MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA BAB 5. TRANSFORMASI GEOMETRI Kompetensi dasar : 4.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah. 4.2 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. Tentunya kamu pernah mengamati benda dengan mikroskop. Apa yang kamu lihat ? Objek yang kecil dapat kita amati dengan jelas karena mikroskop bersifat memperbesar bayangan benda. Hal ini akan kita pelajari dalam transformasi geometri dilatasi. PERTEMUAN ke-33 s.d ke-35 Indikator : 1. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi : translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi 1. Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang. A. TRANSLASI/PERGESERAN Adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Y P’(x’,y’) T b P(x,y) a O x' x a x + a = + = atau y' y b y + b X P (x,y) a T b P’( x + a, y + b ) B. REFLEKSI/PENCERMINAN Adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat pencerminan Macam-macam refleksi : 1. Terhadap sumbu X sb X x' − 1 0 x P (x,y) P’( x , - y ) atau = y ' 0 1 y By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 43 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA 2. Terhadap sumbu Y sb Y P (x,y) x' 1 0 x P’( - x , y ) atau y ' = 0 − 1 y 3. Terhadap garis y = x y=x P (x,y) 4. Terhadap garis y = - x y=-x P (x,y) 5. Terhadap garis x = m x=m P (x,y) 6. Terhadap garis y = n y=n P (x,y) P’( y , x ) atau P’( - y , - x ) atau x' 0 1 x = y ' 1 0 y x' 0 − 1 x = y ' − 1 0 y P’( 2m - x , y ) P’( x , 2n - y ) C. ROTASI/PERPUTARAN Adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu Y ☼ Pusat O(0,0) Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan sudut θ : x’ = x cos θ - y sin θ dan y’ = x sin θ + y cos θ P’(x’,y’) x' cos θ atau = y ' sin θ P(x,y) θ r − sin θ x cos θ y X ☼ Pusat A(a,b) Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan sudut θ : x’ – a = (x – a) cos θ - (y – b) sin θ dan y’ – b = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ x' cos θ atau = y ' sin θ − sin θ x − a a + cos θ y − b b CATATAN : - Arah sudut searah jarum jam sudut negatif - Arah sudut berlawanan jarum jam sudut positif D. DILATASI/PERKALIAN Adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, terapi tidak mengubah bentuknya. ☼ Dilatasi dengan pusat O(0,0) faktor skala k ditulis [ O,k] x’ = kx dan y’ = ky atau x' k 0 x = y ' 0 k y By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 44 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA ☼ Dilatasi dengan pusat A(a,b) faktor skala k ditulis [A(a,b),k] x' k 0 x − a a = + y ' 0 k y − b b Contoh : 1. Tentukan bayangan titik A(2,3) jika : 3 a. Translasi T = b. Refleksi terhadap garis y = x 2 Penyelesaian : x' 2 3 2 + 3 x' 0 a. = + = b. = y' 3 2 3 + 2 y' 1 5 3 = = 5 2 2. Tentukan bayangan titik A(2,3) jika : a. Diputar sejauh 600 terhadap titik O(0,0) b. Didilatasi dengan pusat P(-2,4) dan faktor skala ½ 1 2 0 + 3 = 0 3 2 + 0 Penyelesaian : x' cos 60 0 a. = 0 y ' sin 60 − sin 60 2 