Pada gambar berikut ∆ PQR ≅ ∆ STU besar ∠ R ∠ U dan ∠ Q ∠ S Manakah pasangan sisi yang sama panjang

4.6 GeometriBerikut ini sekilas perkembangan postulat kesejajaran Euclid (330-270 SM) mengemukakan postulat kesejajaran sebagaiberikut. Bahwa jika satu garis memotong dua garis lain membentuk dua sudutdalam pada sisi yang sama lebih kecil dari dua sudut siku-siku dua garis itujika diperpanjang tak hingga akan bertemu pada sisi dimana dua sudut yangkurang dari dua sudut siku-siku (perhatikan gambar berikut). Garis a memotong garis b dan cmembentuk 2 sudut dalam yaitu ∠ 1dan ∠ 2 pada sisi yang sama (darigaris a, yaitu sama-sama di sebelahkanan garis a, jumlah ukurannyakurang dari 2 × 90o = 180o. Maka dua garis itu (garis b dan c) akan bertemu (berpotongan) juga padasisi di mana 2 sudut yang kurang dari 180o, yakni bertemunya garis b dan citu juga di sebelah kanan garis a. Postulat kesejajaran ini bertahan selama 2000 tahun, baru pada abad 18,seorang matematikawan John Playfair menemukan postulat yang ekivalendengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat ini disebut postulat Playfair. Dengan postulat Playfair ini, bermunulan postulat-postulat baru yangtadinya mau menyalahkan Euclid, tetapi malah melahirkan geometri lain,seperti Geometri Eliptik, dan Geometri Hiperbolik serta Geometri Netral.Teorema 4.5 Diketahui garis p, q, dan r. Jika p//q dan q//r maka p//r.Bukti: Diketahui: garis p, q, dan r. Tiga garis berbeda. p//q dan q//r.Buktikan: p//r.Bukti: Alasan Pernyataan 1. Pengandaian bukti tak 1. Andaikan p // r langsung. 2. Pernyataan ulang 1. 2. Terdapat persekutuan antara p dan r, sebut saja A.PEMA4207/MODUL 4 4.7 Pernyataan Alasan 3. p//q. 3. Diketahui. 4. r//q. 4. Diketahui. 5. Garis p dan r dua garis berbeda melalui 5. Pernyataan 3 dan 4. A sejajar q (kontradiksi dengan Postulat Kesejajaran yang menyatakan hanya ada satu garis melalui A dan sejajar dengan q. 6. Oleh karena itu p//r. 6. Logika bukti tak langsung. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Perhatikan gambar di samping, garis mana yang dapat disimpulkan sejajar, teorema yang membenarkan hanya untuk keadaan berikut. a) ∠ 1 ≅ ∠ 9 b) ∠ 4 ≅ ∠ 6 c) u ∠ 7 + u ∠ 10 = 180o d) ∠ 3 ≅ ∠ 9 e) ∠ 1 ≅ ∠ 11 f) ∠ 1 ≅ ∠ 7a2) Tuliskan 4 cara untuk membuktikan bahwa dua garis sejajar.a3) Pasangan sudut mana yang kongruen yang dapat menunjukkan bahwa AB // CD pada gambar di samping?a4.8 Geometri4) Diketahui: AB ≅ DC AD ≅ BC Buktikan: AB // DCA5) Diketahui: ∠ ABC ≅ ∠ BCD BF garis bagi ∠ ABC CG garis bagi ∠ BCD. Buktikan: BF // CGA6) Diketahui: ∠ BCD ≅ ∠ D u ∠ B + u ∠ D = 180o Buktikan: AB // DCA7) Diketahui: u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180o Buktikan: p//rA8) Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2 ∠3≅∠4 Buktikan: p//rAPEMA4207/MODUL 4 4.99) Diketahui: Garis g dan titik P di luar garis g. Lukis garis m melalui P sejajar dengan g.AA10) Jika AB , CD , dan EF adalah rusuk-rusuk kubus. Tunjukkan EF // AB .Petunjuk Jawaban Latihan1) a) a) ∠ 1 ≅ ∠ 9, terbentuk karena adanya garis a dan c dipotong transfersal oleh garis d, sudut 1 dan sudut 9 sehadap jadi a//c. (menggunakan Teorema 4.1). b) ∠ 4 ≅ ∠ 6, terbentuk karena adanya garis a dan b dipotong oleh transversal, ∠ 4 dengan ∠ 6 adalah sudut dalam berseberangan. Jadi, a//b. (menggunakan Teorema 4.2). c) u ∠ 7 + u ∠ 10 = 180o, terbentuk ∠ 7 dan ∠ 8 karena adanya garis b dan c, ∠ 7 dan ∠ 10 adalah sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen, jadi b//c. (menggunakan Teorema 4.4). d) ∠ 3 ≅ ∠ 9, terbentuknya ∠ 3 dan ∠ 9 karena adanya garis a dan c dipotong oleh transversal, ∠ 