Tujuan Pembelajaran: - Peserta didik dapat Menganalisis kaidah Pencacahan dan notasi faktorial (!) Show Kaidah pencacahan atau dalam bahasa inggris disebut sebagai (Counting Rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu.
Adapun beberapa metode pada kaidah pencacahan antara lain yaitu: metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode permutasi serta metode kombinasi. Berikut penjelasannya lebih lanjut. Sebagai contoh ada suatu kasus di bawah ini: Gilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang! Penyelesaian: Ada 3 cara untuk menentukan berbagai kemungkinan Gilang menggunakan kaos dan celana panjang.
c. Himpunan pasangan terurut {(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}
Dari ketiga metode atau cara di atas, bisa kita simpulkan bahwa banyaknya cara Gilang memakai kaos dan juga celana panjang ada sebanyak 6 cara = 3 × 2 = banyak cara menggunakan kaos × banyak cara menggunakan celana Apabila sebuah kejadian bisa berlangsung dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 bisa berlangsung dalam q1 cara, tahap 2 bisa berlangsung dalam q2 cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n bisa berlangunsg dalam qncara maka kejadian tersebut bisa terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3 × … × qn dengan cara berbeda. Sebagai contoh: Berapa banyaknya cara atau metode untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dari total 8 orang siswa? Penyelesaian: Misal ada 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara yang kita visualkan seperti di bawah ini: Ketua Sekretaris Bendahara Dari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi ketua. Sebab 1 orang telah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak untuk dipilih menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris. Sebab 1 orang telah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi bendahara. Ilustrasi seperti tabel di bawah ini: Ketua Sekretaris Bendahara Banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336 Sebagai contoh ada sebuah kejadian yang bisa terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) di mana dalam cara pertama ada p1kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yang berbeda. Serta demikian selanjutnya hingga cara yang ke – n ada pnkemungkinan hasil yang berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dengan cara berbeda. Sebagai contoh: Putra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara laing: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up). Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah? Penyelesaian: Alat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil. Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan. Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.
Contohnya n ∈ himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca: n faktorial) diartikan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan asli secara berurutan dari n sampai 1. Maka kita tulis: n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1. Diartikan sebagai 1! = 1 dan 0! = 1. Sebagai contoh: 1. Tentukan nilai dari 5!. Jawab: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 2. Tentukan nilai dari 2! + 3!. Jawab: 2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12
Kerjakanlah soal latihan berikut ini! 1. Budi mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merk yang berbeda, dan 4 baju yang berlainan coraknya, serta 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara berpakaian Budi dengan penampilan yang berbeda adalah …. 2. Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah …. 3. Ana mempunyai baju merah,hijau, biru, dan ungu. Ana juga memiliki rok hitam, putih, dan coklat. Berapa banyak pasangan baju dan rok yang dapat dipakai Ana? 4. Terdapat angka 3, 4, 5, 6, 7yang hendak disusun menjadi suatu bilangan dengan tiga digit. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun bila angka boleh berulang? 5. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 akan dibentuk menjadi suatu bilangan yang terdiri dari empat angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika: 5a. Angka boleh berulang?5b. Angka tidak boleh berulang? 6. Terdapat angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan disusun menjadi bilangan genap yang terdiri dari empat digit dengan angka-angka yang tidak boleh berulang. Tentukan banyak bilangan genap yang dapat terbentuk dari angka-angka tersebut! 7. Tentukan Nilai dari : 6! 8. Nilai dari 3!.4! =...
9. =.. 10. (5! + 3!) - (4!.3!)=..... Page 2Setelah sebelumnya kita membahas mengenai rumus peluang, kini saatnya kita bahas mengenai permutasi dan kombinasi yang ada di dalam materi peluang. Dalam materi permutasi ini merupakan salah satu materi peluang yang membahas mengenai penyusunan k objek dari n objek yang tersedia dengan cara memperhatikan urutannya. Sementara kombinasi berfungsi untuk menentukan penyusunan k objek dari n objek yang tersedia tanpa memperhatikan letak urutannya. Yuk langsung aja simak baik-baik ulasan berikut ini. PermutasiMateri pertama yang akan kita bahas pada artikel ini adalah permutasi. Permutasi mempelajari mengenai menyusun k objek dari n objek dengan cara memperhatikan urutan. Ada tiga contoh permutasi yang sering timbul antara lain: permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut ini. Macam dan Formula atau Rumus Permutasi1. Permutasi dari n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemen Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n! Sebagai contoh: Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu? Jawab: Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara. 2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dari n elemen dengan r ≤ n Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah: Catatan: Sebagai contoh: Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia yaitu… Jawab: Banyak siswa, n = 8 Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3 