Diketahui segitiga sebarang ∆ ABC ≅ ∆ rqp pasangan sisi sama panjang yang benar adalah

PEMA4207/MODUL 1 1.41 Ilustrasi Postulat PenjelasanPostulat Perpotong- Untuk menjaminan Bidang bidang rata. Kita menghendaki Jika dua bidang Perpotongan hanyaberpotongan maka satu garis, bukan dua.perpotongannya tepatsatu garis.Postulat Dua Titik, Untuk menjaminGaris, Bidang bahwa bidang rata, Jika dua titikpada bidang, maka kita menghendaki satugaris yang memuatkedua titik itu terletak bidang memuat semuapada bidang. titik dari garis bilaPostulat PemisahBidang diketahui bahwa itu Misalkan N memuat dua titik dariadalah bidang dan gadalah garis pada N. garis.Titik dari bidang Dikehendaki garistidak pada gmembentuk setengah memisahkan bidangbidang sedemikian menjadi dua setengahsehingga: bidang. Ini digunakana. Masing-masing untuk memutuskan bilamana dua titik setengah bidang terletak pada sisi yang adalah himpunan sama dari garis atau di cembung seberangnya. (konveks).b. Jika P di salah satu setengah bidang dan Q pada setengah bidang lain, maka segmen PQ memotong g.1.42 Geometri Postulat Penjelasan IlustrasiPostulat Pemisah Kita menghendakiRuang bidang membagi ruang ke dalam Misal N adalah setengah ruang.bidang. Semua titik Postulat ini digunakanpada ruang tidak pada untuk memutuskanN terbagi menjadi bilamana dua titiksetengah ruang berada pada setengahsedemikian sehingga: bidang yang sama,a. Masing-masing atau berseberangan. setengah ruang Kita menghendaki adalah himpunan hanya satu garis yang konveks. melalui titik yangb. Jika titik A pada diketahui tegak lurus salah satu garis yang diketahui. setengah ruang, dan B di setengah ruang lainnya, maka segmen AB memotong (menembus) bidang N.Postulat Tegak lurus Diketahui satutitik dan garis padabidang, terdapat tepatsatu garis yangmelalui titik dan legaklurus pada garis yangdiketahui. Postulat penting lainnya akan disajikan pada bahasan berikutnya.PEMA4207/MODUL 1 1.43Postulat Contoh dan IlustrasiPostulat Penggaris AB = |3 - 10| = |10 - 3| = 7a. Setiap pasang titik AB = |10 - 17| = |17 - 10| = 7 berkorespondensi dengan satu bilangan positif yang unik, Contoh di atas menyarankan bahwa bilangan itu dinamakan jarak antara dua titik. tidak apa-apa dimanapunb. Titik pada garis berpasangan satu-satu dengan bilangan real sehingga jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih bilangan yang bersesuaian menempatkan penggaris karena panjang segmen adalah nilai mutlak dari selisih dua bilangan yang bersesuaian dengan titik ujung segmen. Contoh: AB = | 3 – (-2) | = 5 BC = | 18 – 3 | = 15 AC = | -2 – 19 | = 20Definisi 2-6:Titik B di antara A dan C jika danhanya jika A, B, dan C segaris danAB + BC = AC.Postulat Busur Derajat Contoh: Tentukan u ∠ ABC, ua. Setiap sudut berkorespon- ∠ CBD, dan u ∠ ABD densi dengan bilangan antara u ∠ ABC = |42 - 20| = 22 0 sampai dengan 180 secara unik, yang disebut ukuran sudut.b. Misal P adalah satu titik pada tepi setengah bidang H. Tiap sinar pada setengah bidang1.44 GeometriPostulat Contoh dan Ilustrasi itu atau dengan pangkal P dapat dipasangkan satu-satu u ∠ CBD = |77 - 42| = 35 dengan 0 < n < 180, u ∠ ABD = |77 - 20| = 57 sedemikian sehingga ukuran sudut yang terbentuk oleh pasangan sinar tak segaris dengan titik sudut P adalah nilai mutlak selisih bilangan yang bersesuaian.Definisi 2.7BC di antara BA dan BD jikadan hanya jika BA, BC , dan BDsebidang dan u ∠ ABC + u ∠CBD = u ∠ ABD Ada dua versi postulat yang didaftarkan di sini yang pertama postulatyang sebagian sudah tertuliskan terdahulu yang selanjutnya akan dipakaidalam rangka penyelesaian masalah dan soal buku ini, yang kedua adalahpostulat SMSG (School Mathematics Study Group, diambil dari buku RoadTo Geometry, karangan Wallace. Kumpulan Postulat Geometri Stanley R Clemen:1. Postulat Keberadaan titik. Ruang itu ada dan paling sedikit memuat empat titik tak sebidang (nonkoplanar), tak segaris (noncollinear). Bidang memuat paling sedikit tiga titik noncollinear. Garis memuat paling sedikit dua titik.2. Postulat Titik-Garis. Dua titik dimuat oleh satu dan hanya satu garis.3. Postulat Titik-Bidang. Tiga titik noncollinear (tak segaris) dimuat oleh satu dan hanya satu bidang.4. Postulat Perpotongan Bidang. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya satu garis.5. Postulat dua Titik, garis, bidang. Jika dua titik pada bidang maka garis yang memuat kedua titik itu juga pada bidang.PEMA4207/MODUL 1 1.456. Postulat Pemisahan Bidang. Misal N adalah bidang dan g adalah garis pada N. Suatu titik pada N tidak pada g membentuk dua setengah bidang sedemikian sehingga, a. masing-masing setengah bidang merupakan himpunan cembung. b. jika P pada salah satu setengah bidang dan Q pada setengah bidang lainnya, maka PQ memotong g.7. Postulat Pemisahan Ruang. Misal N adalah bidang dalam ruang. Suatu titik di dalam ruang tidak pada bidang N membentuk setengah ruang, sedemikian sehingga: a. masing-masing setengah ruang merupakan himpunan cembung. b. jika A pada suatu setengah ruang, dan B di setengah-ruang lainnya, maka AB memotong (menembus) bidang N.8. Postulat Tegak lurus. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat tepat satu garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Diketahui bidang dan titik tidak pada bidang itu, terdapat tepat satu garis melalui titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.9. Postulat Penggaris. a. Untuk setiap pasang titik berkorespondensi secara unik satu bilangan positif yang disebut jarak antara titik. b. Titik pada garis dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan real sehingga jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih antara bilangan yang berhubungan.10. Postulat Busur derajat. Masing-masing sudut berkorespondensi secara unik bilangan antara 0 dan 180 yang disebut ukuran sudut. Misal P adalah titik pada tepi dari setengah bidang H. Tiap sinar pada setengah bidang atau sisi dengan titik pangkal P terpasangkan satu-satu dengan bilangan real n dengan 0 < n < 180, sedemikian sehingga ukuran sudut yang terbentuk pasangan sinar yang tidak segaris (nonkolinier) adalah nilai mutlak selisih bilangan yang terpasangkan.11. Postulat Kongruensi Si-Su-Si. Jika dua sisi dan sudut yang diapitnya dari segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sisi dan satu sudut yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.12. Postulat Su-Si-Su. Jika dua sudut dan satu sisi yang diapitnya dari segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sudut dan satu sisi yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.1.46 Geometri13. Postulat Si-Si-Si. Jika semua sisi dari satu segitiga kongruen berturut- turut dengan semua sisi dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu kongruen.14. Postulat Pasangan Segaris. Jika dua sudut membentuk pasangan segaris, kedua sudut saling suplemen.15. Postulat Kesejajaran. Diketahui garis g, dan titik P tidak pada g terdapat hanya satu garis melalui P sejajar g.16. Postulat Ketidaksamaan Segitiga. Jumlah dari panjang dari dua sisi suatu segitiga lebih besar dari panjang sisi yang ketiga.17. Postulat Kesebangunan Su-Su-Su. Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan sudut dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu kongruen.18. Postulat Penambahan Busur. Jika titik C pada AB, maka u AC + u CB = u AB.19. Postulat Luas. Bilangan positif yang unik disebut luas dapat dikaitkan dengan daerah poligon. Luas daerah dinotasikan dengan A (R).20. Postulat Luas Daerah Kongruen. Jika dua persegi panjang atau dua segitiga kongruen, maka daerah yang dibatasinya mempunyai luas yang sama.21. Postulat Penambahan Luas. Jika daerah segi banyak merupakan gabungan dari n daerah poligon yang tidak bertumpuk, maka luasnya adalah jumlah luas dari n daerah tersebut.22. Postulat Luas Persegi Panjang. Luas persegi panjang dengan panjang p dan lebar g adalah pg.23. Postulat Volum. Setiap benda ruang terkait dengan unik satu bilangan positif yang disebut volum.24. Postulat Volum Balok. Volum balok sama dengan perkalian antara panjang, lebar, dan tingginya.25. Postulat Penambahan Volum. Jika benda ruang merupakan gabungan dua benda ruang yang tidak beririsan di interiornya, maka volumnya adalah jumlah dari volum dua benda tersebut.26. Postulat Cavalieri. Misal S dan T dua benda ruang dan X adalah bidang. Jika setiap bidang sejajar X yang memotong S juga T dengan penampang dengan luas yang sama, maka volum S = volum T. Untuk pembanding, di sini ditulis postulat geometri versi lain. yaituPostulat Geometri Euclid model SMSG (School Mathematics Study Group):PEMA4207/MODUL 1 1.47Postulat 1. Diberikan dua titik berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat titik itu.Postulat 2. (Postulat jarak). Setiap dua titik berbeda berkorespondensi dengan satu bilangan real positif.Postulat 3. (Postulat penggaris). 1) Setiap titik pada garis dapat berkorespondensi 1-1 dengan satu bilangan real; 2) Setiap bilangan real dapat berkorespondensi 1-1 dengan titik pada garis; 3) Jarak antara dua titik berbeda adalah nilai mutlak selisih dua bilangan yang berkorespondensi (dengan kedua titik itu).Postulat 4. (Postulat penempatan penggaris). Diketahui dua titik P dan Q pada garis, sistem koordinat dapat dipilih dengan P berkoordinat nol dan Q berkoordinat positif.Postulat 5. a) Setiap bidang memuat paling sedikit tiga titik yang tidak kolinier, b) Ruang memuat paling sedikit empat titik yang tidak sebidang.Postulat 6. Jika dua titik pada bidang, maka garis yang memuat titik itu terletak pada bidang tersebut.Postulat 7. Setiap tiga titik berada paling sedikit di satu bidang, dan setiap tiga titik yang tak segaris berada tepat pada satu bidang.Postulat 8. Jika dua bidang berpotongan, perpotongannya berupa garis.Postulat 9. (Pemisahan bidang) Diketahui satu garis dan bidang yang memuatnya, titik-titik pada bidang tidak terletak pada garis membentuk dua himpunan sehingga, 1) masing-masing himpunan cembung. 2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain. maka segmen PQ memotong garis.Postulat 10. (Pemisahan ruang). Titik-titik di ruang yang tidak terletak pada bidang yang diketahui membentuk dua himpunan sehingga. 1) masing-masing himpunan cembung. 2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain, maka segmen PQ menembus bidang.Postulat 11. (Postulat ukuran sudut) Setiap sudut berkorespondensi dengan bilangan real antara 0o dan 180o.Postulat 12. (Postulat konstruksi sudut) Misal AB adalah sinar pada sisi setengah bidang H. Untuk setiap r antara 0o dan 180o terdapat1.48 Geometri tepat satu sinar AP dengan P di H sedemikian sehingga m ∠ PAB = rPostulat 13. (Postulat penjumlahan sudut). Jika D adalah titik di interior ∠ BAC. maka u ∠ BAC= u ∠ BAD + u ∠ DAC.Postulat 14. (Postulat suplemen) Jika dua sudut merupakan pasangan segaris, kedua sudut itu saling suplemen.Postulat 15. (Postulat Sisi-Sudut-Sisi). Diberikan korespondensi antara dua segitiga (atau antara suatu segitiga dengan dirinya). Jika dua sisi dan satu sudut yang diapitnya pada segitiga ke satu masing- masing kongruen dengan bagian yang berkorespondensi pada segitiga kedua. maka korespondensi tersebut merupakan kongruensi.Postulat 16. (Postulat kesejajaran) Melalui titik di luar garis yang diketahui terdapat paling banyak satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.Postulat 17. Setiap daerah poligon (segi banyak) berkorespondensi dengan satu bilangan positif yang disebut luas.Postulat 18. Jika dua segitiga kongruen, maka luasnya sama.Postulat 19. Misal daerah R merupakan gabungan dari daerah Rl dan R2 yang pemotongannya di berhingga segmen dan titik maka luas R adalah jumlah dari luas R1 dan R2.Postulat 20. Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar.Postulat 21. Volume paralelepipidum adalah perkalian antara luas dan tingginya.Postulat 22. (Prinsip Cavalieri). Diberikan dua benda (pejal) dan bidang. Jika setiap bidang yang sejajar dengan bidang yang diketahui memotong benda membentuk daerah dengan luas yang sama maka kedua benda tersebut mempunyai volume yang sama. Dari dua kelompok postulat geometri ini nampak kelompok pertamalebih mudah dipahami dibanding postulat di kelompok kedua. Adakemudahan seperti postulat kongruensi Si-Si-Si dan postulat kongruensi Su-Si-Su dikelompok pertama dinyatakan postulat namun dikelompok dua tidakada dan itu dinyatakan sebagai teorema dan tentu dituntut dibuktikan.Nampaknya itu yang mengakibatkan jumlah postulat lebih banyak (kelompoksatu ada 26 postulat. kelompok dua ada 22 postulat).PEMA4207/MODUL 1 1.49 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Lengkapilah pernyataan berikut dengan kata: titik, garis, bidang, atauruang. Tuliskan nomor postulat yang menyiratkan hal tersebut. (Dari daftarpostulat pertama/postulat geometri Stanley R. Clemen).1) Jika dua titik pada bidang maka ... yang memuatnya terletak pada bidang.2) Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya tepat satu ....3) Pada bidang terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Untuk nomor 4 sampai dengan 6 jawablah pertanyaan kemudiansebutkan postulat mana (nomor postulat daftar pertama) yang digunakanuntuk menjawab pertanyaan itu.4) Ada berapa garis dapat dibuat melalui empat titik tak kolinier? Lima titik tak kolinier? Enam titik dan n titik?5) Jika A dan B titik pada bidang α maka AB tidak mempunyai titik yang tidak terletak pada α.6) Dua bidang β dan γ yang berpotongan tidak dapat memuat dua garis potong berbeda g dan m. Untuk nomor 7 sampai dengan nomor 10, carilah yang sesuai denganyang ditanyakan!7) Setelah dipasangkan busur derajat dengan benar sinar AB menunjuk 67o, besar ∠ BAC = 30o. Bilangan berapa yang ditunjukkan sinar AC ?8) Jika m AB = 12, koordinat A adalah 30 berapa koordinat B?9) Jika titik A, B, dan C kolinier (segaris). Jika koordinat A lebih kecil dari koordinat B. Koordinat B lebih kecil dari koordinat C. Apakah B berada di antara A dan C?10) Jika S di antara R dan T, ST = 6, RS = 10. Carilah RT!1.50 GeometriPetunjuk Jawaban Latihan1) Postulat 5. Jika dua titik pada bidang maka garis yang memuat kedua titik itu juga pada bidang.2) Postulat 4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya satu garis.3) Postulat 8. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat tepat satu garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Diketahui bidang dan titik tidak pada bidang itu. Terdapat tepat satu garis melalui titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.4) Postulat 2. 2 titik terdapat satu garis (yaitu 2.1 = 1) 2 3 titik terdapat satu garis (yaitu 3.2 = 3) 2 4 titik terdapat satu garis (yaitu 4.3 = 6) 2 5 titik terdapat satu garis (yaitu 5.4 = 10) 2 6 titik terdapat satu garis (yaitu 6.5 = 15) 2 N titik terdapat n (n −1) garis. 2PEMA4207/MODUL 1 1.515) Maksud AB tidak mempunyai titik yang tidak terletak pada α adalah semua titik pada AB terletak pada α ini tidak lain dari postulat 5.6) Jika bidang β dan γ bidang memuat garis g artinya garis merupakan perpotongan antara bidang β dan γ. Tidak ada perpotongan yang lain selain satu garis, jadi g dan m merupakan garis yang sama.7) Misalkan selisih antara c dengan 67 adalah 30 maka 67 – c = 30 → c = 47 67 – c = –30 → c = 97 Jadi sinar AC menunjukkan ke bilangan 37 atau 97.8) Misalkan selisih antara B dengan 30 adalah 12 maka | 30 – B | = 12 30 – B = 12 → B = 42 30 – B = 12 → B = 18 Jadi koordinat B adalah 18 atau 42.9) Koordinat A < Koordinat B Koordinat B < Koordinat C Dapat disimpulkan bahwa koordinat A < koordinat B < koordinat C maka titik B di antara A dan C.10) S di antara R dan T dapat digambarkan Dari diagram didapat RT = 10. RANGKUMAN Postulat geometri adalah titik tolak kebenaran dari geometri,merupakan aturan main. Postulat adalah kebenaran yang disepakati,tidak perlu dibuktikan. Kita terima postulat suatu kebenaran dandigunakan untuk membuktikan teorema.1.52 Geometri TES FORMATIF 3 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Diketahui ∆ ABC dan ∆ SPT dengan CA ≅ TS , ∠ A ≅ ∠ S, AB ≅ SP dapat disimpulkan ∆ ABC ≅ ∆ SPT dengan .... A. postulat Si-Su-Si B. postulat Su-Si-Su C. postulat Si-Si-Si D. postulat Penggaris2) Terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak lurus terhadap bidang yang diketahui. A. titik B. garis C. bidang D. ruang3) Bidang memisahkan .... menjadikan dua setengah ruang. A. titik B. garis C. bidang D. ruang4) Berapa garis dapat dibuat melalui enam titik yang tiap tiga titik tidak kolinier? A. 6 B. 10 C. 15 D. 215) Titik A, B, dan C kolinier (segaris) jika AB = 23, BC = 7, dan AC = 16. A. A di antara B dan C B. B di antara A dan C C. C di antara A dan B D. tidak dapat ditentukan6) Jika u ∠ ABC = 40o pada busur derajat sinar BA menunjukkan 90o maka sinar BA menunjuk .... A. 70o atau 110oPEMA4207/MODUL 1 1.53 B. 50o atau 130o C. 50o D. 130o7) PR di antara PQ , dan PS jika dan hanya jika PR , PQ , dan PS komplanor (sebidang) dan .... A. u ∠ QPR + u ∠ QPS = u ∠ RPS B. u ∠ RPS + u ∠ QPS = u ∠ QPR C. u ∠ QPR + u ∠ RPS = u ∠ QPS D. u ∠ QPS + u ∠ QPR = u ∠ RPS8) I. Jika A, B, dan C kolinier (segaris) AB = 17, AC = 5, BC =12 maka C di antara A dan B. II. Jika S, R, dan T kolinier, SR = 3, RT = 3, ST = 8 maka S di antara R dan T. A. I dan II benar B. I saja yang benar C. II saja yang benar D. I dan II salah9) I. Melalui dua titik terdapat tepat satu garis. II. Ruang memuat paling sedikit empat titik. A. I dan II benar B. I saja yang benar C. II saja yang benar D. I dan II salah10) A. DC memotong (menembus) bidang EFGH B. EF memotong (menembus) bidang ABCD C. DF memotong (menembus) bidang EBCH D. AH memotong (menembus) bidang BFGC Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.1.54 Geometri Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 1 1.55 Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 11) B Konsep sudut.2) D Titik D di luar garis.3) C ∆ ADE, ∆ CDE, ∆ BCD, ∆ ABC, ∆ ACD.4) C Jelas.5) D 2(20o + 30o) = 100o.6) A 90o + 1 (90o) = 135o. 27) D 12  = 12! = 12.11 = 66 .    