3 dan ∠ 9 adalah sudut dalam berseberangan, jadi a//c. (menggunakan Teorema 4.2). e) ∠ 1 ≅ ∠ 11, terbentuk karena adanya garis b dan c, ∠ 7 dan ∠ 11 adalah sudut-sudut yang sehadap jadi b//c. (Teorema 4.1). f) ∠ 1 ≅ ∠ 7, terbentuk karena adanya garis a dan b, ∠ 1 dan ∠ 7 adalah sudut luar berseberangan jadi a//b (Teorema 4.3).a2) Jika dua garis dipotong oleh transversal sehingga terbentuk:4.10 Geometri a) Sudut sehadap kongruen. b) Sudut dalam berseberangan kongruen.c) Sudut luar berseberangan kongruen.d) Sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen.3) ∠ 1 ≅ ∠ 8 maka AB // CD (sehadap) ∠ 3 ≅ ∠ 7 maka AB // CD (sehadap) ∠ 4 ≅ ∠ 8 maka AB // CD (dalam berseberangan) ∠ 6 ≅ ∠ 7 maka AB // CD (dalam berseberangan).4) Bukti: Pernyataan Alasan 1. Diketahui.1. AD ≅ CB 2. Diketahui.2. AB ≅ CD 3. Refleksif.3. AC ≅ CA 4. Si-Si-Si.4. ∆ ABC ≅ ∆CDA 5. BSKK.5. ∠ 2 ≅ ∠ 3 6. Sudut dalam berseberangan.6. AB // DCPEMA4207/MODUL 4 4.115) Bukti: Alasan 1. Diketahui. Pernyataan 2. Definisi garis bagi. 1. ∠ ABC ≅ ∠ BCD 3. Definisi garis bagi. 2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Definisi sudut kongruen. 3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 5. Definisi sudut kongruen. 4. u ∠ 1 = u ∠ 2 6. Definisi sudut kongruen. 5. u ∠ 3 = u ∠ 4 7. Penjumlahan sudut. 6. u ∠ ABC = u ∠ BCD 8. Diketahui. 7. u ∠ ABC = u ∠ 1 + u ∠ 2 9. Penjumlahan sudut. 8. u ∠ ABC = u ∠ BCD 10. Masing-masing setengah dari 9. u ∠ BCD = u ∠ 3 + u ∠ 4 10. u ∠ 3 ≅ ∠ 2 sudut yang kongruen. 11. Teorema 4.2, berseberangan 11. BF // CG dalam.6) Bukti: Alasan Pernyataan 1. Diketahui. 1. ∠ BCD ≅ ∠ D 2. Diketahui. 2. u ∠ B + u ∠ D = 180o 3. Definisi kongruen. 3. u ∠ BCD = u ∠ D 4. Substitusi. 4. u ∠ B + u ∠ BCD =180o 5. Definisi suplemen. 5. ∠ B suplemen ∠ BCD 6. Teorema 4.4. 6. AB // DC Alasan7) Bukti: 1. Diketahui. 2. Teorema 4.4. Pernyataan 3. Diketahui. 1. u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o 4. Teorema 4.4. 2. p//q 5. Teorema 4.5. 3. u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180o 4. q//r 5. p//r4.12 Geometri8) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui. 2. p//q 2. Teorema 4.2 berseberangan dalam. 3. ∠ 3 ≅ ∠ 4 3. Diketahui. 4. q//r 4. Teorema 4.4. berseberangan luar. 5. p//r 5. Teorema 4.5.a9) a) Buat garis m melalui P memotong g misal di A. b) Buat lingkaran dengan pusat A sehingga memotong g dan m di titik B dan C. c) Dengan jari-jari yang sama, buat lingkaran dengan pusat P sehingga memotong g di E. d) Ukurkan BC dengan jangka, buat lingkaran dengan pusat E dengan jari-jari ukuran BC sehingga memotong lingkaran yang dibuat pada c di titik F. e) Buat garis FP, garis FP ini adalah n.10) ABCD adalah persegi sehingga AB // CD . CDEF adalah persegi sehingga CD // EF . Dengan menggunakan Teorema 4.5 disimpulkan bahwa AB // EF . RANGKUMAN Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sepasang sudut yang sehadap kongruen maka kedua garis sejajar.PEMA4207/MODUL 4 4.13 Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam berseberangan kongruen maka dua garis itu sejajar. Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut luar berseberangan kongruen maka dua garis itu sejajar. Jika dua garis dipotong oleh transversal dan terbentuk sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen maka dua garis itu sejajar. Postulat kesejajaran Euclid: diketahui garis g dan titik P di luar g terdapat hanya satu garis yang melalui P sejajar g. TES FORMATIF 1 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Pasangan sudut luar berseberangan pada gambar di samping adalah .... A. ∠ 2 dan ∠ 7 B. ∠ 2 dan ∠ 8 C. ∠ 7 dan ∠ 8 D. ∠ 1 dan ∠ 6a2) Pasangan sudut dalam berseberangan pada gambar di samping adalah .... A. ∠ 1 dan ∠ 7 B. ∠ 2 dan ∠ 8 C. ∠ 3 dan ∠ 6 D. ∠ 3 dan ∠ 5a3) BC dengan EF .... A. berpotongan B. sejajar C. bersinggungan D. berseberangana4.14 Geometri4) Berdasarkan gambar di samping ini pernyataan berikut benar, kecuali .... A. ∠ 1 ≅ ∠ 7 B. ∠ 2 > ∠ 5 C. ∠ 2 ≅ ∠ 4 D. ∠ 3 > ∠ 4a5) ∠ 1 ≅ ∠ 2 maka a//b. Teorema yang membenarkan adalah .... A. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut sehadap kongruen maka dua garis tersebut sejajar B. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut dalam berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar C. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut luar berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar D. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut-sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen6) Diketahui ∠ 1 ≅ ∠ 2 Buktikan p/q Bukti : ....a Alasan 1. Diketaui Pernyataan 2. Bertolak belakang 3. Sifat transitif 1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. …. 2. ∠ 2 ≅ ∠ 3 3. ∠ 1 ≅ ∠ 3 4. p // qaA jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut4. A. sehadap kongruen maka dua garis tersebut sejajar jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut dalam B. berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajar jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut luar C. berseberangan kongruen maka kedua garis tersebut sejajarPEMA4207/MODUL 4 4.15 D. jika dua garis dipotong oleh transversal dan pasangan sudut-sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen7) Pada segi tiga ABC di samping ini berlaku .... A. ∠ 4 > ∠ 3 B. ∠ 7 > ∠ 4 C. ∠ 5 > ∠ 4 D. ∠ 6 > ∠ 2a8) Melalui garis g dan titik T tidak pada g .... A. terdapat hanya satu garis melalui T memotong g B. terdapat hanya satu garis melalui T sejajar g C. terdapat dua garis melalui T sejajar g D. terdapat lebih satu garis melalui T tegak lurus ga9) Yang bisa menyimpulkan p//r adalah .... A. ∠ 4 ≅ ∠ 3 B. ∠ 1 ≅ ∠ 2 C. ∠ 1 ≅ ∠ 2 dan ∠ 3 ≅ ∠ 4 D. ∠ 1 ≅ ∠ 3 dan ∠ 2 ≅ ∠ 4A10) Gambar yang menyatakan garis m sejajar garis n adalah .... a10) A. B. C. D.4.16 Geometri Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 4 4.17 Kegiatan Belajar 2Teorema Selanjutnya tentang Kesejajaran GarisDiketahui: p//q Diketahui: p//q Diketahui: p//qApakah ∠ 1 ≅ ∠ 2 Apakah ∠ 1 ≅ ∠2 Apakah ∠ 1 ≅ ∠2Teorema 6 Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut dalamberseberangannya kongruen.BuktiDiketahui: Garis p dan q dengan transversal r. ∠ 1 dan ∠ 2 sudut dalam berseberanganBuktikan: ∠ 1 ≅ ∠ 2Rencana: Andaikan ∠ 1 tidak kongruen ∠ 2, cari kontradiksi.Pernyataan Alasan1. Andaikan ∠ 1 tidak kongruen ∠ 2 1. Pengandaian Bukti TL.2. Konstruksi garis melalui A 2. Konstruksi. sehingga ∠1 kongruen ∠3 dan ∠1 dengan ∠3 berseberangan dalam4.18 GeometriPernyataan Alasan3. q//s, A pada s 3. Jika sudut dalam berseberangan kongruen maka garis sejajar.4. p//q, A pada p 4. Diketahui.5. Terdapat dua garis melalui A 5. Pernyataan 3 dan 4. sejajar q (kontradiksi dengan Postulat Kesejajaran)6. ∠ 1 ≅ ∠ 2 6. Logika Bukti TL.ATeorema 7: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut luar berseberangan kongruen.Teorema 8: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut sehadap kongruen.Teorema 9: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut alam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen. Untuk membuktikan teorema-teorema ini, saudara bisa menggunakankondisi pada teorema yang sudah dibuktikan, yaitu apakah dari sudut dalamberseberangan yang kongruen (Teorema 6) dapat diperoleh sudut luarberseberangan yang kongruen (Teorema 7), sudut sehadap kongruen(Teorema 8), dan sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal salingsuplemen. Silakan Anda coba. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Pada gambar di samping diketahui p dan q sejajar dan u ∠ 3 = 125o. Tentukan a. u ∠ 1 = …. b. u ∠ 2 = …. c. u ∠ 4 = ….PEMA4207/MODUL 4 4.19d. u ∠ 5 = ….e. u ∠ 6 = ….f. u ∠ 7 = ….g. u ∠ 8 = ….2) Buktikan dengan lengkap Teorema 7!3) Pada gambar di samping diketahui p//q dan u ∠ 1 = 120o, u ∠ 4 = 145o. Tentukan: a. u ∠ 2 = …. b. u ∠ 3 = …. c. u ∠ 5 = …. d. u ∠ 6 = …. e. u ∠ 7 = ….a m//n4) Diketahui: u ∠ 1 = 2x + 4 u ∠ 5 = 3y + 6 u ∠ 2 = 4y + 6 Cari ukuran ∠ 1, ∠ 2, dan ∠ 5a5) Diketahui: AO ≅ OD BO ≅ OC Buktikan: AB // CDa6) Buktikan Teorema 8. Teorema 8: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut sehadap kongruen.4.20 Geometria7) Tuliskan pasangan sudut: a. Dalam berseberangan. b. Luar berseberangan. c. Sehadap.a8) Tuliskan: a. Pasangan bidang yang sejajar. b. Pasangan garis yang bersilangan.a9) Diketahui: a // b; c //d u ∠ 1 = 8x – 2 u ∠ 11 = 7x + 11 Hitunglah: x dan u 12a10) Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 2 ∠ 2 dan ∠ 3 suplemen Buktikan: AB // EDPetunjuk Jawaban Latihan1) a. u ∠ 1 = 125o (bertolak belakang, kongruen) b. u ∠ 2 = 55o (pasangan segaris, suplemen) c. u ∠ 4 = 55o (pasangan segaris, suplemen) d. u ∠ 5 = 125o (dalam berseberangan, kongruen) e. u ∠ 6 = 55o (alam sepihak, suplemen) f. u ∠ 7 = 125o (sehadap, kongruen) g. u ∠ 8 = 125o (suplemen)APEMA4207/MODUL 4 4.212) Teorema: Jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut luar berseberangan kongruen. Diketahui: Dua garis p dan q sejajar. Buktikan: ∠ 1 ≅ ∠ 2 Bukti: Pernyataan Alasan 1. p//q 1. Diketahui. 2. ∠ 3 ≅ ∠ 4 2. Teorema 6. 3. ∠ 1 ≅ ∠ 3 3. Bertolak belakang. 4. ∠ 2 ≅ ∠ 4 4. Bertolak belakang. 5. ∠ 1 ≅ ∠ 2 5. Sifat transitif.A3) a. u ∠ 2 = 180o -120o = 60o b. u ∠ 3 = 180o -145o = 35o c. u ∠ 5 = u ∠ 2 = 60o d. u ∠ 6 = u ∠ 4 = 145o e. u ∠ 7 = u ∠ 3 = 35oa4) Karena m//n maka sudut sehadap kongruen, ∠ 1 ≅ ∠ 5 atau u ∠ 1 ≅ u ∠ 5 atau 2x + 4 = 3y + 6 2x – 3y = 6 – 4 2x – 3y = 2 …………………. (1) ∠ 1 dan ∠ 2 pasangan segaris maka u ∠ 1 + ∠ 2 = 180o (suplemen) 2x + 4 + 4y +6 = 180o 2x + 4y + 10 =180o 2x + 4y = 170o …………………….(2) (1) – (2) = 2x – 3y = 2 2x + 4y = 170 7y = 168 y = 24 …………………….....(3) Substitusi (3) ke (1)4.22 Geometri 2x – 3y =2 2x – 3. 24 = 2 2x – 72 = 2 2x = 74 x = 37.aJadi: u ∠ 1 = 2x + 4 = 2 . 37 + 4 = 78o u ∠ 2 = 4y + 6 = 4 . 24 + 6 = 102o u ∠ 5 = 3y + 6 = 3 . 24 + 6 = 78oa5) Bukti:a Pernyataan Alasan 1. AO ≅ DO 1. Diketahui. 2. ∠AOB ≅ ∠DOC 2. Bertolak belakang. 3. BD ≅ CD 3. Diketahui. 4. ∆AOB ≅ ∆DOC 4. Si-Su-Si. 5. ∠1 ≅ ∠ 2 5. BBSKK. 6. AB // CD 6. ∠1 dan ∠ 2 berseberangan dalam kongruen.A6) Diketahui Garis m dan n sejajar dipotong transversal. Buktikan ∠ 1 ≅ ∠ 2 Bukti: Alasan Pernyataan 1. Diketahui. 1. m // n 2. Teorema 6 (sudut dalam berseberangan). 2. ∠ 2 ≅ ∠3 3. Bertolak belakang. 3. ∠3 ≅ ∠1 4. Sifat transitif. 4. ∠1 ≅ ∠ 2PEMA4207/MODUL 4 4.237) Jawab a. ∠ 3 dengan ∠ 5; ∠ 4 dengan ∠ 6 b. ∠ 1 dengan ∠ 7; ∠ 2 dengan ∠ 8. c. ∠ 1 dengan ∠ 5; ∠ 2 dengan ∠ 6; ∠ 3 dengan ∠ 7; ∠ 4 dengan ∠ 8.8) Jawab: a. Bidang ABC dengan bidang DEF. b. Garis AB dengan DF; garis AB dengan garis EF; garis BC dengan garis DF; garis BC dengan garis DF; garis AC dengan garis DE; dan garis AC dengan garis EF.a9) a // b maka ∠ 1 ≅ ∠ 3 c // d maka ∠ 3 ≅ ∠ 11 Dengan sifat transitif didapat ∠ 1 ≅ ∠ 11, atau u ∠ 1 ≅ u ∠ 11 u ∠ 1 = 8x – 2 (Diketahui) u ∠ 11 = 7x + 11 (Diketahui) Jadi, 8x – 2 = 7x + 11 8x – 7x = 11 + 2 x = 13o ∠ 12 pasangan segari dengan ∠ 11. Jadi ∠ 11 dengan ∠ 12 suplemen, sehingga u ∠ 11 + u ∠ 12 = 180o u ∠ 11 = 7 x + 11o = 7 . 