| Jakarta - Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang terdiri atas dua variabel. Nah, bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel ini ditulis dengan lambang x dan y. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel. Show Berikut ini adalah bentuk umum penulisan pertidaksamaan linear dua variabel: ax + by ≤ c;
Keterangan: a dan b adalah koefisien.
Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua VariabelDalam e-Modul Matematika Program Linear Dua Variabel yang disusun oleh Yoga Noviyanto, S.Pd., himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah yang dibatasi oleh garis pada sistem koordinat kartesius. Daerah tersebut dinamakan Daerah Penyelesaian (DP) PtLDV dan dapat dicari dengan cara sebagai berikut: 1. Metode Uji Titik Untuk memahami metode ini, perhatikan contoh di bawah ini. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah ax + by ≤ c. a. Gambarlah grafik ax + by = c b. Jika tanda ketidaksamaan berupa ≤ atau ≥, garis pembatas digambar penuh. Jika tanda ketidaksamaan berupa < atau >, garis pembatas digambar putus-putus c. Uji titik. Ambil sembarang titik, misalkan (x1, y1) dengan (x2, y2) di luar garis ax + by = c, d. Masukkan nilai titik (x1, y1) atau (x2, y2) tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by ≤ c e. Ada dua kemungkinan, yaitu jika hasil ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai benar, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (x1,y1) dengan batas garis ax + by = c. Namun, jika ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai salah, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (x1, y1) dengan batas garis ax + by = c. 2. Memperhatikan Tanda Ketidaksamaan Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dapat ditentukan di kanan atau di kiri garis pembatas dengan cara memperhatikan tanda ketidaksamaan. Berikut ini langkah-langkahnya. a. Pastikan koefisien x dan pertidaksamaan linear dua variabel tersebut positif. Jika tidak positif, kalikan pertidaksamaan dengan -1. Ingat, jika pertidaksamaan dikali -1, tanda ketidaksamaan berubah. b. Jika koefisien x dari PtLDV sudah positif. Perhatikan tanda ketidaksamaannya. - Jika tanda ketidaksamaan <, daerah penyelesaian berada di kiri garis pembatas. - Jika tanda ketidaksamaan ≤, daerah penyelesaian ada di kiri dan pada garis pembatas. - Jika tanda ketidaksamaan >, daerah penyelesaian ada di kanan garis pembatas. - Jika tanda ketidaksamaan ≥, daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis pembatas.
Contoh: 2x + 5y ≥ 7 Jawaban: Daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis 2x + 5y = 7. -3x + 8y ≥ 15 Jawaban: = -3x + 8y ≥ 15 dikali -1 agak koefisien x menjadi positif = 3x - 8y ≤ -15 = Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis -3x + 8y = 15
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel atau SPtLDV adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Langkah sederhana untuk menyelesaikan SPtLDV, yaitu a. Cari titik x saat y = 0, begitu juga sebaliknya Contoh: 4x + 8y ≥ 16 Jawaban: 1. Mencari nilai x 2. Mencari nilai y 3. Gambarlah grafik dengan titik x = 4 dan y = 2 atau (4, 2). 4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan
Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua VariabelUntuk mengasah kemampuanmu dalam memahami pertidaksamaan linear dua variabel, coba kerjakan soal di bawah ini, yuk! 1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel ini 5x + 6y > 30 Jawaban: 1. Mencari nilai x 2. Mencari nilai y 3. Gambarlah grafik dengan titik x = 6 dan y = 5 atau (6, 5) 4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan
2. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah -4x + 2y ≤ 8. Tentukan daerah penyelesaiannya. Jawaban: 3. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah 8x + 4y ≥ 40. Tentukan daerah penyelesaiannya. Jawaban: 4. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ...