2  2!10! 28) C Jelas.9) C Jelas.10) C Jarak maksimum 12 km, coba analisis dengan 2 lingkaran masing- masing berjari-jari 5 km dan 7 km.Tes Formatif 21) C Jelas.2) C Konsep negasi dari pernyataan.3) C Invers suatu pernyataan.4) C Sifat garis berat segitiga.5) C Jelas.6) C Jelas.7) B Negasi pernyataan.8) A Kontra positif suatu pernyataan.9) A Penarikan kesimpulan.10) D Sifat sudut pada segitiga.Tes Formatif 31) A Dua sisi, satu sudut.2) C Postulat tegak lurus.3) D Postulat pemisahan ruang.4) C 6 6! = 6.5 = 15 .  =  2 9!2! 25) C Postulat titik, garis.1.56 Geometri6) B | 90 – c | = 40 → c = 50 atau c = 130.7) D Penjumlahan sudut.8) B Postulat titik, garis.9) A Postulat keberadaan titik.10) C Jelas berdasarkan gambar.PEMA4207/MODUL 1 1.57 Daftar PustakaClemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984). Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison- Wesley Publishing Company.Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A Viacom Company.Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi.Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978). Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.Modul 2 Kongruensi Segitiga Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.PENDAHULUANM odul ini membahas kongruensi segitiga, terdiri atas dua kegiatan belajar. Pertama berjudul Pengertian Kongruensi berisi pengertiankongruensi antara dua segitiga dan postulat-postulat kongruensi segitiga.Kedua berjudul Alat pembuktian Kongruensi, yakni apa saja yang dapatdigunakan untuk menyimpulkan dua segitiga kongruen, yaitu postulat,definisi, kongruensi segmen, dan kongruensi sudut. Kemudian bagaimanamembuktikan kongruensi secara bertahap. Dengan modul ini Anda diharapkan mengetahui dan memahami konsepkongruensi. Adapun tujuan pembelajaran khusus modul ini Anda diharapkandapat:1. memahami definisi dua segitiga kongruen;2. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan postulat kongruen (Si- Su-Si, Su-Si-Su, Si-Si-Si);3. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan definisi dan postulat;4. menyimpulkan dua sudut/segmen kongruen yang merupakan komponen dari segitiga-segitiga kongruen;5. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga yang berpadu pada bentuk-bentuk lain;6. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga secara bertahap.2.2 Geometri Kegiatan Belajar 1 Pengertian KongruenSEGITIGA KONGRUEN Secara intuitif dua segitiga kongruen jika kedua bentuk segitiga tersebutdapat dihimpitkan satu sama lain, pengujiannya bisa dilakukan denganmengusahakan menghimpitkan kedua bentuk tersebut, caranya bisa denganpenjiplakan. Intuisi ini mengarahkan kita pada definisi berikut.Definisi 2.1 Dua segitiga kongruen jikaterdapat korespondensi antara titik-titik sudut sehingga tiap pasang sisidan sudut yang berkorespondensikongruen. Gambar 2.1 Terdapat koresponden antara titik sudut yaitu A ↔ B, B ↔ E, danC ↔ F sehingga AB ≃ DE, BC ≃ EF, AC ≃ DF, dan ∠A ≃ ∠D, ∠B ≃ ∠E,∠C ≃ ∠F . Jadi, ∆ABC ≃ ∆DEFPOSTULAT KONGRUENSI Jika kita mengkonstruksi segitiga dengan diberi tiga dari enam bagiansegitiga, kita akan mendapatkan satu ukuran dan bentuk segitiga secaralengkap.1. Dua sisi dan satu sudut yang diapit.2. Dua sudut dan satu sisi yang diapit.3. Tiga sisiPEMA4207/MODUL 2 2.3Dari sini kita dapatkan tiga postulat kongruensi segitiga berikut.Postulat Penjelasan IlustrasiPostulat Kongruensi Kita yakin bahwaSi-Su-Si hanya satu bentuk danJika dua sisi dan satu ukuran segitiga yangsudut yang diapit dari terjadi, bila dua sisisatu segitiga kongruen dan sudut yangberturut-turut dengan diapitnya ditentukan.dua sisi dan sudutyang diapit pada Kita yakin bahwasegitiga kedua, maka hanya satu bentuk dankedua segitiga itu ukuran segitiga yangkongruen. terjadi, bila dua sudutPostulat Kongruensi dan sisi yangSu-Si-Su diapitnya ditentukan.Jika dua sudut dansatu sisi yang Kita yakin bahwadiapitnya dari satu hanya satu bentuk dansegitiga kongruen ukuran segitiga yangberturut-turut dengan terjadi, bila ketiga sisidua sudut dan satu sisi ditentukan.yang diapitnya padasegitiga lainnya, makakedua segitiga itukongruen.Postulat KongruensiSi-Si-SiJika semua sisi darisatu segitiga kongruenberturut-turut dengansemua sisi dansegitiga yang lain,maka dua segitiga itukongruen.2.4 GeometriPembuktian: Menggunakan Postulat KongruensiPostulat Si-Si-Si mempunyai bentuk umum: Semua sisi dari satu segitiga kongruen maka Dua segitiga itu Jika berturut-turut dengan semua sisi dari → kongruen segitiga lain q p AKita lihat aplikasi khusus daripernyataan ini. Kita amati bahwa semua kondisi (syarat) yang ditentukan di p dipenuhi,sehingga p benar. Dengan modus ponens, jadi kita dapat menyimpulkan: qbenar. Dalam hal ini kita simpulkan, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ. Untuk memudahkan pengorganisasian berpikir, kita tuliskan bukti di atasdalam bentuk kolom. Kolom kiri digunakan untuk pernyataan yangmenuntun kepada kesimpulan, Kolom kanan untuk alasan mengapapernyataan benar.Diketahui: AB ≅ XY BC ≅ YZ AC ≅ XZBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ.Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. Diketahui 2. BC ≅ YZ 2. Diketahui 3. AC ≅ XZ 3. Diketahui 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-SiPEMA4207/MODUL 2 2.5Berikut ini dua contoh bukti sederhana dua segitiga kongruen.Contoh 2.1Diketahui: AB ≅ XY ∠A ≅ ∠X ∠B ≅ ∠YBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZBukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. Diketahui 2. ∠A ≅ ∠X 2. Diketahui 3. ∠B ≅ ∠Y 3. Diketahui 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-SuContoh 2.2Diketahui: MN ≅ MP ∠1 ≅ ∠2Buktikan: ∆MNQ ≅ ∆MPQBukti: Pernyataan Alasan 1. MN ≅ MP 1. Diketahui 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui 3. MQ ≅ MQ 3. Segmen kongruen dengan dirinya (sifat refleksi) 4. ∆MNQ ≅ ∆MPQ 4. Postulat kongruensi Si-Su-Si2.6 GeometriPembuktian: Menggunakan Definisi Definisi dua garis tegak lurus, garis bagi sudut, titik tengah, pembagisegmen, dan sumbu segmen sering digunakan dalam membuktikan. Mengingat contoh berikut dari modus ponens.p→q Jika sinar membagi sudut, maka dua sudut yang terbentuk adalah kongruenp AC membagi ∠BADJadi q: ∠1 ≅ ∠2 Bukti singkat di atas disusun dalam bentuk dua kolomsebagai berikut.Diketahui: AC membagi ∠BAD .Buktikan: ∠1 ≅ ∠2Bukti: Pernyataan Alasan 1. AC membagi ∠BAD 1. Diketahui 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Definisi garis bagi Berikut ini bukti singkat memperlihatkan bagaimana definisi titik tengah,garis bagi, dan garis tegak lurus digunakan dalam pembuktian.Contoh 2.3Diketahui: C titik tengah BDBuktikan: BC ≅ CDBukti: Pernyataan Alasan 1. C titik tengah BD 1. Diketahui 2. BC ≅ CD 2. Definisi titik tengahPEMA4207/MODUL 2 2.7Contoh 2.4Diketahui: AC sumbu BDBuktikan: C titik tengah BDBukti: Pernyataan Alasan 1. AC sumbu BD 1. Diketahui 2. C titik tengah BD 2. Definisi sumbuContoh 2.5Diketahui: AC ⊥ BDBuktikan: ∠ACD ≅ ∠ACBBukti:c Pernyataan Alasan 1. Diketahui 1. AC ⊥ BD 2. Definisi garis tegak lurus 2. ∠ACD ≅ ∠ACB LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Jika diketahui ∆ABC ≅ ∆DEF dengan gambar seperti berikut. Periksa dengan mengukurnya. Manakah pernyataan berikut yang salah.2.8 Geometri a) AC ≅ DF; ∠B ≅ ∠E; BC ≅ DE; ∠C ≅ ∠F b) AB ≅ ED; ∠A ≅ ∠D; ∠C ≅ ∠F; AB ≅ EF c) AB ≅ DE; BC ≅ FE; ∠C ≅ ∠D; AC ≅ DF2) Diketahui ∆PRS ≅ ∆JKL, tulis pasangan sisi yang kongruen dan pasangan sudut yang kongruen dari kongruensi itu!3) Jika ∆ABC adalah segitiga sama sisi, dapat ditulis ∆ABC ≅ ∆BCA. Masih ada lima pernyataan kongruensi ini yang dapat ditulis. Tuliskan!4) Tuliskan pasangan segitiga yang kongruen, nyatakan alasannya!5) Diketahui bahwa ∆ ABC ≅ ∆ DEF, manakah pernyataan berikut yang benar/salah? a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD b) ∆ ACB ≅ ∆ EFD c) ∆ CBA ≅ ∆ FDE d) ∆ CAB ≅ ∆ FDE6) Gambar berikut memuat satu pasang (atau lebih) irisan yang kongruen.Kadang mereka saling tumpang tindih. Tuliskan pasangan yangkongruen tersebut!a. b. c.∆ ADB dengan 1. ∆ ACB dengan ∆ ABD dengan∆ DAC. ∆ ABC. ∆ CDB. 2. ∆ ABE denganPEMA4207/MODUL 2 2.9 ∆ ACD.7) Apakah kedua segitiga berikut kongruen, postulat mana yang digunakan untuk menyimpulkan itu? a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z8) Diketahui ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB Buktikan: ∆ CBE ≅ ∆ ABD9) Diketahui: AB ≅ CD ∠1=∠2 Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ CDB10) Diketahui AC ≅ AD AB ≅ AE BC ≅ ED Buktikan: ∆ABC ≅ ∆AEDPetunjuk Jawaban Latihan1) ∆ABC ≅ ∆DEF maka terdapat korespondensi A dengan D, B dengan E, dan C dengan F sebagai Sisi-sisi: AB ≅ DE; BC ≅ EF; dan AC ≅ DF Sudut-sudut: ∠A ≅ ∠D; ∠B ≅ ∠E; dan ∠C ≅ ∠F a) AC ≅ DF (benar); ∠B ≅ ∠E (benar); BC ≅ DE (salah,sekarang )BC ≅ EF ;∠C ≅ ∠F (benar)2.10 Geometri ( )b) AB ≅ ED benar, karena ED ≃ DE ; ∠A ≅ ∠D (benar); ∠C ≅ ∠F ( )(benar); AB ≅ EF salah, AB ≅ ED ( )c) AB ≅ DE (benar); BC ≅ FE benar, FE = EF ; ∠C ≅ ∠D (salah seharusnya ∠C ≅ ∠F)a2) Pasangan sisi : PR ≅ JK RS ≅ KL Pasangan sudut: PS ≅ JL ∠PRS ≅ ∠JKL ∠RSP ≅ ∠KLJ ∠SPR ≅ ∠LJKa3) ∆ABC ≅ ∆BCA, selain itu ∆ABC ≅ ∆BAC, ∆ABC ≅ ∆CAB, ∆ABC ≅ ∆CBA, ∆ABC ≅ ∆ACB, dan ∆ABC ≅ ∆ABC.a4) ∆ ABD ≅ ∆ CBE (penulisan bisa ditukar asal sama misalnya menjadi ∆ DBA ≅ ∆ EBC). Alasan: 1. ∠ABD ≅ ∠CBE (∠ ABD disebut juga ∠ CBE). 2. BD ≅ BE (diketahui, lihat gambar dengan tanda sama). 3. ∠BDA ≅ ∠BEC (diketahui). Jadi, ∆DBA ≅ ∆EBC (dengan postulat Su-Si-Su).5) ∆ ABC ≅ ∆ DEF terdapat korespondensi sesuai dengan urutan: 1. A ↔ D 2. B ↔ E 3. C ↔ F Bila ditulis BCA urutannya 2, 3, 1 bersesuaian dengan urutan 2, 3, 1 pada DEF, yaitu EFD. Jadi, ∆ BCA ≅ ∆ EFD. a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD benar. b) ∆ ABC urutannya 1, 3, 2 yang sesuai dengan ∆ DFE. Jadi, ∆ ACB ≅ ∆ DFE bukan dengan ∆ EFD.PEMA4207/MODUL 2 2.11c) ∆ CBA urutannya 3, 2, 1 yang sesuai dengan ∆ FED. Jadi, ∆ CBA ≅ ∆ FED bukan dengan ∆ FDE.d) ∆ CAB urutannya 3, 1, 2 yang sesuai dengan ∆ FDE. Jadi, ∆ CAB ≅ ∆ FDE benar.6) a) ∆ ADB dengan ∆ DAC, AD ≅ DA b) (1) ∆ ACB dengan ∆ ABC, ∠ BAC ≅ ∠ CAB, BC ≅ CB (2) ∆ ABE dengan ∆ ACD, ∠ EAB ≅ ∠ DAC c) ∆ ABD dengan ∆ CDB, BD ≅ DB7) a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ semua sisi yang berkorespondensi kongruen, korespondensinya PQR dengan XYZ. Jadi, ∆ PQR ≅ ∆ XYZ (alasan postulat Si-Si-Si). b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY dua pasang sudut dan satu pasang sisi kongruen, tetapi sudut-sudut tidak mengapit sisi tersebut (bukan Su-Si-Su, tetapi Su-Su-Si). Jadi, ∆ PQR tak dapat disimpulkan dengan postulat yang kita punya, yaitu Si-Si-Si, Si-Su- Si, Su-Si-Su. Tetapi bila sudah kita ketahui (bahasan bahwa jumlah ukuran sudut segitiga 180o maka Su-Su-Si dapat dijadikan teorema kongruensi segitiga). Kesimpulan ∆ PQR ≅ ∆ XYZ dengan menggunakan teorema Su-Su-Si. c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z semua sudut yang berkorespondensi kongruen. Tetapi Su-Su-Su bukan jaminan dua sudut segitiga kongruen.8) Bukti:Pernyataan Alasan1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui2. AB ≅ CB 2. Diketahui3. ∠ B ≅ ∠ B 3. Refleksi sudut kongruen dengan dirinya.4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD. 4. Postulat Su-Si-Su.2.12 Geometri9) Bukti: Alasan 1. Diketahui Pernyataan 2. Diketahui 3. Refleksi 1. AB ≅ CD 2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Postulat Si-Su-Si. 3. BD ≅ DB 4. ∆ ABD ≅ ∆ CDB10) Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AE 1. Diketahui 2. BC ≅ ED 2. Diketahui 3. AC ≅ AD 3. Diketahui 4. ABC ≅ AED 4. Postulat Si-Si-Si RANGKUMAN Dua segitiga kongruen jika terdapat korespondensi antara titik-titik sudut sehingga tiap pasang sisi dan sudut yang berkorespondensi kongruen. Ada tiga