13° + 11o = 91o + 11o = 102o u ∠ 12 = 180o - 102o = 78o.a10) BuktiPernyataan Alasan1. ∠ 1 ≅ ∠ 2 1. Diketahui.2. AB // FC 2. ∠ 1 dan ∠ 2 sehadap.3. ∠ 2 dan ∠ 3 suplemen 3. Diketahui.4. FC // ED 4. Teorema 4.5. AB // ED 5. Teorema 4.4.24 Geometri RANGKUMAN Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam berseberangan kongruen. Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut luar berseberangan kongruen. Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut sehadapnya kongruen. Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal saling suplemen. TES FORMATIF 2 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) I. Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal maka sudut dalam berseberangan kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar. II Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar. A. I saja yang benar B. II saja yang benar C. I dan II benar D. I dan II salah2) Jika a memotong b pada gambar di samping maka .... A. u ∠ 1 + u ∠ 2 = 180o B. ∠ 1 ≅ ∠ 2 C. u ∠ 1 + u ∠ 2 ≠ 180o D. ∠ 1 ≅ ∠ 3PEMA4207/MODUL 4 4.253) Diketahui: m//n (perhatikan gambar di samping) u ∠ 1 = 8x – 8 u ∠ 3 = 10x + 8 u ∠ 2 dan u ∠ 4 berturut- turut .... A. 72o dan 108o B. 108o dan 72o C. 72o dan 72o D. 108o dan 108o4) Pada gambar di samping yang salah adalah .... A. u ∠ 1 = 117o B. u ∠ 2 = 117o C. u ∠ 3 = 77o D. u ∠ 4 = 117o5) Gambar yang menyatakan g // h adalah .... A. B. C. D.6) Gambar yang menyatakan AD // BC adalah .... D. A. B. C.a4.26 Geometri7) Dari gambar di samping A. u ∠ 1 = 101o; u ∠ 2 = 69o; u ∠ 3 = 101o B. u ∠ 3 = 79o; u ∠ 4 = 101o; u ∠ 5 = 79o C. u ∠ 5 = 79o; u ∠ 6 = 101o D. u ∠ 6 = 101o; u ∠ 7 = 111o a8) Jika a//b dan c//d (gambar di samping) u ∠ 1 = 6x + 13 u ∠ 2= 2x + 7 Maka .... A. x = 10o B. u ∠ 3 = 20o C. u ∠ 4 = 133o D. u ∠ 5 = 57o9) Dari gambar di samping A. u ∠ 2 = u ∠ 6 + u ∠ 5 B. u ∠ 1 = u ∠ 5 + u ∠ 3 C. u ∠ 2 = u ∠ 3 + u ∠ 4 D. u ∠ 4 = u ∠ 5 + u ∠ 610) Jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka pernyataan berikut benar, kecuali .... A. sudut dalam berseberangan kongruen dengan sudut luar berseberangan B. sudut dalam berseberangan kongruen C. sudut luar berseberangan kongruen D. sudut sehadap yang terbentuk kongruen Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.PEMA4207/MODUL 4 4.27Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yangbelum dikuasai.4.28 Geometri Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 11) B. Definisi.2) D. Definisi.3) C. Jelas.4) C. Perhatikan gambar.5) B. Sesuai teorema.6) A. Sesuai teorema.7) B. Sifat-sifat sudut pada segi tiga.8) B. Postulat kesejajaran.9) D. Sifat-sifat kesejajaran.10) B. Perhatikan ukuran sudutnya.Tes Formatif 21) C. Postulat kesejajaran.2) C. Jelas.3) D. u ∠ 1 = 180° – u ∠ 3, 8x – 8 (10x + 8), x = 10, u ∠2 = u ∠4 = 108o.4) B. Konsep suplemen dan konsep sudut bertolak belakang.5) C. Perhatikan ukuran sudut.6) D. Postulat kesejajaran.7) C. Konsep sudut suplemen dan sudut bertolak belakang.8) C. x = 20o, u ∠ 2 = 2(20) + 7 = 47o, u ∠ 4 = 180o – u ∠ 2 = 180o – 47o = 113o.9) D. Sudut luar segitiga.10) A. Konsep sudut pada kesejajaran.PEMA4207/MODUL 4 4.29 Daftar PustakaClemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984). Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison- Wesley Publishing Company.Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry Second Edition, New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A Viacom Company.Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Massachusetts: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.Rawuh (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi.Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978). Geometry, Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.Modul 5 Segitiga Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd. PENDAHULUANM odul 5 ini berjudul Segitiga, terdiri atas dua kegiatan belajar. Kegiatan Belajar 1 berjudul Segitiga yang berisi tentang pengelompokansegitiga berdasarkan sisinya dan berdasarkan sudut, teorema jumlah ukuransudut penurunan beberapa teorema kongruensi. Pada Kegiatan Belajar 2berisi tentang Teorema Pythagoras dan pembuktiannya, kongruensi segitiga,ketidaksamaan segitiga, ketidaksamaan dalam segitiga. Adapun tujuan pembelajaran khusus dari modul ini adalah Andadiharapkan dapat:1. membuktikan bahwa sudut alas segitiga sama kaki adalah kongruen;2. membuktikan bahwa jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o;3. menurunkan bukti Teorema kongruensi Su-Su-Si;4. membuktikan teorema tentang garis sumbu;5. membuktikan Teorema Pythagoras;6. menunjukkan perbandingan panjang sisi segitiga istimewa;7. menunjukkan syarat panjang sisi suatu segitiga agar segitiga itu ada;8. dapat menyusun sisi segitiga berdasarkan panjang sisinya.5.2 Geometri Kegiatan Belajar 1 Segitiga (Bagian 1)P engelompokan Segitiga Pengelompokan segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya atauukuran sudutnya.Definisi 5.1 Segitiga sembarang adalahsegitiga dengan sisi-sisinya tidaksama panjang satu sama lain(tidak ada sisi yang kongruensatu sama lain. Sisi-sisi AGHI tidak ada yang sama panjang, jadi AGHI adalah segitiga sembarang.Definisi 5.2 Segitiga lancip adalahsegitiga dengan ketiga sudutnyalancip (ukurannya kurang dari90°) Semua sudut ∆ABC lancip, jadi ∆ABC adalah segitiga lancip.Definisi 5.3 Segitiga siku-siku adalahsegitiga dengan satu sudutnyasiku-siku. ∠ D sudut siku-siku∆DEF adalah segitiga siku-siku. Sisi EF adalah hipotenusa (sisi miring). DEdan DF adalah kaki siku-siku.PEMA4207/MODUL 5 5.3Definisi 5.4 ∠G sudut tumpul Segitiga tumpul adalahsegitiga dengan satu sudutnyatumpul.∆GHI adalah segitiga tumpul.Definisi 5 Segitiga ‘sama sudut’segitiga (equiangular triangle)dengan tiga sudutnya kongruen. ∆JKL adalah segitiga samasudut.Catatan:Istilah segitiga sama sudut tidak ada di kita, karena akhirnya dapat dibuktikansama dengan segitiga sama sisi, padahal ini dua istilah berbeda.Definisi 5.6 Garis tinggi segitiga adalahsegmen dari titik sudut ke titik disisi di hadapannya (atauperpanjangannya) dengan tegaklurus. Untuk segitiga siku-siku dua garis tingginya berimpit dengan sisisegitiga. Pada segitiga tumpul, dua garis tingginya di luar segitiga dan tegaklurus pada perpanjangan sisi dihadapannya.5.4 GeometriSegitiga Samakaki Kita pelajari sifat penting dari segitiga samakaki.Apakah u ∠ B = u ∠ C? Apakah u ∠ A = u ∠ B? Apakah u ∠ A = u ∠ C?Teorema 5.1 Jika segitiga sama kaki, maka sudut alasnya kongruen.Bukti: Misal ∆ABC samakaki dengan AB ≅ AC.Diketahui: ∠ B ≅ ∠ C.Buktikan: Misal D titik tengah BC.Rencana: Buat AD dan buktikan bahwa ∆ABD ≅ ∆ACD. Pernyataan Alasan1. ∆ABC samakaki dengan 1. Diketahui. AB ≅ AC 2. Setiap segmen mempunyai2. D titik tengah BC satu titik tengah.3. ∆ABD ≅ ∆ACD 3. Segmen yang ditarik dari titik4. ∠ B ≅ ∠ C puncak ke titik tengah sisi di hadapannya membentuk dua segitiga yang kongruen. 