Panjang rusuk yang menunjukkan ukuran segitiga siku-siku adalah

Rumus Phytagoras merupakan salah satu metode menghitung yang cukup terkenal dan berguna dalam ilmu matematika. Nama phytagoras merujuk pada seorang matematikawan Yunani yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Mengutip p4tkmatematika.kemdikbud.go.id, Phytagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema sudah diketahui lebih dahulu oleh matematikawan India, Yunani, Tionghoa, dan Babilonia jauh sebelum Phytagoras lahir.

Ide dari rumus ini adalah mengungkapkan panjang serta hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku. Jika diketahui dua buah sisi (a) dan (b), maka dapat diketahui pula jarak terpendek antara kedua sisi dengan menghitung hipotenusa atau sisi miring (c) dari segitiga siku-siku.

Penggunaan rumus phytagoras sangat penting dalam ilmu matematika, khususnya pada geometri. Adapun rumus umum phytagoras yaitu:

C2 = a2 + b2

Rumus Phytagoras (Buku Matematika Kelas VII)

Dalam teorama yang dikemukakan oleh Phytagoras, sisi miring atau dalam gambar di atas, sisi (c), disebut dengan hipotenusa.

Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi (a) + luasan persegi dari panjang sisi (b) = luasan panjang dari sisi (c). Luasan digunakan gunakan untuk membuktikan rumus teorema phytagoras. Maka, a2 + b2 = c2.

Phytagoras menyatakan setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang siku-sikunya. Jika (c) adalah panjang sisi miring segitiga, (a) dan (b) adalah panjang sisi siku-siku.

Berdasarkan teorema phytagoras di atas, diperoleh hubungan:

c2 = a2 + b2

Dalil pythagoras tersebut dapat diturunkan menjadi:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Adapun rumus phytagoras dalam bentuk akar, sebagai berikut:

a = √c2 – b2

b = √c2 – a2

c = √a2 + b2

Dalam menentukan persamaan phytagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai sisi miring.

Triple Phytagoras

Triple phytagoras yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan "kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain."

Contoh:

3, 4 dan 5 adalah triple phytagoras sebab, 52 = 42 + 32

Contoh tripel phytagoras yang paling sederhana dan sering digunakan pada sekolah dasar dan sekolah menengah adalah 3, 4, dan 5 atau 5, 12, dan 13.

Penting untuk diperhatikan bahwa, jika (a), (b), dan (c) merupakan triple phytagoras dan (k) suatu bilangan bulat positif maka (ka), (kb), dan (kc) juga merupakan triple phytagoras, karena:

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2

Dengan demikian, cukup mencari triple phytagoras dasar, yaitu tripel bilangan bulat positif (a), (b), dan (c) yang tidak mempunyai faktor sekutu selain 1 dan memenuhi persamaan .

Contoh:

3, 4, dan 5 merupakan triple phytagoras dasar, sedangkan 6, 8, dan 10 bukan, karena 6, 8, dan 10 mempunya faktor sekutu selain 1, yaitu 2.

Ciri-ciri Segitiga Siku-Siku

• Memiliki 1 buah sudut sebesar 90o yaitu ∠BAC.
• Mempunyai dua buah sisi yang saling tegak lurus yaitu BA dan AC.
• Memiliki satu buah sisi miring yaitu BC yang disebut hipotenusa.
• Sisi miring ada di depan sudut siku-siku.
• Memiliki dua buah sudut lancip.
• Punya tiga ruas garis AB, AC, dan BC.
• Tiga sudut ada dalam segitiga jika jumlah hasilnya 180o.
• Pada segitiga siku-siku berlaku teorema phytagoras. Teorema phytagoras merupakan rumus untuk mencari berapa panjang sisi miring dari segitiga siku-siku. Sisi miring ini berada di depan sudut siku-siku.