postulat kongruensi segitiga, yaitu postulat Si-Su-Si, postulat Su-Si-Su, dan postulat Si-Si-Si. Penggunaan postulat-postulat dengan struktur modus ponnens apakah kondisi yang diharapkan pada postulat itu sudah dipenuhi. Untuk melihat apakah kondisi itu sudah dipenuhi digunakan definisi, selanjutnya dapat digunakan kebenaran lain. TES FORMATIF 1 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Misal ∆ PQR ≅ ∆ XYZ maka penulisan yang benar adalah .... A. ∆ QPR ≅ ∆ ZXY B. ∆ XYZ ≅ ∆ QPR C. ∆ PRQ ≅ ∆ XZYPEMA4207/MODUL 2 2.13 D. ∆ XYZ ≅ ∆ RQP2) Terdapat korespondensi antara ∆ MNO dengan ∆ ABC. Dari korespondensi itu dapat disimpulkan .... A. MN berkorespondensi dengan AB B. MO berkorespondensi dengan BC C. ∠ ONM berkorespondensi dengan ∠BAC D. ∠ OMN berkorespondensi dengan ∠CBA3) Tergambar dua segitiga, sudut atau segmen yang ukurannya sama diberi tanda sama. Kedua segitiga ini kongruen, alasannya dengan postulat .... A. Si-Si-Si B. Si-Su-Si C. Su-Si-Su D. Su-Su-Su4) Diketahui dua segitiga ∆ ABC dan ∆ DEF. ∠A ≅ ∠F, AC ≅ FE , ∠C ≅ ∠E, maka .... A. ∆ ABC ≅ ∆ EFD B. ∆ DEF ≅ ∆ CBA C. ∆ DEF ≅ ∆ BCA D. ∆ ABC ≅ ∆ DEF5) Manakah yang kongruen .... A. Dua segitiga sama kaki yang luasnya sama B. Dua persegi panjang yang luasnya sama C. Dua persegi yang luasnya sama D. Dua segitiga yang luasnya sama6) LQ sumbu dari JN dapat disimpulkan JQ ≅ QN dengan alasan .... A. LQ memotong JN B. LQ memotong sama panjang dan tegak lurus JN C. LQ memotong tegak lurus JN D. LQ dan JN sama-sama garis2.14 Geometri7) Diketahui BD membagi dua sama panjang AC . Buktikan: AE ≅ EC Bukti: Alasan A. Pernyataan 1. Diketahui 1. BD membagi dua sama panjang 2. Definisi membagi AC . dua 2. AE ≅ EC B. Pernyataan Alasan 1. BD tegak lurus AC . 1. Diketahui 2. AE ≅ EC 2. Definisi C. Pernyataan Alasan 1. BD // AC . 1. Diketahui 2. AE ≅ EC 2. Definisi sejajar D. Pernyataan Alasan 1. ∆AEC sama sisi. 1. Diketahui 2. Definisi ∆ sama sisi 2. AE ≅ ECA8) Diketahui AB ≅ XY BC ≅ YZ AC ≅ XZ Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ. Bukti: Alasan A. Pernyataan 1. Diketahui 2. Diketahui 1. AB ≅ XY 3. Diketahui 2. BC ≅ YZ 4. Postulat Si-Su-Si 3. AC ≅ XZ 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ B. Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. DiketahuiPEMA4207/MODUL 2 2.152. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-SiC. Pernyataan Alasan1. AB ≅ XY 1. Diketahui2. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-SuD. Pernyataan Alasan1. AB ≅ XY 1. Diketahui2. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Su-Su9) Alasan penyimpulan ∆ ABD ≅ ∆ CBD adalah .... A. postulat Si-Si-Si B. postulat Su-Si-Su C. postulat Si-Su-Si D. postulat Su-Su-Si10) Yang menggunakan alasan postulat Si-Su-Si dari gambar di samping adalah ....a A. CD ≅ CB; DA ≅ BE, AC ≅ EC maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE B. ∠CBE ≅ ∠CDA; BC ≅ DC; BE ≅ DA maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE C. CD ≅ CB; CA ≅ CE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE D. ∠A ≅ ∠E; ∠CDA ≅ ∠CBE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE2.16 Geometri Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 2 2.17 Kegiatan Belajar 2 Alat Pembuktian KongruenPEMBUKTIAN: MENGGUNAKAN POSTULAT DAN DEFINISI Definisi garis bagi, pembagi segmen, sumbu, dan titik tengah dapatbersama-sama digunakan dengan postulat kongruensi untuk membuktikanbahwa dua segitiga kongruen. Untuk memahami bagaimana membuktikanbahwa dua segitiga kongruen sering membantu menganalisis situasi denganberpikir mundur.Masalah: Membuktikan bahwa dua segitiga kongruen.Contoh 2.6 AB ≅ AD .Diketahui: AC membagi ∠ BADBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ ADCAnalisis: Akan dibuktikan ∆ ABC ≅ ∆ ADC, ini dapat dilakukan dengan menggunakan Postulat Kongruensi Si-Si-Si, Si-Su-Si, atau Su-Si- Su, yang mana? Dari informasi yang diketahui bahwa AB ≅ AD . Jika dapat ditunjukkan bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2 dan AC ≅ AC , dapat digunakan Si-Su-Si. AC adalah garis bagi ∠ BAD, jadi ∠1 ≅ ∠2, juga segmen kongruen dengan dirinya. Jadi, ∆ ABC ≅ ∆ ADC dapat dibuktikan.Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AD 1. Diketahui 2. AC membagi ∠ BAD 2. Diketahui 3. ∠1 ≅ ∠2 3. AC sumbu BD. 4. AC ≅ AC 4. Segmen kongruen dirinya 5. ∆ ABC ≅ ∆ ADC 5. Postulat Kongruensi Si-Su-Si2.18 GeometriContoh 2.7Diketahui: AC pada sumbu BDBuktikan: ∆ ACB ≅ ∆ ACDAnalisis: Dapat dibuktikan bahwa ∆ ACB ≅ ∆ ACD dengan Postulat Kongruensi. Dicoba dengan postulat Kongruensi Si-Su-Si, Kita tahu bahwa AC ≅ AC . Karena AC sumbu BD , maka ∠ ACB ≅ ∠ ACD, dan BC ≅ CD . Dapat dibuktikan!Bukti: Pernyataan Alasan 1. AC membagi BD 1. Diketahui. 2. Definisi pembagi segmen. 2. BC ≅ CD 3. Diketahui. 3 AC ⊥ BD 4. AC sumbu BD. 4. ∠ ACB ≅ ∠ ACD 5. Refleksi. 5. AC ≅ AC 6. Postulat Si-Su-Si. 6. ∆ ACB ≅ ∆ ACDPembuktian Segmen dan Sudut Kongruen Kita sering membuktikan bahwa pasangan dari segmen atau sudutkongruen dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa pasangan segitigakongruen. Kemudian kita dapat menggunakan definisi segitiga kongruenuntuk menyimpulkan bahwa bagian dari segitiga yang berkorespondensikongruen. Kemudian gunakan CPCTC (Corresponding Parts of CongruentTriangle are Congruent-Bagian yang Berkorespondensi dari Segitiga yangKongruen adalah Kongruen-BBSKK).Contoh 2.8 AB ≅ AD , ∠ 1 ≅ ∠Diketahui: 2Buktikan: BE ≅ DEPEMA4207/MODUL 2 2.19Analisis: Dapat dibuktikan BE ≅ DE jika dapat ditemukan pasangan segitiga kongruen yang memuat segmen itu. Dengan postulat kongruensi Si-Su-Si, ∆ ABE kongruen ∆ ADE, karena diketahui ∠1 ≅ ∠2 , AB ≅ AD , dan AE ≅ AE . Dapat dibuktikan BE ≅ DE .Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AD 1. Diketahui. 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui. 3. AE ≅ AE 3. Refleksi. 