4. BBSKK.Teorema 5.2 Jika segitiga sama sisi, maka segitiga itu segitiga sama sudut.Teorema 5.3 Jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka segitiga itu samakaki.PEMA4207/MODUL 5 5.5Ukuran Sudut SegitigaTeorema 5.4 Jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o.Bukti:Diketahui: Segitiga ABCBuktikan : u ∠ A + u ∠ B + u ∠ C = 180°Rencana: Konstruksi garis g melalui A sejajar BC, dan gunakan teorema relasi garis dan transversal. Garis g adalah garis bantu.a Pernyataan Alasan1. Misal g garis melalui A sejajar 1. Konstruksi.BC.2. ∠ 1 ≅ ∠ B, ∠ 2 ≅ ∠ C. 2. Jika dua garis sejajar, maka sudut dalam berseberangan kongruen.3. u ∠ 1 + u ∠ A + u ∠ 2 = 180°. 3. Definisi Keantaraan sinar dan Postulat Pasangan segaris.4. u ∠ B + u ∠A + u ∠ C = 180°. 4. Substitusi.Teorema 5.5 Sudut segitiga sama sisi masing-masing berukuran 60°.Teorema 5.6 Ukuran sudut luar segitiga sama dengan jumlah ukuran sudut dalamyang berjauhan.Teorema Kongruensi Sudut-Sudut-Sisi Pada segitiga-segitiga yang berkorespondensi berikut, dua sudut dansalah satu sisi di hadapan salah satu sudut itu kongruen. Apakah segitiga-segitiga tersebut kongruen satu sama lain?5.6 GeometriApakah ∆ABC ≅ ∆XYZ? Apakah ∆MNO ≅ ∆STU?Jawabannya adalah teorema berikut.Teorema 5.7 Teorema Su-Su-Si. Jika dua sudut dan satu sisi dihadapan satu sudut itukongruen dengan dua sudut dan sisi yang berkorespondensi dari segitigakedua, maka kedua segitiga itu kongruen.Berikut adalah buktinya.Diketahui: ∆ABC dan ∆DEF ∠ A ≅ ∠ D, ∠B≅∠E BC ≅ EFBuktikan: ∆ABC ≅ ∆DEFRencana: Akan digunakan informasi yang diketahui. Gunakan teorema jumlah ukuran sudut segitiga, kemudian untukmenunjukkan bahwa ∠ C ≅ ∠ F gunakan sifat pengurangan pada kesamaan,dan gunakan postulat Su-Si-Su. Pernyataan Alasan 1. Diketahui.1. ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E 2. Jumlah ukuran2. u ∠ A + u ∠ B + u ∠ C = 180° sudut segitiga. u ∠ D + u ∠ E + u ∠ F = 180° 3. Subsitusi.3. u∠A + u∠B + u∠C = u∠D + u∠E + u∠F. 4. Sifat4. u ∠ C = u ∠ F Pengurangan pada kesamaan.PEMA4207/MODUL 5 5.7 Pernyataan Alasan5. ∠ C ≅ ∠ F 5. Definisi6. BC ≅ EF Kongruensi7. ∆ABC ≅ ∆DEF Sudut. 6. Definisi Kongruensi sudut. 7. Su-Si-Si.Teorema Hipotenusa-Kaki Siku-siku Apakah pasangan segitiga berikut merupakan pasangan segitiga yangkongruen?AC ≅ DF GI ≅ JLBC ≅ EF GH ≅ JKTeorema 5.8 Teorema Hipotenusa sisi-siku-siku. Jika hipotenusa dan satu kaki siku-siku kongruen dengan hipotenusa dansatu kaki siku-siku dari segitiga kedua, maka kedua segitiga kongruen.Bukti ∆ABC dan ∆DEF, dengan ∠B danDiketahui: ∠E siku-siku BC ≅ EF , dan AC ≅ DF .Buktikan: ∆ABC ≅ ∆DEF.5.8 GeometriBukti: Alasan Pernyataan 1. Konstruksi. 2. Pilih G. 1. Buat sinar DE. 2. Pilih G pada DE sehingga 3. Diketahui. 4. Jika satu sudut pada pasangan EG ≅ AB. 3. ∠ ABC dan ∠ DEF siku-siku. segaris siku-siku, maka sudut 4. ∠ GEF siku-siku. pasangannya siku-siku. 5. Definisi Sudut siku-siku. 5. u ∠ ABC = u ∠ DEF = u ∠ GEF = 90°. 6. Definisi Sudut kongruen. 7. Diketahui. 6. ∠ ABC ≅ ∠ DEF ≅ ∠ GEF. 8. Su-Su-Si. 7. BC ≅ EF. 9. BBSKK. 8. ∆ABC ≅ ∆GEF. 10. Diketahui. 9. AC ≅ GF. 11. Sifat transitif kongruensi 10. AC ≅ DF. 11. GF ≅ DF. segmen. 12. Sudut alas segitiga. 12. ∠ FDE ≅ ∠ FGE. 13. Refleksif 13. EF ≅ EF. 14. Su-Su-Si. 14. ∆DEF ≅ ∆GEF. 15. Sifat transitif kongruen segitiga. 