Contoh Soal Rumus Phytagoras

Mengutip dari Zenius dan sumber terkait lainnya, berikut beberapa contoh soal dan pembahasan tentang teorema phytagoras.

1. Diketahui alas segitiga siku-siku adalah 5 m dan tinggi segitiga 12 m. Berapakah sisi miring atau hipotenusa (c)?

Jawaban:

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

25 + 144 = c2

√169 = c

c = 13 m

Jadi, panjang hipotenusa segitiga tersebut adalah 13 meter.

2. Sebuah segitiga siku-siku ABC memiliki tinggi BC 9 cm dan alas AC 12 cm. Hitunglah sisi miring AB!

Jawaban:

AB2 = BC2 + AC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225

AB = √225

AB = 15

Jadi sisi miring AB adalah 15 cm.

3. Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi 5 cm, 7 cm dan 8 cm?

Jawaban:

Diketahui : sisi terpanjang adalah 8 cm, maka:

a = 8 cm, b = 7 cm dan c = 5 cm

a2 = 82 = 64

b2 + c2 = 72 + 52

b2 + c2 = 49 + 25

b2 + c2 = 74

karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip.

4. Segitiga ABC siku-siku di titik a, diketahui panjang AB = 3 cm dan AC = 4 cm. Hitunglah panjang BC!

Jawaban:

BC2  =  AB2  +  AC2

=  32 +  42

= 9  +  16

= 25

BC  = √25 = 5

Jadi panjang BC = 5 cm.

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (yaitu, sudut 90 derajat). Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku adalah dasar untuk trigonometri.

Sisi yang berseberangan dengan sudut siku-siku disebut hypotenuse (sisi c pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki (atau catheti, singular: cathetus). Sisi a dapat diidentifikasi sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut B dan berlawanan dengan (atau berlawanan) sudut A, sedangkan sisi b adalah sisi yang berdekatan dengan sudut A dan berlawanan dengan sudut B.

Jika panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku adalah bilangan bulat, segitiga tersebut disebut segitiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai triple Pythagoras.

Sifat utama

Luas

Seperti halnya segitiga apa pun, luasnya sama dengan satu setengah alas yang dikalikan dengan tinggi yang sesuai. Dalam segitiga siku-siku, jika satu kaki diambil sebagai alas maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segitiga siku-siku adalah satu setengah produk dari kedua kaki. Sebagai rumus, Luas T adalah

T = 1 2 a b {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}

di mana a dan b adalah kaki-kaki segitiga. Jika incircle bersinggungan dengan AB miring pada titik P, maka menunjukkan semi-perimeter(a + b + c) / 2 sebagai s yang kita miliki PA = s − a dan PB = s − b, dan luas diberikan oleh

T = PA ⋅ PB = ( s − a ) ( s − b ) . {\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}

Rumus ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.[1]

Tinggi

Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke sisi miring maka segitiga dibagi menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang keduanya mirip dengan aslinya dan oleh karena itu mirip satu sama lain. Dari ini:

• Ketinggian untuk sisi miring adalah rata-rata geometrik (rata-rata proporsional) dari dua segmen sisi miring.[2]:243
• Setiap kaki dari segitiga adalah proporsi rata-rata dari sisi miring dan segmen sisi miring yang berdekatan dengan kaki.

Dalam persamaan,

f 2 = d e , {\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}

b 2 = c e , {\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}

a 2 = c d {\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}

di mana a, b, c, d, e, f adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram.[3] Jadi

f = a b c . {\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}

Selain itu, tinggi ke sisi miring terkait dengan kaki-kaki segitiga kanan[4][5]

1 a 2 + 1 b 2 = 1 f 2 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}

Untuk solusi persamaan ini dalam nilai integer a, b, f, dan c, lihat di sini.

Tinggi dari kedua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Karena ini berpotongan di sudut siku-siku, orthocenter segitiga siku-siku — perpotongan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut siku-siku.