4. ∆ ABE ≅ ∆ ADE 4 Postulat Si-Su-Si. 5. BE ≅ DE 5. BBSKK.Contoh 2.9Diketahui: AC dan BD saling membagi dua. ∠1≅∠2Buktikan: ∠ 3 ≅ ∠ 4Analisis: ∠ 3 dan ∠ 4 berturut-turut berada di ∆ AOD dan ∆ BOC dan pada ∆ ADC dan ∆ ABC. Dari informasi yang diketahui nampak dapat terbukti bahwa ∆ AOD kongruen ∆ COB, kemudian dapat disimpulkan bahwa ∠ 3 ≅ ∠ 4 dapat dibuktikan.Bukti: Pernyataan Alasan1. AC dan BD saling membagi 1. Diketahui2. AO ≅ CO, OB ≅ OD 2. Definisi pembagi segmen3. ∠1 ≅ ∠2 3. Diketahui4. ∆ AOD ≅ ∆ COB 4. Postulat Si-Su-Si5. ∠ 3 ≅ ∠ 4 5. BBSKKPembuktian: Segitiga-segitiga Overlap/Bertumpuk Pada pembuktian beberapa segitiga, bentuknya sering bertumpuk satusama lain sehingga menyulitkan, akan memudahkan bila bentuk itu uraikanuntuk menganalisis pembuktian, seperti yang ditampilkan contoh berikut.2.20 GeometriContoh 2.10 ∠ 1 ≅ ∠ 2, AC ≅ DFDiketahui: ∠3≅∠4 EF ≅ BCBuktikan:Analisis: Harus dipilih pasangan segitiga yang memuat EF dan BC . Coba ∆ EFD dan ∆ BCA, dengan postulat Su-Si-Su ternyata kongruen, dan dapat menyimpulkan bahwa EF ≅ BC .Contoh 2.11Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 6 ∠3≅∠4 AE ≅ CDBuktikan: ∠ ABE ≅ ∠ CBDAnalisis: Segitiga bertumpuk ∆ ABE dan ∆ CBD memuat dua pasang sudut yang kongruen, sisi yang diapitnya juga kongruen. Dengan Si-Su- Si dapat dibuktikan. Kadang-kadang kita perlumemberi tanda-tanda khusus (warna,dan sebagainya) untuk menegaskansegitiga yang bertumpuk.Contoh 2.12Diketahui: ∆ LJN adalah segitiga sama sisi dengan JL ≅ LN ∠1≅∠2Buktikan: LK ≅ LMPEMA4207/MODUL 2 2.21Analisis: Dapat dibuktikan LK ≅ LM jika segmen itu bagian berkorespondensi dari segitiga kongruen. Kita coba ∆ LKN dan ∆ LMJ. Kita tahu bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2, dan bahwa ∠ LJN kongruen dengan dirinya. Ya betul ternyata ∆ JLN sama kaki. Jadi, segitiga kongruen dengan Su-Si-Su. Kita dapat membuktikan.Contoh 2.13 JK ≅ NMDiketahui: ∠KJN ≅ ∠MNJBuktikan: KN ≅ MJAnalisis: KN dan MJ adalah bagian berkorespondensi pada ∆ LKN dan ∆ LMJ seperti Contoh 2.12. Tetapi informasi yang diketahui adalah bagian dari ∆ KJN dan ∆ MNJ. Karena JN kongruen dengan dirinya, sehingga dapat dibuktikan ∆ KJN kongruen ∆ MNJ dengan Si-Su-Si.Pembuktian: Rantai Kongruensi Menuliskan pembuktian tertentu, satu pasang segitiga harus dibuktikanterlebih dahulu untuk memberikan informasi yang diperlukan untukmembuktikan pasangan segitiga yang kongruen. Ikuti contoh berikut.Contoh 2.14Diketahui: AB ≅ CBBuktikan: ED ≅ EF ∠1≅∠2 ∠3≅∠4 AD ≅ CFAnalisis: AD ≅ CF dapat dibuktikan jika dapat dibuktikan ∆ AED ≅ ∆ CEF , tetapi tidak ada informasi yang cukup untuk membuktikan ini. Jika diketahui bahwa AE ≅ CE dapat dibuktikan segitiga ini kongruen dengan Si-Su-Si. Tetapi AE dan CE adalah bagian yang berkorespondensi dari ∆ABE dan ∆CBE dan dapat dibuktikan segitiga ini kongruen.2.22 GeometriBukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ CB 1. Diketahui. 2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 2. Diketahui. 3. BE ≅ BE 3. Refleksi. 4. ∆ ABE ≅ ∆ CBE 4. Postulat Si-Su-Si. 5. AE ≅ CE 5. ∆ ABE ≅ ∆ CBE. 6. ∠ 3 ≅ ∠ 4 6. Diketahui. 7. DE ≅ FE 7. Diketahui. 8. ∆ AED ≅ ∆ CEF 8. Postulat Si-Su-Si. 9. AD ≅ CF 9. ∆ AED ≅ ∆ CEF . LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Dua segitiga di samping kongruen, tuliskan korespon- densi antara titik sudut, sudut, dan sisi. Kemudian tuliskan segitiga yang kongruen!2) Tuliskan pasangan yang saling kongruen dari gambar di samping! ∆ STU = .... ∆ SUT = .... ∆ TSU = .... ∆ TUS = .... ∆ UST = .... ∆ UTS = ....APEMA4207/MODUL 2 2.233) Isilah korespondensi antartitik sudut berikut! A ↔ .... B ↔ .... C ↔ .... D ↔ .... Isilah pasangan yang saling kongruen! □ ABCD ≅ .... □ BADC ≅ .... □ CBAD ≅ .... □ CDAB ≅ .... □ BCDA ≅ .... □ DCBA ≅ ....A4) Konstruksi tiga segitiga yang kongruen dengan segitiga PQR di samping dengan menggunakan cara berikut: a) satu sudut dan dua sisi yang mengapitnya (∠ P, q, dan r). b) tiga sisinya (p, q, dan r). c) dua sudut dan satu sisi yang diapit sudut itu (∠ R, q, ∠ P).A5) Diketahui : ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB . Buktikan : ∆ CBE ≅ ∆ ABDA6) Diketahui: ∠ E ≅ ∠ N, S membagi EN , AE ≅ NY . Buktikan: ∆ EAS ≅ ∆ NYS2.24 Geometri7) Gantilah tanda “?” dengan pernyataan atau alasan yang sesuai. Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan. Buktikan: AC ≅ BP Bukti: 1. Alasan Pernyataan 2. Diketahui. 3. ? 1. ABCDEF segi enam beraturan 2. AF ≅ BC Segmen kongruen dengan 3. ? segmen itu sendiri (refleksif). ? 4. ∠ FAB ≅ ∠ ABC 4. ? BBSKK. 5. ∆ FAB ≅ ∆ CBA 5. 6. ? 6.a8) Diketahui: HF ⊥ BD, HG ⊥ AC HF ≅ HG Buktikan: AG ≅ DFa9) Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ AFDa10) Diketahui: EH ≅ BH AH ≅ DH AC ≅ DF ∠1≅∠2 Buktikan: EF ≅ BCPEMA4207/MODUL 2 2.25Petunjuk Jawaban Latihan1) Setelah diamati ternyata∠ P ≅ ∠ A, ∠ Q ≅ ∠ C, ∠ R ≅ ∠ B, dan PQ ≅ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BAKorespondensi titik sudut P ↔ A, Q ↔ C, R ↔ BKorespondensi sudut ∠ P ↔ ∠ A, ∠ Q ↔ ∠ C, ∠ R ↔ ∠ BKorespondensi sisi PQ ↔ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BAa Jadi, ∆PQR ≅ ∆ACB; ∆PRQ ≅ ∆ABC ∆QPR ≅ ∆CAB; ∆QRP ≅ ∆CBA∆RPQ ≅ ∆BAC; ∆RQP ≅ ∆BCAa2) Korespondensi antara titik sudut: S ↔ Y, T ↔ X, dan U ↔ Z Sehingga ∆ STU ≅ ∆ YXZ ∆ SUT ≅ ∆ YZX ∆ TSU ≅ ∆ XYZ ∆ TUS ≅ ∆ XZY ∆ UST ≅ ∆ ZYX ∆ UTS ≅ ∆ ZXYa3) Setelah diamati korespondensi antara titik sudut didapat: A ↔ H, B ↔ G, C ↔ F, D ↔ E Maka □ ABCD ≅ □ HGFE □ BADC ≅ □ GHEF □ CBAD ≅ □ FGHE □ CDAB ≅ □ FEHG □ BCDA ≅ □ GFEH □ DCBA ≅ □ EFGHa4) a) (1) Konstruksi sudut yang kongruen di ∠ P. (2) Pada salah satu kaki sudutP konstruksi segmen yang kongruen dengan q.(3) Pada kaki yang lain darisudut P konstruksi segmen2.26 Geometri yang kongruen dengan r. (4) Hubungkan ujung segmen. b) (1) Buat segmen r = PQ (2) Buat lingkaran dengan jari-jari p dengan pusat Q. (3) Buat lingkaran dengan jari-jari q dengan pusat P. (4) Langkah (2) berpotongan dengan langkah (3) di R. c) (1) Konstruksi q = PR . (2) Konstruksi ∠ R dengan kaki PR . (3) Konstruksi ∠ P dengan kaki PQ . (4) (2) dan (3) berpotongan di Q.5) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui 2. AB ≅ CB 2. Diketahui 3. ∠ C ≅ ∠ A 3. Diketahui 4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD 4. Definisi Su-Si-Su6) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ES ≅ NS 1. Definisi S membagi EN . 