(0,6) dan (7,0) 6x + 7y = 6.7 Kemudian, 3. x ≥ 0 Jadi sistem pertidaksamaannya 6x + 7y ≤ 42, 4x + 7y ≥ 36, x ≥ 0, y ≥ 0
2x + 3y ≤ 12
Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"
 (pal/pal)
28 Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1 Artinya, metode pembulatan ke atas atau ke bawah juga tidak memberikan jawaban optimum terhadap masalah program linear tersebut. Ø Dalam kertas berpetak, di dalam daerah penyelesaian cermati titik-titik yang dekat dengan titik P 2 8 11 10 10 11 , . Tetapi titik yang kita inginkan, yaitu x, y harus untuk x dan y merupakan bilangan bulat. Sebagai petunjuk buat kamu, nilai optimum fungsi sasaran adalah Rp51.500.000,00. Ø Untuk kesimpulan, dari hasil titik optimum yang kamu peroleh, intrepetasikan nilai yang kamu peroleh. Masalah 1.5 mengingatkan kita bahwa tidak selamanya penentuan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik. Terdapat beberapa kasus yang memerlukan ketelitian yang tinggi dalam menyelesaikan masalah program linear. Dari beberapa masalah yang telah dibahas di atas, masalah program linear memiliki nilai optimum maksimum atau minimum terkait dengan eksistensi daerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang akan kita selidiki, yaitu: 1. tidak memiliki daerah penyelesaian 2. memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum 3. memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran memiliki nilai maksimum dan minimum. 1. Tidak memiliki daerah penyelesaianMari kita cermati, graik berikut ini. Diberikan sistem: ax by c a b px qy t p q + ≤ ≠ ≠ + ≥ ≠ ≠ ; , ; , Untuk setiap a, b, c, p, q dan t ∈R Ø Selidiki hubungan antar koeisien variabel x dan y serta konstanta c dan t pada sistem tersebut, hingga kamu menemukan syarat bahwa suatu sistem pertidaksamaan linear tidak memiliki daerah penyelesaian. x y -10 -10 10 10 -5 5 5 5 Gambar 1.8 l px qy t 2 : + ≥ l ax by c 1 : + ≤ Di unduh dari : Bukupaket.com 29 Matematika 2. Memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum. Graik berikut ini, mendeskripsikan bahwa walaupun kendala suatu program linear memiliki daerah penyelesaian, ternyata belum tentu memiliki nilai fungsi sasaran. Mari kita cermati. Ø Dari Gambar 1.9, tentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan graik daerah penyelesaian seperti pada gambar. Selanjutnya, dengan sistem pertidaksamaan yang telah kamu temukan, misalnya diketahui fungsi sasaran; a. Maksimumkan: Z mx ny m n R = + ∈ + ; , b. Minimumkan: Z mx ny m n R = + ∈ + ; , Ø Dengan demikian, tentu kamu dapat menemukan kondisi suatu program linear yang memiliki daerah penyelesaian tetapi fungsi sasarannya hanya memiliki nilai maksimum dan tidak memiliki nilai minimum.3. Memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran memiliki nilaimaksimum dan minimum. Pertidaksamaan: 2 3 12 3 2 12 4 x y x y x y − + ≥ + − ≤ ≥ ≤ ≤ merupakan kendala yang bersesuaian dengan graik daerah penyelesaian pada Gambar 1.10 di samping. Ø Misalnya, diberikan fungsi sasaran berikut ini: a Maksimumkan: Z = 3x + 2y b Minimumkan: Z = 3x + 2y. x y 10 -5 5 5 10 -5 -10 Gambar 1.9 x y -10 -10 10 10 -5 5 5 5 Gambar 1.10 Di unduh dari : Bukupaket.com 30 Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1 Dengan teliti, coba kamu tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi sasaran tersebut. Bandingkan hasil yang kamu temukan dengan temanmu. Latihan Diketahui sistem pertidaksamaan linear suatu masalah program linear. ax by c a b px qy t p q x y + ≥ ≤ ≠ ≠ + ≥ ≤ ≠ ≠ ≥ ≥ , ; , , ; , 1 2 a, b, c, p, q dan t merupakan bilangan real, dan c t. Dengan memperhatikan hubungan koeisien variabel x dan y pada kendala 1 dan 2, selidiki syarat agar sistem pertidaksamaan linear tersebut: i tidak memiliki daerah penyelesaian; ii memiliki daerah penyelesaian iii memiliki daerah penyelesaian berupa suatu garis atau segmen garis iv memiliki daerah penyelesaian hanya satu titik. Uji Kompetensi 1.2 1. Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 mesin untuk perluasan pabriknya. Harga mesin baru Rp15.000.000,00 per unit. Selain itu dapat juga dibeli mesin bekas dengan umur dua tahun, tiga tahun, dan empat tahun yang harganya diukur dari harga baru akan susut Rp3.000.000,00 per tahunnya. Keempat jenis mesin di atas, yaitu baru, umur dua tahun, umur tiga tahun, umur empat tahun mempunyai ukuran yang berbeda-beda, berturut-turut memerlukan tempat 3 meter persegi, 4 meter persegi, 5 meter persegi, dan 6 meter persegi per unitnya. Sedangkan ongkos perawatannya berturut-turut 0, Rp1.000.000,00, Rp2.000.000,00, dan Rp4.000.000,00 per tahunnya. Bila tempat yang tersedia untuk semua mesin yang dibeli tersebut hanya 35 meter persegi dan ongkos Di unduh dari : Bukupaket.com 31 Matematika perawatan total yang disediakan hanya Rp7.000.000,00 per tahun, bentuk model matematika masalah program linear perusahaan tersebut. 