Teori Pythagoras

Artikel utama untuk kategori ini adalah Teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:

Dalam setiap segitiga siku-siku, Luas dari bujur sangkar yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kuadrat yang sisi-sisinya adalah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan).

Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

di mana c adalah panjang sisi miring, dan a dan b adalah panjang dari dua sisi yang tersisa.

Tripel Pythagoras adalah nilai integer dari a, b, c yang memenuhi persamaan ini.

Inradius dan circumradius

Jari-jari incircle dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c adalah

r = a + b − c 2 = a b a + b + c . {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}

Jari-jari lingkaran adalah setengah panjang sisi miring,

R = c 2 . {\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}

Jadi jumlah dari circumradius dan inradius adalah setengah dari jumlah kaki:[6]

R + r = a + b 2 . {\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}

Salah satu kaki dapat diekspresikan dalam istilah inradius dan kaki lainnya sebagai

a = 2 r ( b − r ) b − 2 r . {\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}

Karakterisasi

Segitiga ABC dengan sisi a ≤ b < c {\displaystyle a\leq b<c}

Sisi dan semiperimeter

• a 2 + b 2 = c 2 ( teori Pitagoras ) {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{teori Pitagoras}})}
  
• ( s − a ) ( s − b ) = s ( s − c ) {\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
  
• s = 2 R + r . {\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
  
  [7]
• a 2 + b 2 + c 2 = 8 R 2 . {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}
  
  [8]

Sudut

• A dan B adalah komplementer.[9]
• cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 0. {\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}
  
  [10][11]
• sin 2 ⁡ A + sin 2 ⁡ B + sin 2 ⁡ C = 2. {\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}
  
  [10][11]
• cos 2 ⁡ A + cos 2 ⁡ B + cos 2 ⁡ C = 1. {\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}
  
  [11]
• sin ⁡ 2 A = sin ⁡ 2 B = 2 sin ⁡ A sin ⁡ B . {\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}
  

Luas

• T = a b 2 {\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  
• T = r a r b = r r c {\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  
• T = r ( 2 R + r ) {\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}
  
• T = P A ⋅ P B , {\displaystyle T=PA\cdot PB,}
  
  di mana P adalah titik singgung incircle di sisi terpanjang AB.[12]

Inradius dan exradii

• r = s − c = ( a + b − c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}
  
• r a = s − b = ( a − b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}
  
• r b = s − a = ( − a + b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}
  
• r c = s = ( a + b + c ) / 2 {\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}
  
• r a + r b + r c + r = a + b + c {\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  
• r a 2 + r b 2 + r c 2 + r 2 = a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  
• r = r a r b r c . {\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}
  
  [13]

Tinggi dan median

• h = a b c {\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
  
• m a 2 + m b 2 + m c 2 = 6 R 2 . {\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}
  
  [14]:Prob. 954, p. 26
• Panjang satu median sama dengan circumradius.
• Tinggi yang terpendek (yang dari sudut dengan sudut terbesar) adalah rata-rata geometris dari segmen garis yang membagi sisi yang berlawanan (terpanjang) menjadi. Ini adalah teorema ketinggian segitiga siku-siku.

Circumcircle dan incircle

• Segitiga dapat ditulis dalam setengah lingkaran, dengan satu sisi bertepatan dengan keseluruhan diameter (teorema Thales).
• Circumcenter adalah titik tengah dari sisi terpanjang.
• Sisi terpanjang adalah diameter lingkaran ( c = 2 R ) . {\displaystyle \displaystyle (c=2R).}
  
• Lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran sembilan titik.[15]
• Orthocenter terletak di lingkaran.[16]
• Jarak antara incenter dan orthocenter sama dengan 2 r {\displaystyle {\sqrt {2}}r}
  
  .[16]