2. ∠ E ≅ ∠ N 2. Diketahui. 3. EA ≅ NY 3. Diketahui. 4. ∆ EAS ≅ ∆ NYS 4. Si-Su-Si.PEMA4207/MODUL 2 2.277) Pada kolom pernyataan Pada kolom alasan 2. Definisi segi enam beraturan.3. AB ≅ BA 3. Definisi segi enam beraturan.6. AC ≅ BF 5. Postulat Si-Su-Si.8) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ∠ AHG ≅ ∠ DHF 1. Sudut yang sama. 2. HG ≅ HF 2. Diketahui. 3. ∠ HGA ≅ ∠ HFD 3. HF ⊥ BD, HG ⊥ AC . 4. ∆ AHG ≅ ∆ DHF 4. Definisi Su-Si-Su. 5. AG ≅ DF 5. BBSKK.9) Analisis: Untuk membuktikan ∆ ABD ≅ ∆ AFD harus ditemukan BD ≅ FD untuk menunjukkan harus ditunjukkan ∆ BCD ≅ ∆ FED (dengan Si-Su-Si).Bukti:Pernyataan Alasan1. BC ≅ FE 1. Definisi segi enam beraturan.2. ∠ BCD ≅ ∠ FED 2. Definisi segi enam beraturan.3. CD ≅ ED 3. Definisi segi enam beraturan.4. ∆ BCD ≅ ∆ FED 4. Si-Su-Si.5. AB ≅ AF 5. Definisi segi enam beraturan.6. BD ≅ FD 6. BBSKK (dari 4).7. DA ≅ DA 7. Segmen kongruen dengan dirinya sendiri (refleksi).8. ∆ ABD ≅ ∆ AFD 8. Si-Si-Si.10) Analisis: Pertama-tama buktikan bahwa ∆ AHB ≅ ∆ DHE dengan Su-Si-Su didapat ∠ 4 ≅ ∠ 3, kemudian diketahui bahwa ∠ 4 ≅ ∠ 1 dan AC ≅ DF maka ∆ ACB ≅ ∆ DEF dapatlah dibuktikan EF ≅ BC .2.28 Geometri Bukti: Pernyataan Alasan1. AH ≅ DH 1. Diketahui.2. ∠ AHB ≅ ∠ DHE 2. Sudut yang sama.3. HB ≅ HE 3. Diketahui.4. ∆ AHB ≅ ∆ DHE 4. Su-Si-Su.5. ∠ 4 ≅ ∠ 3 5. BBSKK.6. AC ≅ DF 6. Diketahui.7. ∠ 2 ≅ ∠ 1 7. Diketahui.8. ∆ ABC ≅ ∆ DEF 8. Si-Si-Si.9. EF ≅ BC 9. BBSKK. RANGKUMAN Kongruensi antara dua segitiga adalah korespondensi antara titik- titik sudut sehingga sudut-sudut yang berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen. Terdapat tiga postulat kongruensi, yaitu postulat Si-Su-Si, Su-Si-Su, dan postulat Si-Si-Si, dengan postulat ini kita tidak perlu mengkorespondensikan tiga sudut dan tiga sisi, tetapi cukup tiga saja, yaitu sisi-sudut-sisi (Si-Su-Si), sudut-sisi-sudut (Su-Si-Su), dan sisi-sisi- sisi (Si-Si-Si) untuk memeriksa kongruensi segitiga. TES FORMATIF 2 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) ∆ ABC ≅ ∆ PQR atau .... A. ∆ BAC ≅ ∆ RQP B. ∆ CBA ≅ ∆ RQP C. ∆ BCA ≅ ∆ RPQ D. ∆ ABC ≅ ∆ RPQPEMA4207/MODUL 2 2.292) Diketahui ∆ PQR ≅ ∆ UST, ∠ P ≅ ∠ U, UT ≅ PR, PQ ≅ US . Dapat disimpulkan ∆ PQR ≅ ∆ UST dengan .... A. postulat Su-Si-Su B. postulat Si-Su-Si C. postulat Si-Si-Si D. postulat Su-Si-Si3) Manakah yang benar? A. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Su-Si-Su B. ∆ BAC ≅ ∆ DAC dengan postulat Si-Si-Si C. ∆ ADC ≅ ∆ ABC dengan postulat Su-Si-Su D. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Si-Si-Si4) ∆ ABC dengan u ∠ A = 15o, AB = 12, BC = 10 ∆ PQR dengan u ∠ P = 15o, PQ = 12, QR = 10 A. ∆ ABC ≅ ∆ PQR B. ∆ ABC ≅ ∆ PQR C. ∆ ABC belum tentu kongruen ∆ PQR D. tidak ada kesimpulan5) Diketahui: DB membagi ∠ EDF Konklusi (kesimpulan) yang benar adalah .... A. DE ≅ DF B. ∠ DEB ≅ ∠ DFE C. ∠ EDB ≅ ∠ FDB D. EB ≅ FB2.30 Geometri6) Diketahui: XM ⊥ YZ YM ≅ MZBuktikan ∆ XYM ≅ ∆ XZM. Alasan A. Pernyataan 1. Segmen kongruen dirinya 2. Diketahui 1. XM ≅ XM 3. XM ⊥ YZ 2. XM ⊥ YZ 4. Definisi sudut kongruen 3. u ∠ XMY = 90o 5. Diketahui 6. Postulat Si-Su-Si u ∠ XMZ = 90o 4. ∠ XMY ≅ ∠ XMZ 5. YM ≅ MZ 6. ∆ XYM ≅ ∆ XZMB. Pernyataan Alasan 1. Segmen kongruen dirinya 1. XM ≅ XM 2. Diketahui 2. YM ≅ ZM 3. Diketahui 3. XY ≅ XZ 4. Postulat Si-Si-Si 4. ∆ XYM ≅ ∆ XZMC. Pernyataan Alasan1. XM ≅ XM Segmen kongruen dirinya2. ∠ YXM ≅ ∠ ZXM Definisi XM ⊥ YZ3. ∠ YMX ≅ ∠ ZMX XM membagi ∠ XYZ4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Postulat Su-Su-SiD. Pernyataan Alasan 1. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Diketahui 2. XM ≅ YZ Diketahui 3. XM ⊥ YZ Diketahui 4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Postulat Si-Su-SiPEMA4207/MODUL 2 2.317) Diketahui: XO sumbu segmen MP yang dapat disimpulkan dari yang diketahui …. A. ∆ XMP kongruen B. ∆ XMP segitiga sama sisi C. ∆ XMP segitiga sama kaki D. XM ≅ MP a8) Diketahui: ABCDEF segi lima beraturan. AG garis bagi EAB dan merupakan sumbu DC . Kesimpulan yang salah adalah .... A. ∆ BCF ≅ ∆ EDF B. BD ≅ EC C. EF ≅ FC D. AF ⊥ DC a9) Diketahui: FE ≅ FD , ∠ E ≅ ∠ D Buktikan: EY ≅ DR Bukti:a Pernyataan Alasan 1. ∠ EFY ≅ ∠ DFR 1. Sudut yang sama 2. Diketahui 2. EF ≅ DF 3. ∠ E ≅ ∠ D 3. Diketahui 4. ∆ EFY ≅ ∆ DFR 4. ..... 5. BBSKK 5. EY ≅ DRAlasan nomor 4 diisi dengan ....A. Si-Si-SiB. Su-Si-SuC. Si-Su-SiD. BBSKK2.32 Geometri10) Diketahui: AB ≅ AC Buktikan: ∠ B ≅ ∠ C Bukti: Perhatikan ∆ CAB dan ∆ BAC. 1. AB ≅ AC (diketahui simetris) 2. ∠ A ≅ ∠ A (sudut kongruen dengan dirinya) 3. .... ≅ .... (diketahui) 4. ∆ CAB dan ∆ BAC (Si-Su-Si) 5. ∠ B ≅ ∠ C (..................) Pengisi titik-titik berturut-turut adalah .... A. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Si-Si B. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Su-Si C. AB ≅ AC dan diketahui D. AB ≅ AC dan BBSKK Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 2 2.33 Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 11) C. Bisa diperiksa dengan gambar.2) A. Periksa dengan gambar.3) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.4) C. Periksa dengan gambar.5) C. Konsep kongruensi 2 bangun datar.6) B. Konsep kongruensi 2 segmen garis.7) A. Konsep pembagian garis.8) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.9) B. ∠ 1 ≅ ∠ 2, ∠ 3 ≅ ∠ 4, BD ≅ BD .10) C. Konsep kongruensi 2 segitiga.Tes Formatif 21) B. Periksa korespondensi titik.2) B. Aturan penulisan satu sudut dan dua sisi.3) C. Sudut-sisi-sudut.4) C. Bisa dicoba dengan gambar.5) C. Konsep garis bagi membagi sudut menjadi 2 sama besar.6) A. Bukan 2 segitiga kongruen.7) C. Konsep sumbu garis.8) A. Kongruensi 2 segitiga.9) B. Sudut-sisi-sudut.

10) D. Ada di dalam segitiga yang kongruen.