2. Alkohol dapat dihasilkan dari 3 macam buah-buahan, A, P dan V yang dapat diolah dengan 2 macam proses, misalnya A 1 : buah A diolah menurut cara -1, dan A 2 : buah A diolah dengan cara-2, dan seterusnya. Berturut-turut A 1 , A 2 , P 1 , P 2 , V 1 , V 2 dapat menghasilkan alkohol sebanyak 3; 2,5; 3,5; 4; 5; dan 4,5 dari buah sebelumnya. Kapasitas mesin adalah 1 ton buah-buahan per hari dan selalu dipenuhi. Pemborong yang memasok buah A hanya mau melayani jika paling sedikit 600 kilogram per hari. Sebaliknya buah P dan V masing-masing hanya dapat diperoleh paling banyak 450 kilogram per hari. Buatlah model matematika masalah di atas 3. Untuk melayani konferensi selama 3 hari harus disediakan serbet makanan. Untuk hari ke-1, -2, -3 berturut-turut diperlukan 50, 80, 70 helai serbet makanan. Harga beli yang baru Rp 1.200 sehelai, ongkos mencucikan kilat satu malam selesai Rp 800 per helai, cucian biasa satu hari satu malam selesai Rp 200 per helai. Untuk meminimumkan biaya pengadaan serbet, berapa helai serbet yang harus dibeli, berapa helai serbet bekas hari ke-1 harus dicuci kilat untuk hari ke- 2 dan berapa helai serbet bekas hari ke-2 harus dicuci kilat untuk hari ke-3? Buatlah model matematika masalah di atas 4. Sebuah peternakan unggas mempunyai kandang-kandang untuk 600 ekor yang terdiri dari ayam A, itik I, dan mentok M. Kapasitas maksimum kandang selalu dipenuhi. Pemilik menginginkan banyak itik tidak melebihi 400 ekor, demikian pula mentok paling banyak 300 ekor. Ongkos pemeliharaan sampai laku terjual untuk A, I, M berturut-turut 3.500, 2.500, dan 6.000 rupiah per ekor. Harga jual A, I, M, berturut-turut adalah 7.000, 5.500 dan 10.500 rupiah per ekornya. Rumuskan model matematika program beternak yang memaksimumkan keuntungan jika keuntungan adalah selisih harga jual dari ongkos pemeliharaan. Dalam masalah di atas dianggap tidak ada ongkos pembelian. Di unduh dari : Bukupaket.com 32 Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1 5. Perhatikan gambar di bawah ini. 10 y x -10 10 -10 5 -5 5 -5 J K A B C G E F I H Tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi jika setiap label daerah merupakan daerah penyelesaian. 6. Tentukanlah suatu sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian penyelesaian berikut ini. a berbentuk segitiga sama sisi di kuadran pertama b berbentuk trapesium di kuadran kedua c berbentuk jajaran genjang di kuadran keempat 7. Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program linear berikut ini. a x y x y x y x − ≤ − ≤ − + ≤ ≤ 4 2 2 3 6 10 ; ; ; b x y x y x y x y x y + ≤ + ≤ − ≥ + ≤ − ≤ 4 30 5 6 50 5 ; ; ; ; -5 5 c x y x y x y x y x y + ≤ + ≤ − ≥ + ≤ − ≤ 4 30 5 6 50 5 ; ; ; ; -5 5 8. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. UMPTN Tahun 2000 Rayon A. Di unduh dari : Bukupaket.com 33 Matematika 9. Seorang agen perusahaan alat elektronik rumah tangga menjual kulkas ke suatu pusat perbelanjaan. Pada bulan Juli, 25 unit kulkas terjual. Untuk tiga bulan berikutnya, setiap agen membeli 65 kulkas per bulan dari pabrik, dan mampu menjual hingga 100 unit per bulan dengan rincian harga sebagai berikut: Kulkas Harga Beli Harga Jual Agustus 60 90 September 65 110 Oktober 68 105 Agen menyimpan 45 unit kulkas tetapi harus membayar 7unitbulan dan akan dijual pada bulan berikutnya. Tentukan nilai optimum pembelian, penjualan dan biaya penyimpanan kulkas tersebut. 10. Perhatikan masalah program linear berikut ini: a Tentukan nilai minimum dari 3x + 4y dengan kendala: x y x y x y ≥ ≥ + ≤ + ≤ 1 2 6 2 3 15 ; ; , dan b Tentukan interval nilai Zx, y = y – 2x + 2 dengan kendala: x y x y x y ≥ ≥ + ≤ + ≤ 0 2 5 10 4 3 12 ; ; , dan 11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f x y x y , = − − 2 4 bernilai optimum maksimum atau minimum jika daerah asal dibatasi sebagai berikut − ≤ ≤ − ≤ ≤ 1 1 1 1 x y ; . Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal. Di unduh dari : Bukupaket.com 34 Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1 Projek Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat. Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melalukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua. Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu istirahat yang peroleh setiap hari minggu. Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu. Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu dan gurumu dapat memahami dengan jelas.D. PENUTUPBeberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep dan sifat-sifat program linear. 1. Masalah dalam kehidupan sehari-hari menjadi model suatu program linear. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear. 2. Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah real yang dikaji. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan mampu menalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika. 3. Dua pertidaksamaan linear atau lebih dikatakan membentuk kendala program linear linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala. 4. Fungsi tujuansasaran fungsi objektif merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear. Di unduh dari : Bukupaket.com |
12 sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian adalah
Pos Terkait
Copyright © 2024 adaberapa Inc.
