1 BAB VI KOMBINATORIL DAN PELUANG DISKRIT 2 KOMBINATORIAL Kombinatorial adalah cabang Matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang diperoleh dengan kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. 3 Percobaan Kaidah Dasar Menghitung. 4 PERMUTASI Definisi : Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek dengan memperhatikan urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian . Menurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah : n(n - 1) (n – 2)……(2)(1) = n ! 5 PERMUTASI Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut permutasi-r, dilambangkan dengan P(n,r), yaitu : Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r n. Dalam hal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama. 6 KOMBINASI Kombinasi adalah bentuk khusus dari pemutasi. 7 Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi 8 Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ? 9 Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris 10 KOEFISIEN BINOMIAL Teorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( x + y ) n, yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif. Cara ini digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga Pascal. 11 (x+y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + 1y5 12 Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( x + y ) n adalah : 13 TEOREMA BINOMIAL Contoh: ( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk 14 Peluang Diskrit Definisi : 15 Sifat-Sifat Peluang Diskrit 16 Kejadian Kejadian atau event disimbolkan E 17 Definisi Kejadian Definisi : Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S adalah p(E)=|E|/|S| Peluang kejadian E juga dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E.
Mata kuliah : Matematika Diskrit Dosen : I Putu Agus Eka Pratama ST. MT Kampus : Institut Teknologi Harapan Bangsa, Sistem Komputer 13 1. Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna yang berbeda, dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya, atau tidak bergambar sama sekali berapa jenis T-shirt yang dapat anda beli? 3. Berapakah jumlah kata (terdiri dar 8 huruf) yang dapat dibentuk dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang terbentuk. Buatlah untuk dua kemungkinan (boleh mengulang huruf atau tidak boleh mengulang huruf). 4. Enam orang melamar pekerjaan untuk pekerjaan yang sama, yang masing – masing akan ditempatkan di Jakarta, Bogor dan Bandung. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut? 16. sebuah kelompok terdiri dari 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4-orang yang dapat di bentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita didalamnya? 17. Sebuah klub penggemar mobil VW terdiri atas 8 pria dan 6 wanita. Terdapat 1 pasang suami istri di antara anggota klub tersebut. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang terdiri atas 3 pria dan 3 wanita sedimikan sehingga memasukan salah satu dari suami atau istri itu, tetapi tidak keduanya? Jawaban 
Matakuliah : Matematika Diskrit Dosen : I Putu Agus Eka Pratama ST. MT. Kampus : Institut Teknologi Harapan Bangsa,Sistem Komputer 13 5. Ketika n pasangan tamu tiba di pesta, mereka disambut oleh tuan dan nyonya rumah di pintu. Setelah saling berjabat tangan, tuan rumah bertanya kepada para tamu maupun istrinya untuk mengatakan berapa kali mereka masing – masing telah berjabat tangan. Ia memperoleh 2n + 1 jawaban yang berbeda. Jika tidak seorang pun berjabat tangan dengan istri atau suaminya sendiri, berapa kalikah nyonya rumah telah berjabat tangan?Buktikan jawaban anda dengan induksi matematika. Penyelesaian : (i) Basis Induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 pasang, nyonya rumah berjabat tangan sebanyak 2 x 1 = 2 (ii) Langkah Induksi : Andaikan p (n) benar, yaitu asumsikan jumlah jabat tangan nyonya rumah terjadi sebanyak 2n (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu jumlah jabat tangan yang dlakukan nyonya rumah dengan n + 1 pasang tamu adalah 2(n+1). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: Untuk n + 1 pasang, maka jumlah jabat tangan nyonya rumah yang terjadi haruslah jumlah jabat tangan nyonya rumah dengan tamu n pasang ditambah pasangan tamu ke(n+1). Menurut hipotesis induksi, untuk n pasang tamu, jumlah jabat tangan nyonya rumah adalah sebanyak 2n. Dengan di tambah pasangan tamu ke – (n+1) maka jumlah jabat tangan nyonya rumah bertambah 2 kali jabat tangan sehingga menjadi : 2n + 2 = 2 (n + 1) 6. Buktikan bahwa surat pos yang menggunakan perangko 24 sen atau lebih dapat hanya mengunakan perangko sen atau 7 sen. Penyelesaian : kombinasi biaya pos dengan perangko 5 sen dan 7 sen saja untuk biaya sebesar n ≥ 24 dapat ditulis sebagai kombinasi 5n + 7m Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk biaya pos sebesar n ≥ 24 hanya dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen. (i) Basis induksi : p(24) benar, karena untuk biaya pos sebesar 24 dapat digunakan 2 buah perangko seharga 5 sen dan 2 perango seharga 7 sen. (ii) Langkah Induksi : Misalkan p(n) benar yaitu biaya pos sebesar n ≥ 24 sen selalu dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n+1) bener adalah biaya pos sebesar n + 1 juga dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen, yaitu : Jika untuk membayar biaya pos sebesar n sen digunakan perangko 5 sen dan 7 sen, maka paling sedikit digunakan 2 buah perangko 5 sen dan 2 buah perangko 7 sen dengan 23 buah perangko 5 sen sehingga menggunakan 5 buah perangko 5 sen dapat dibayarlah biaya pos sebesar n + 1 8. sebuah kios penukaran uang hanya mempunyai pe cahan uang senilai Rp 2.000 dan Rp 5.000. Untuk uang senilai berapa saja yang dapat ditukar dengan kedua pecahan tersebut?Buktikan jawaban anda dengan induksi matematika. Penyelesaian : Misalkan p(n) adalah proposisi yang menunjukan jumlah uang n 1000n rupiah yang akan ditukar dengan uang Rp 2.000, sedangkan dengan pecahan Rp 5.000. Kita akan buktikan p(n) degan induksi matematika. (i) Basis Induksi : p(4) benar, karena uang Rp 4.000 dapat ditukarkan dengan 2 buah pecahan Rp 2.000. (II) Langkat Induksi : Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa kios penukaran dapat menukarkan uang senilai 1000n rupiah dengan pecahan Rp 2.000 dan Rp 5.000 (hipotesis Induksi). Kita harus membuktikan bahwa p(n+1) rupiah denga menggunakan pecahan Rp 2.000 dan Rp 5.000. Ada dua kemungkinan yang kita tinjau :
Mata kuliah : Matematika Diskrit Dosen : I Putu Agus Eka Pratama ST. MT. Kampus : Institut Teknologi Harapan Bangsa,Sistem Komputer 13 Himpunan merupakan suatu benda tertentu yang berada dalam satu kesatuan atau kumpulan. Penyajian himpunan ada 4 cara, yaitu mengenumerasi elemen – elemen, menggunakan simbol – simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan, dan menggunakan diagram venn. penyajian himpunan 1. Enumerasi Penyajian himpunan dengan menggunakan kurung kurawal. Contoh : A = {2,3,5,7,11} atau A = {3,7,5,2,11} urutan anggota di dalam himpunan tidak mempengaruhi. 2. Simbol – simbol baku Himpunan yang menggunakan simbol – simbol baku. P = himpunan bilangan bulat positif N = himpunan bilangan asli Z = himpunan bilangan bulat Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan universal disebut semesta dan disimbolkan dengan U. 3. Notasi Pembenuk Himpunan Himpunan yang menggunakan notasi untuk membuat himpunan. Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 A = {x | x ∈ P, x < 5} 4. Diagram Venn Himpunan dengan cara penyajian dengan secara rafis. Contoh : A = { 1,3,5,7} B = {1,2,3,4} Jenis Himpunan Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasi dari himpunan kosong adalah { } Himpunan Bagian Himpunan yang merupakan bagian dari himpunan lain Notasi himpunan bagian : A ⊆ B Contoh A = {1,2,3,4,5,6} B = {4,5} Himpunan yang Sama Himpunan yang memiliki anggota yang sama walaupun urutan anggota tersebut tidak sama. A = B Himpunan yang Ekivalen Himpunan yang memiliki kardinalitas yang sama walaupun tidak memiliki tidak sama. Notasi : A ~ B ↔ |A| = |B| Himpunan Kuasa Himpunan yang memiliki semua bagian himpunan Notasi : P(A) atau 2^A Contoh : jika A = {1 , 2}, maka P(A) = {∅, {1}, {2},{1,2}} Contoh soal : Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja dan KIR saja 46 – 16 = 30 30 = 19 + 23 – x x = 12 jadi yang mengikuti KIR dan PMR adalah 12 KIR : 19 – 12 = 7 PMR : 23 – 12 = 11 Soal 2 terdapat 40 mahasiswa yang mengikuti ukm dalam suatu universitas. 25 orang mengikuti ukm sepak bola dan 18 orang mengikuti ukm basket. Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti kedua ukm tersebut? Berapa banyak mahasiswa yang hanya mengikuti 1 ukm? 40 = 25 – x + 18 – x + x x = 3 jadi yang mengikuti 2 ukm adalah 3 mahasiswa 1 ukm : 25 – 3 + 18 – 3 = 37 jadi yang mengikuti hanya 1 ukm adalah 37 mahasiswa Sumber : Munir, Rinaldi. Matematika Diskrit. 2012. Bandung : Informatika