cos 60 0 3 0 1 1 3 − 2 2 = 2 1 3 1 3 2 2 1 1 − 3 (3) ( 2) 2 = 2 1 1 3 (2) + (3) 2 2 3 3 1 − 2 = 3 3 + 2 1 x ' 2 0 2 + 2 − 2 + b. = 1 y ' 3 − 4 0 4 2 1 0 4 − 2 + = 2 0 1 − 1 4 2 2 − 2 = 1 + − 4 2 0 = 1 3 2 By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 45 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA LATIHAN 1 1. Segiempat ABCD dengan koordinat A(2,1),B(5,1),C(5.3) dan D(2,3). Tentukan koodinat bayangan koordinat segiempat tersebut oleh transformasi : 3 a. Translasi T = c. Pencerminan terhadap garis y = - x 4 b. Pencerminan terhadap sumbu X d. Pencerminan terhadap garis y = - 2 2. Tentukan bayangan titik R( - 2, 5) oleh rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut putar : a. 300 b. 450 c. 600 d. – 300 3. Tentukan bayangan titik K( 6, 4) oleh rotasi dengan pusat A(3, 1) dan sudut putar : a. 300 b. 450 c. 600 d. – 300 4. Tentukan bayangan titik L(5,2) jika didilatasikan oleh : 1 2 a. [O,4] b. [O,-2] c. [O, ] d. [O, − ] 3 5 5. Tentukan bayangan titik M(- 4, 8) jika didilatasikan oleh : 1 2 d. [(2,3), − ] a. [(2,3), 3] b. [(2,3), - 4] c. [(2,3), ] 4 3 6. Tentukan bayangan garis x + y – 2 = 0 oleh rotasi dengan pusat O(0,0) dengan sudut putar 600 PERTEMUAN ke-36 s.d ke-38 Indikator : 1. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi. 2 Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang. E. KOMPOSISI TRANSFORMASI Transformasi T1 dilanjutkan T2 memetakan titik P(x,y) → P”(x”,y”) dapat ditulis T2 o T1 : P(x,y) → P”(x”,y”) 1. Komposisi dua translasi berurutan a c a + c T2 o T1 = + = b d b + d 2. Komposisi dua refleksi berurutan. a. Dua sumbu sejajar sumbu X ( dicerminkan thd garis y = h dilanjutkan garis y = k ) M2 o M1 A(x,y) A”(x, 2(k – h) + y) b. Dua sumbu sejajar sumbu Y ( dicerminkan thd garis x = h dilanjutkan garis x = k ) M2 o M1 A(x,y) A”(2(k – h) + x, y) c. Terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus sama dengan rotasi 1800 ( dicerminkan thd garis x = h dilanjutkan garis y = k ) M2 o M1 A(x,y) A”(2h – x, 2k – y) d. Terhadap dua sumbu saling berpotongan Sama dengan rotasi dengan pusat rotasi titik potong sumbu dan besar sudut putar dua kali sudut yang terbentuk. By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 46 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA 3. Komposisi dua rotasi sepusat A”(x”,y”) β O A’(x’,y’) α A(x,y) ☼ Pusat O(0,0) x" cos(θ1 + θ 2 ) − sin(θ1 + θ 2 ) x = sin( θ + θ ) cos( θ + θ ) y " 1 2 1 2 y ☼ Pusat A(a,b) x" cos(θ1 + θ 2 ) − sin(θ1 + θ 2 ) x − a a = + sin( θ + θ ) cos( θ + θ ) − y " y b b 1 2 1 2 Contoh : 1. Tentukan bayangan titik P(3, 5) jika dicerminkan secara berturut-turut oleh garis y = x dan y = - x + 2. Penyelesaian : Titik potong kedua garis pada (1, 1) Kedua gari saling berpotongan dan saling tegak lurus karena hasil kali gradien garisnya m1.m2 = - 1 , maka pencerminan tersebut = rotasi dengan sudut putar 1800 x' − 1 0 x − a a = + y ' 0 − 1 y − b b − 1 0 3 − 1 1 + = 0 − 1 5 − 1 1 − 2 1 − 1 = + = Jadi