Blog Koma - Garis singgung persekutuan lingkaran maksudnya ada suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran baik satu lingkaran, dua lingkaran, atau pun lebih. Kosep dasar yang digunakan pada materi garis singgung persekutuan lingkaran adalah teorema pythagoras. Adapun hal-hal yang akan dibahas dalam materi garis singgung ini yatiu garis singgung pada satu lingkaran, garis singgung pada dua lingkaran, dan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran. Tapi sebelumnya akan dibahas dulu sedikit tentang teorema pythagoras.
Teorema Pythagoras
Mislakan ada segitiga siku-siku seperti berikut, Maka berlaku teorema Pythagoras untuk panjang sisi-sisinya, yaitu : $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $ Contoh : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC? Penyelesaian : *). Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras : $ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $ Jadi, panjang AC = 5.
Garis Singgung pada Satu Lingkaran $\clubsuit $ Defisi garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Pada gambar di atas tampak bahwa garis $ k $ tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis $ k $ adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran. $\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran
Artinya, panjang garis singgung AB adalah $ AB = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } $ Contoh : Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka a. gambarlah sketsanya; b. tentukan panjang garis singgung AB. Penyelesaian : a). Sketsanyab). panjang garis singgung AB $ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 - 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $ Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.
Garis singgung pada dua lingkaran (Garis singgung persekutuan)
Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah
lingkaran sekaligus. Dari beberapa "kedudukan dua lingkaran", diperoleh berbagai garis singgung yaitu : gambar 1 : kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan. gambar 2 : kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. gambar 3 : kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan. gambar 4 : kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. gambar 5 : kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan. Namun yang akan dibahas lebih lanjut adalah garis singgung pada gambar 5, yang bisa dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar lingkaran.
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran
Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan dalam lingkaran. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah garis AB Rumus cara menghitung panjang garis singgungya : Perhatikan gambar di atas. Perpanjang garis PA di titik S sehingga garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA + AS = R + r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung). Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras. $ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R+r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $ Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran
Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan luar lingkaran. Garis singgung persekutuan luarnya adalah garis AB Rumus cara menghitung panjang garis singgungya : Perhatikan gambar di atas. Dibuat garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA - SA = R - r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung). Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras. $ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R-r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $ Rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang Menghubungkan Lingkaran
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan
mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kita akan
mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan. Gambar di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.! Penyelesaian : *). Ilustrasi gambar *). Menentukan panjang masing-masing. dari gambar ilustrasi di atas, panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $ Segitiga ABC sama sisi, sehingga : $ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $ $ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $ $ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 90^\circ ) = 120^\circ $ Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sehingga kalau dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ . Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sehingga : $ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling lingkaran } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $ *). Panjang total sabuk lilitan $ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $ Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya adalah 86 cm. Catatan : Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kebanyakan membentuk keliling satu lingkaran. Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut: Anggap jari-jari masing-masing lingkaran adalah 7 cm. HINT ANSWER: gambar (i) : panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling lingkaran gambar (ii) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran gambar (iii) : panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling lingkaran } $ gambar (iv) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran. |