Sehingga: 3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama Keterangan: n = menunjukan banyaknya elemen seluruhnya k1 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama k2 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama … kt = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang sama t = 1,2,3,… Sebagai cottoh: Banyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yaitu… Jawab: Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf adalah (n) = 10 k1 = huruf B = 2 k2 = huruf A = 3 k3 = huruf S = 4 k4 = huruf I = 1 4. Permutasi Siklis Permutasi siklis merupakan suatu permutasi melingkar (urutan melingkar). nPsiklis = (n-1)! Sebagai contoh: Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu… Jawab: Banyak orang (n) = 5, sehingga: 5Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara. 5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur Pn = nk Contoh: Banyak susunan dari 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yaitu… Jawab:
P6 = 63 = 216 susunan. KombinasiSepeti yang telah dijelaskan di atas, kombinasi merupakan suatu susunan yang tidak memperhatikan urutan. Sebagai contoh permasalahan yang memakai kombinasi merupakan mengetahui banyaknya cara untuk mengambil 3 bola dari 5 bola merah serta 2 bola hijau yang tersedia dalam suatu kotak. Di dalam kotak tersebut berisi beberapa warna bola yang berbeda yaitu bola merah, merah, dan kuning. Cara pengambilan lain yang mungkin merupakan merah, kuning merah, dan yang lainnya. Sebagai contoh bola warna merah itu kita beri nomor satu hingga dengan lima serta bola kuning juga diberi nomor satu sampai dua. Cara pengambilan bola pertama yang berwarna merah dengan nomor dua akan sama dengan terambilnya bola yang berwarna merah dengan nomor satu. Begitu juga dengan bola dengan nomor dan juga warna yang berbeda. Masih bingung? Tenang, coba perhatikan tabel di bawah ini. Mengetahui jumlah banyaknya cara untuk menyusun k objek dari n objek yang tersedia maka kita memerlukan banyak waktu dan tentu tidak efektif. Di dalam ilmu peluang, terdapat suatu rumus yang bisa kita pakai untuk menyusun k objek dari n objek yang tersedia. Rumus tersebut merupakan rumus dalam kombinasi. Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia akan dinyatakan dalam rumus kombinasi seperti di bawah ini: Perbedaan Permasalah Permutasi dan KombinasiSetelah mengetahui apa itu permutasi dan kombinasi, hal yang tak kalah penting untuk dikethui adalah membedakan permasalahan mana yang termasuk ke dalam permutasi ataupun kombinasi. Permasalahan yang sering muncul biasanya berwujud soal cerita. Serta kita dituntut supaya dapat membedakan masalah itu termasuk dalam permutasi atau kombinasi. Sehingga kita tidak akan mengalami kesalahan dalam pemakian rumus untuk menyelesaikan masalah tersebut. Perhatikan dua contoh kasus di bawah ini: Kasus pertama: permasalahan permutasi Susunan panitia yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris, serta bendahara akan dibentuk untuk mensukseskan suatu acara. Susunan panitia itu kemudian akan memilih dari 10 orang terpilih berdasarkan kriteria yang sudah ditetapkan. Jadi, berapakan banyaknya cara untuk menyusun panitia hingga bisa terbentuk? Kasus ke dua: permasalahan kombinasi Enam buku akan dipilih dari lima buku Matematika, tiga buku Fisika, serta empat buku Kimia untuk akan disumbangkan ke sekolah untuk para anak jalanan. Hitunglah berapa banyaknya cara yang bisa dilakukan untuk memilih keenam buku itu? Dalam kasus pertama, susunan urutan akan menjadi satu sisi yang perlu untuk diperhatikan. Kedudukan dari ketua untuk orang pertama tentu akan berbeda dengan kedudukan ketua yang ditempati oleh orang ke tiga. Begitu pula untuk kududukan di posisi lainnya. Sementara di contoh kasus yang kedua, pemilihan buku pada urutan pertama dan kedua contohnya diambil buku Matematika pertama serta buku Matematika ke dua, dimana keduanya adalah buku Matematika. Sehingga, urutan pada kasus kedua tidak dipehatikan. Intinya, rumus permutasi dipakai untuk suatu kasus atau permasalahan yang memperhatikan urutan. Sementara untuk kombinasi dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang tidak memperhatikan urutan. Contoh Soal dan PembahasanSoal 1. Terdapat 3 orang anak yang akan duduk bersama di satu bangku yang memanjang. Ada berapakah cara mereka untuk duduk bersama pada bangku tersebut? Jawab: Ketiga anak akan duduk bersama, maka kita akan menggunakan rumus permutasi P(3,3) P(3,3) = 3 = 2x2x1 = 6 Sehingga ketiga anak tersebut dapat duduk bersama dengan menggunakan 6 cara. Soal 2. Ada berapakan cara untuk menyusun dua huruf dari satu kata “HIDUP”? Jawab: Cara untuk menyusun 2 huruf dari 5 huruf, maka kita juga akan memakai rumus permutasi P(5,2) P(5,2) = (5!)/(5-2) =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20 Sehingga cara menyusun dua huruf dari satu kata HIDUP ada sebanyak 20 cara. Soal 3. Dalam suatu kelas terdiri dari 7 murid perempuan dan juga 3 murid laki-laki. Dari kelas itu kemudian akan dipilih 3 orang murid secara acak. Maka peluang bahwa yang terpilih ketiga-tiganya perempuan yaitu … A. 2/91 B. 1/12 C. 1/3 D. 1/5 E. 3/5 Jawab: Banyaknya cara untuk memilih 3 murid dari 10 murid secara acak (contohnya dengan variabel n): Dalam permasalahan ini, urutan tidak menjadi hal yang perlu diperhatikan, sehingga rumus yang digunakan adalah kombinasi. Banyaknya cara untuk memilih 3 murid dari 10 murid secara acak (misalkan dengan variabel n): Banyaknya cara untuk memilih 3 murid perempuan dari 7 murid perempuan (contohnya dengan variabel k): Peluang bahwa yang terpilih ketiga-tiganya perempuan adalah: Jawabannya: A Demikianlah ulasan singkat mengenai Permutasi dan Kombinasi yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Permutasi dan Kombinasi dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian. |
Ada berapakah cara untuk menyusun 2 huruf 1 kata hitam
Pos Terkait
Copyright © 2024 adaberapa Inc.