P’(-1, -3) − 4 1 − 3 2. Diketahui R(O, θ ) adalah rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut putar θ , jika titik P(1,2) tentukan bayangan P jika memenuhi ( R(O,30 0 ) o R(O,60 0 )(P) Penyelesaian : ( R(O,30 0 ) o R(O,60 0 )(P) = ( R(O,30 0 ) (R(O,60 0 )(P)) P’= R(O,60 0 )(P) x' cos 60 0 − sin 60 0 1 = 0 cos 60 0 2 y ' sin 60 1 1 1 − 3 1 − 3 2 = 2 = 2 1 2 1 1 3 3 + 1 2 2 2 1 1 P” = ( R(O,30 0 )(P’) = ( R(O,30 0 ) − 3 , 3 + 1 2 2 1 x" cos 30 0 − sin 30 0 2 − 3 = 0 0 1 y " sin 30 cos 30 3 + 1 2 By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 47 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA 1 3 2 = 1 2 1 1 − 3 − 2 2 2 = 1 1 3 3 + 1 1 2 2 − LATIHAN 2 1. Sebuah persegi panjang ABCD dengan koordinat A(4,5), B(10,5), C(10,9), dan D(4,9) 2 − 2 4 Jika translasi T1 = , T2 = dan T3 = Tentukan : 3 3 − 2 a. T1 o T2 b. T2 o T3 c. T1 o T3 d. T1 o T2 o T3 2. Ruas garis AB dengan koordinat A(2,1) dan B(1,3) Tentukan bayangan ruas garis tersebut jika ditransformasikan oleh : 2 a. Translasi T = dilanjutkan refleksi terhadap sumbu X 1 1 b. Translasi T = dilanjutkan dilatasi [A(2,0), 3] −1 3. Tentukan bayangan dari titik P(7, 6), jika : a. Pusat O(0,0) → ( R(O,30 0 ) o R(O,60 0 )(P) b. Pusat A(3,4) → ( R(A,45 0 ) o R(A,120 0 )(P) 4. Tentukan bayangan garis x – 3y + 2 = 0, jika dicerminkan terhadap garis y = x + 1 dilanjutkan dilatasi [O, -2] 5. Titik L(2, 1) diputar dengan pusat A(0, -2) sejauh 250, kemudian dilanjutkan pemutaran sejauh 350. Tentukan bayangan akhir dari titik L By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 48 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA RANGKUMAN 1. Jika P’(x’,y’) adalah bayangan titik P(x,y) oleh suatu transformasi, maka : a x' x a a. Translasi T = adalah = + b y' y b x' 1 b. Refleksi thd Sumbu X adalah = y' 0 x' − 1 c. Refleksi thd Sumbu Y adalah = y' 0 0 x x = − 1 y − y 0 x − x = 1 y y x' 0 1 x y = d. Refleksi thd garis y = x adalah = y ' 1 0 y x x' 0 − 1 x − y = e. Refleksi thd garis y = - x adalah = y ' − 1 0 y − x x' − 1 0 x − x = f. Rotasi thd titik asal O adalah = y ' 0 − 1 y − y x' cos θ − sin θ x g. Rotasi R(O, θ ) adalah = y ' sin θ cos θ y x' cos θ − sin θ x − a a + h. Rotasi R(A(a,b), θ ) adalah = y ' sin θ cos θ y − b b x' k 0 x i. Dilatasi [O, k] adalah = y ' 0 k y x' k 0 x − a a + j. Dilatasi [A(a,b), k] adalah = y ' 0 k y − b b 2. Transformasi tunggal yang ekuivalen dengan dua rotasi sepusat adalah : a. R(O, θ1 ) o R(O, θ 2 ) = R(O, θ1 + θ 2 ) b. R(A, θ1 ) o R(A, θ 2 ) = R(A, θ1 + θ 2 ) 3. Transformasi tunggal yang ekuivalen refleksi terhadap dua sumbu saling berpotongan di titik A(a,b) dan membentuk sudut α adalah rotasi dengan pusat titik potong kedua sumbu dan sudut putar 2 α atau R(A,2 α ) By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 49 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA EVALUASI BAB V I. Pilihlah jawaban yang paling tepat ! 