Mata kuliah : Matematika Diskrit Dosen : I Putu Agus Eka Kampus, jurusan : ITHB, Sistem Komputer 2013 27. Enam puluh ribu suporter sepakbola yang mendukung pertandingan di kandang sendiri membeli habis semua cindera mata untuk mobil mereka. Secara keseluruhan laku terjual 20000 stiker, 36000 bendera kecil, dan 12000 gantungan kunci. Kita diberitahu bahwa 52000 suporter membeli sedikitnya satu cindera mata dan tidak seorang pun membeli suatu cindera mata lebih dari satu. Selain itu, 6000 suporter membeli bendera kecil dan gantungan kunci, 9000 membeli bendera kecil dan stiker, dan 5000 membeli gantungan kunci dan stiker. Stiker = 20000 Bendera kecil = 36000 Gantungan kunci = 12000 Total suporter yang membeli = 52000 Bendera kecil & gantungan kunci = 6000 Bendera kecil & stiker = 9000 Gantungan kunci & stiker = 5000 a) Berapa banyak suporter yang membeli ketiga macam cindera mata di atas? 52 = ( 20 + 36 + 12 ) – ( 5 + 9 + 6 ) + x 52 = 68 – 20 + x x = 4000 b) Berapa banyak suporter yang membeli tepat satu cindera mata? Stiker : 20 – ( 9 + 4 + 5 ) = 2000 Bendera kecil : 36 – ( 9 + 4 + 6 ) = 17000 Total = 19000 28. Di antara 50 mahasiswa di dalam kelas,26 orang memperoleh nilai A dari ujian pertama dan 21 orang memperoleh nilai A dari ujian kedua. Jika 17 orang mahasiswa tidak memperoleh nilai A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian tersebut? A1 = 26, A2 = 21 50 – 17 = 33 26 – x = 33 – ( 21 – x ) – x 26 – x = 12 x = 14 29. Dalam suatu survey pada 60 orang, didapatkan bahwa 25 orang membaca majalah tempo, 26 orang membaca mahalah gatra, dan 26 orang membaca majalah intisari. Juga terdapat 9 orang yang membaca tempo, dan intisari, 11 orang membaca tempo dan gatra, 8 orang membaca gatra dan intisari, dan 8 orang tidak membaca majalah satupun. Total = 60 Tidak membaca = 8 60 – 8 = 52 Tempo = 25 Gatra = 26 Intisari = 26 Tempo dan Intisari = 9 Tempo dan Gatra = 11 Gatra dan Intisari = 8 Tentukan jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut. 52 = ( 25 + 26 + 26) – ( 9 + 11 + 8) + x 52 = 77 – 28 + x 52 = 49 + x x = 3 Tentukan jumlah orang yang benar – benar membaca satu majalah. Tempo : 25 – ( 11 + 9 + 3 ) = 2 Gatra : 26 – ( 11 + 8 + 3 ) = 4 Intisari : 26 – ( 9 + 8 + 3 ) = 6 Total : 2 + 4 + 6 = 12
Matematika adalah salah satu ilmu dasar dalam kehidupan dimana matematika dapat di anggap sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, mandiri, logika, dan mampu menyelesaikan masalah. Matematika terus berkembang sesuai dengan perkembangan zaman. Salah satunya adalah matematika diskrit. Matematika diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan(lawan dari kontinyu). Sudah banyak implementasi matematika diskrit, di antaranya : smart city, cloud computing, jaringan komputer, dll. cloud computing merupakan gabungan pemanfaatan teknologi komputer (komputasi) dalam suatu jaringan dengan pengembangan berbasis internet(awan) yang mempunyai fungsi untuk menjalankan program atau aplikasi melalui komputer – komputer yang terkoneksi pada waktu yang sama, tetapi tak semua yang tekoneksi melalui internet menggunakan cloud computing. teknologi komputer berbasis sistem cloud ini merupakan sebuah teknologi yang menjadikan internet sebagai pusat server untuk mengelola data dan juga aplikasi pengguna. teknologi ini mengizinkan para pengguna untuk menjalankan program tanpa instalasi dan mengizinkan pengguna untuk mengakses data pribadi mereka melalui komputer dengan akses internet. ada beberapa manfaat cloud computing serta penerapan dalam kehidupan sehari – hari :
Jenis layanan cloud computing :
1. (a) 3 + 15 = 17 (Proposisi bernilai salah) 2. (a) Iwan bisa berbahasa Inggris atau Jerman(p∨q) 3. (d) Kuliahnya tidak menarik, dosennya tidak enak, dan soal – soal ujiannya tidak mudah(~p∧~q∧~r) 4. (a) Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik ~(~p∧~q) 5. (a) Tidak benar bahwa tampilan antarmukanya menarik maupun cara pengoperasiannya sulit ~(p∧~q) |
Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama
Pos Terkait
Copyright © 2024 adaberapa Inc.
