaitu (x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2 dengan Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 melalui titik (x1, y1) ialah x1x+y1y=r2 dengan Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar LingkaranAda dua garis singgung yang bisa dibuat dari titik yang berada diluar lingkaran. Untuk menentukan kedua persamaan garis singgung itu, terlebih dahulu tentukan titik singgung hingga garis singgung di titik itu melalui titik yang berada diluar lingkaran. Ada berbagai cara untuk menentukan titik-titik singgung tersebut, salah satunya yaitu dengan menggunakan bantuan garis polar ataupun kutub. Persamaan garis polar bisa ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung yang sebelumnya dimana (x1, y1) yaitu titik yang berada diluar lingkaran. PGSL melalui luar lingkaranKarena garis polar memotong lingkaran tepat pada titik singgung, maka titik-titik singgung itu bisa ditentukan dengan mensubstitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran Contoh SoalContoh Soal 1 Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A (x1, y1) pada lingkaran yang berpusat pada titik (a, b) dan berjari-jari r. Tentukan rumus dan persamaan gatis singgung dari ilustrasi gambar tersebut : Jawab L = (x – a)2 + (y – b)2 = r2 persamaan garis singgungnya ialah : (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2.
Persiapan Ulangan Harian Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung LingkaraSoal dan Pembahasan Penyelesaian: lingkaran menyinggung sumbu y, artinya bagian samping lingkarannya menempel pada sumbu y, dan jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya. Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut. Dan pusat lingkaran P(a, b) = (3, –1), artinya a = 3 dan b = –1 Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 3), nilai a = 3 dan b = –1 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh 2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T(3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 20 = 0. Penyelesaian: Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2) r = jarak titik ke garis Substitusikan panjang jari-jari lingkaran yang telah kita peroleh (r = 2), dan titik pusat lingkarannya T(1,–2) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh ontoh Soal dan Pembahasan 3. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6: x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x2 + y2 = 36. 4. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9: x2 + y2 = 92 x2 + y2 = 81 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x2 + y2 = 81. 5. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 satuan. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7: x2 + y2 = 72 x2 + y2 = 49 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x2 + y2 = 49. 6. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 satuan. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10: x2 + y2 = 102 x2 + y2 = 100 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x2 + y2 = 100. 7. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 52 (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 25 x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0 x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0. 8. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan. Jawaban : Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 82 (x2 + 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 64 x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 64 = 0 x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan adalah x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0. 9. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12). Jawaban : Dalam menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui. Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12). Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5: (x - 4)2 + (y – 1)2 = 52 (x2 - 8x + 16) + (y2 – 2y + 1) = 25 x2 - 8x + 16 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0 x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0 Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3). Jawaban : Titik (1, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 10. Maka persamaan garis singgungnya adalah: x.x1 + y.y1 = 10 x.1 + y.3 = 10 x + 3y = 10 x + 3y – 10 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3) adalah x + 3y – 10 = 0. 10. . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5). Jawaban : Titik (-2, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 29. Maka persamaan garis singgungnya adalah: x.x1 + y.y1 = 29 x.(-2) + y.5 = 29 -2x + 5y = 29 -2x + 5y – 29 = 0 2x – 5y + 29 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5) adalah 2x – 5y + 29 = 0. 11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3). Jawaban : Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17. Maka persamaan garis singgungnya adalah: (x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17 (x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17 (x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17 -x + 3 + 4y + 4 = 17 -x + 4y + 7 – 17 = 0 -x + 4y – 10 = 0 x – 4y + 10 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0. 12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 5)2 + (y + 2)2 = 52 di titik (-1, 4). Jawaban : Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17. Maka persamaan garis singgungnya adalah: (x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17 (x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17 (x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17 -x + 3 + 4y + 4 = 17 -x + 4y + 7 – 17 = 0 -x + 4y – 10 = 0 x – 4y + 10 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0. Demikianlah sekilas materi tentang Persamaan lingkaran. Untuk mempelajari materi tantang persamaan garis singgung lingkaran |