4 1. Bayangan titik A oleh translasi T = adalah A’(2,3). Koordinat titik A adalah ... − 2 a. ( -2, 4) d. ( -1, 4) b. ( -2, 5) e. ( 3, -2) c. ( -2, 6) 2 2. Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh T = maka persamaan bayangannya ... 3 a. y = 2x + 8 d. y = 2x + 5 b. y = x + 10 e. y = x + 8 c. y = x + 6 3. Bayangan titik A jika dicerminkan terhadap garis y = - x adalah ( -5, 4). Jika dicerminkan terhadap garis x = 5 maka bayangan titik A adalah … a. ( -4, 5) d. ( 14, 5) b. ( -1, 5) e. ( 16, 5) c. ( 4, 5 ) 4. Bayangan titik A(a,b) oleh dilatasi [O, -4] adalah A’( -12, 4). Nilai a + b adalah ... a. 4 d. – 2 b. 2 e. – 4 c. 1 5. Bayangan titik ( 4, -1) oleh dilatasi [P(2,3), 5] adalah ... a. ( 10, -17) d. ( 13, -17) b. ( 11, -17) e. ( 14, -17) c. ( 12, -17) 6. Jika garis 2x + y = 1 didilatasi dengan pusat ( 1, 3) dan faktor skala 2, maka persamaan bayangannya adalah ... a. 2x + y = 3 d. 2x + y = -2 b. 2x + y = 2 e. 2x + y = -7 c. 2x + y = 0 7. Bayangan titik B oleh rotasi [O, 1800] adalah B’( -9,5). Koordinat titik B adalah ... a. ( 9, 5) d. ( -5, -9) b. ( 5, 9) e. ( 9, -5) c. ( -5, 9) 8. Garis g dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi [O,900] menghasilkan garis 3x + y – 2 = 0. Persamaan garis g adalah ... a. y = 3x – 2 d. y = 3x – 4 b. y = 3x + 2 e. y = 2x – 3 c. y = 3x + 4 9. Titik ( 2, -4) dicerminkan terhadap garis y = -3 dilanjutkan dengan rotasi R(O, 300) hasinya adalah ... By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 50 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA a. ( 1 + 3 , -1 + 3 ) d. ( -1 + 3,1- 3 ) b. ( 1 - 3 , -1 - 3 ) e. ( -1 + 3 , -1 - 3 ) c. ( 1 + 3,1- 3 ) 2 3 10. Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks 1 2 1 2 adalah ... dilanjutkan matriks 3 4 a. 13x – 5y + 4 = 0 d. – 5x + 4y – 2 = 0 b. 13x – 5y – 4 = 0 e. 13x – 4y + 2 = 0 c. – 5x + 4y + 2 = 0 II. Jawablah dengan tepat ! 1. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan koordinat A(5,1), B(5,8), dan C(-3,5) yang dicerminkan terhadap sumbu Y dan gambarkan segitiga ABC dan bayangannya. 2. Tentukan bayangan titik A(3,5) yang didilatasikan dengan faktor skala 4 dan pusat dilatasinya P(3,-1) 3. Tentukan bayangan titik K(4,2) yang dicerminkan terhadap garis y = 0, dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = x 4. Tentukan bayangan titik A(3,7) yang dicerminkan terhadap titik asal O kemudian diteruskan oleh pencerminan terhadap garis x = - 3 5. Tentukan persamaaan bayangan lingkaran x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0 oleh rotasi R(O,1800) dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y DAFTAR REFERENSI Ari Damari.2007. Kupas Matematika SMA Untuk Kels X, XI, dan XII. Jakarta : PT Wahyu Media. Cecep Anwar H.F.S.2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan BSE Depdiknas Sartono Wirodikromo.2004. Matematika SMA Kelas XII IPA. Jakarta : PT Erlangga. Siswanto. 2005.Matematika Inovatif 3 Konsep dan Aplikasinya Untuk Kelas XII SMA Program IPA. Solo : PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam 51 |