Rasio trigonometri

Fungsi trigonometri untuk sudut akut dapat didefinisikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Untuk sudut tertentu, segitiga siku-siku dapat dibangun dengan sudut ini, dan sisi berlabel berlawanan, berdekatan dan miring dengan referensi ke sudut ini sesuai dengan definisi di atas. Rasio sisi-sisi ini tidak bergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, tetapi hanya pada sudut yang diberikan, karena semua segitiga yang dibangun dengan cara ini serupa. Jika, untuk sudut tertentu α, sisi yang berlawanan, sisi yang berdekatan dan sisi miring masing-masing diberi label O, A dan H, maka fungsi trigonometri adalah

sin ⁡ α = O H , cos ⁡ α = A H , tan ⁡ α = O A , sec ⁡ α = H A , cot ⁡ α = A O , csc ⁡ α = H O . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}

Untuk ekspresi fungsi hiperbolik sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku, lihat segitiga hiperbolik sektor hiperbolik.

Segitiga siku-siku khusus

Nilai fungsi trigonometri dapat dievaluasi dengan tepat untuk sudut tertentu menggunakan segitiga siku-siku dengan sudut khusus. Ini termasuk segitiga 30-60-90 yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/6, dan segitiga 45-45-90 yang dapat digunakan untuk mengevaluasi fungsi trigonometri untuk kelipatan π/4.

Segitiga Kepler

Biarkan H, G, dan A menjadi rata-rata harmonik, rata-rata geometrik, dan rata-rata aritmatika dari dua bilangan positif a dan b dengan a > b. Jika segitiga siku-siku memiliki kaki H dan G dan sisi miring A, maka.[17]

A H = A 2 G 2 = G 2 H 2 = ϕ {\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}

dan

a b = ϕ 3 , {\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}

dimana ϕ {\displaystyle \phi }

1 + 5 2 . {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}

Teori Thales

Teorema Thales menyatakan bahwa jika A adalah titik mana pun dari lingkaran dengan diameter BC (kecuali B atau C sendiri) ABC adalah segitiga siku-siku di mana A adalah sudut kanan. Kebalikannya menyatakan bahwa jika segitiga siku-siku tertulis dalam lingkaran maka sisi miring akan menjadi diameter lingkaran. Yang wajar adalah bahwa panjang sisi miring adalah dua kali jarak dari sudut sudut kanan ke titik tengah sisi miring. Juga, pusat lingkaran yang membatasi segitiga kanan adalah titik tengah sisi miring dan jari-jarinya adalah setengah panjang sisi miring.

Garis euler

Dalam segitiga siku-siku, garis euler berisi median pada sisi miring - yaitu, melewati titik sudut kanan dan titik tengah sisi yang berlawanan dengan titik itu. Ini karena orthocenter segitiga kanan, persimpangan ketinggiannya, jatuh pada sudut siku-siku sementara circumcenter-nya, persimpangan garis-garis sisi yang tegak lurus, berada di titik tengah sisi miring.

Referensi

1. ^ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.
2. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Posamentier
3. ^ Wentworth p. 156
4. ^ Voles, Roger, "Integer solutions of a − 2 + b − 2 = d − 2 {\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}
   
   ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
5. ^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
6. ^ Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
7. ^ "Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-04-28. Diakses tanggal 2020-06-02. 
8. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu2
9. ^ "Properties of Right Triangles". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-12-31. Diakses tanggal 2020-06-02. 
10. ^ a b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu3
11. ^ a b c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2] Diarsipkan 2013-08-05 di Wayback Machine..
12. ^ Darvasi, Gyula (March 2005), "Converse of a Property of Right Triangles", The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76 .
13. ^ Bell, Amy (2006), "Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342 
14. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux2
15. ^ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
16. ^ a b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Crux4
17. ^ Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

• (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld. 

• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co. 

Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Right triangles.

• Kalkulator untuk segitiga siku-siku Diarsipkan 2017-09-30 di Wayback Machine.
• Kalkulator segitiga siku-siku lengkap

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga_siku-siku&oldid=21825183"