15. ∆ABC ≅ ∆DEF.Teorema 5.9 Jika titik P berjarak sama terhadap titik A dan B, maka P terletak padagaris sumbu dari AB. Kebalikannya (konversnya) satu titik pada garis sumbuAB berjarak sama terhadap A dan terhadap B.PEMA4207/MODUL 5 5.9 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Apakah masing-masing segitiga berikut lancip, siku-siku, atau tumpul? a. ∆ABD b. ∆ABC c. ∆ADE d. ∆BCD e. ∆ACE f. ∆DCEa2) Beri nama bagian dari segitiga siku- siku PQR di samping. a. Sudut siku-siku b. Sisi-sisi siku-siku c. Sisi miring (hipotenusa) d. Tinggia3) Pada ∆ABC, ∠ A ≅ ∠ C. Jika AB = 4x + 25; BC =2x + 45, dan AC = 3x – 15. Cari panjang ketiga sisi segitiga!a4) Buktikan bahwa sudut alas segitiga samakaki adalah kongruen. Bukti sebagai berikut. Misal ∆ABC segitiga samakaki dengan AB ≅ BC . Buktikan ∠ A ≅ ∠ C.5) Bila ditinjau dari sudut segitiga bisa lancip, siku-siku, atau tumpul, sedangkan bila ditinjau dari sisinya bisa sama sisi, sama kaki, atau sembarang. Bila tinjauan kita satukan maka ada 9 (sembilan) macam keadaan seperti tertera dalam tabel berikut.5.10 Geometri Sudut Sama sisi Sama kaki Sembarang Lancip Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan lancip lancip lancip Siku- Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan siku siku-siku siku-siku siku-siku Tumpul Sama sisi dan Sama kaki dan Sembarang dan tumpul tumpul tumpula6) Pada ∆ABC, AB ≅ AC . X titik tengah AB , Y titik tengah AC . XW ⊥ AB , YZ ⊥ AC . W dan Z pada BC . Buktikan: XW ≅ YZ .a7) Segi empat PQRS. Buktikan: u ∠ P + u ∠ Q + u ∠ R + u ∠ S = 360°a8) Perhatikan gambar di samping. Buktikan: u ∠ 1 + u ∠ 2 = u ∠ B + u ∠ C.a9) Diketahui: DE ⊥ AE DB ⊥ AB Buktikan: u ∠ CAB = u ∠ CDEa10) BE ≅ CD , BD dan CE garis tinggi. Buktikan: ∆ AED sama kaki.PEMA4207/MODUL 5 5.11Petunjuk Jawaban Latihan1) a. ∆ABD, u ∠ A = 29° + 39° = 68° u ∠ B = 44° u ∠ D = 68° Semua sudutnya lancip, maka ∆ABD lancip. b. ∆ABC, u ∠ A = 29° + 39° = 68° u ∠ B = 44° + 39° = 78° u ∠ C = 34° Semua sudutnya lancip, maka ∆ABC lancip. c. ∆ADE, u ∠ D = 68° + 67° = 135° (tumpul) Ada sudutnya yang tumpul, maka ∆ADE tumpul. d. ∆BCD, u ∠ D = 67° + 45° = 122° (tumpul) Ada sudutnya yang tumpul, maka ∆BCD tumpul. e. ∆ACE, u ∠ C = 56° + 34° = 90° Ada sudutnya yang merupakan sudut siku-siku. Jadi, ∆ACE segitiga siku-siku. f. ∆DCE, u ∠ C = 56° + 34° = 90° Ada sudutnya yang siku-siku. Jadi, ∆DCE segitiga siku-siku.a2) a. ∠ P atau ∠ RPQ atau ∠ QPR b. PR dan PQ c. QR d. PQ bila alasnya PR PR bila alasnya PQq3) ∆ABC dengan ∠ A ≅ ∠ C, dengan teorema 3 maka atau BC = AB. Diketahui: AB = 4x + 25 dan BC = 2x + 45 sehingga 4x + 25 = 2x + 45 4x – 2x = 45 – 25 2x = 20 x = 10.5.12 Geometri Panjang ketiga sisi segitiga ABC adalah: AB = 4 . 10° + 25° = 65°. BC = AB = 65°. AC = 3x – 15° = 3 . 10° – 15° = 15°.4) Bukti Pernyataan Alasan 1. AB ≅ BC 1. Diketahui. 2. ABC ≅ ∠ CBA 2. Refleksif. 3. Simetris. 3. BC ≅ AB 4. Si-Su-Si. 4. ∆ABC ≅ ∆CBA 5. BBSKK. 5. ∠ A ≅ ∠ Ca5) a. segitiga sama sisi dan lancip: segitiga sama sisi pasti lancip, segitiga sama sisi semua sudutnya lancip. b. segitiga sama sisi dan siku-siku: segitiga sama sisi tidak bisa salah satu sudutnya siku-siku. Jadi, tidak ada segitiga sama sisi dan siku- siku. c. segitiga sama sisi dan tumpul: segitiga sama sisi tidak bisa salah satu sudutnya tumpul. Jadi, tidak ada segitiga sama sisi dan tumpul. d. segitiga sama kaki dan lancip: yaitu segitiga sama kaki yang sudut puncaknya lancip. e. segitiga sama kaki dan siku-siku: segitiga siku-siku yang siku- sikunya sama panjang atau segitiga sama kaki yang sudut puncaknya siku-siku. f. segitiga sama kaki dan tumpul: segitiga sama kaki dengan sudut puncaknya tumpul.PEMA4207/MODUL 5 5.13 g. segitiga sembarang dan lancip: sisi-sisi segitiga tidak ada yang kongruen dan semua sudutnya lancip. h. segitiga sembarang dan siku-siku: segitiga siku-siku dengan sisi- sisinya tidak ada yang kongruen. i. segitiga sembarang dan tumpul: segitiga tumpul dengan sisi-sisinya tidak ada yang kongruen.a6) Bukti Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AC 1. Diketahui. 2. ∠ XBW ≅ ∠ YCZ 2. Sudut alas segitiga sama kaki. 3. AX ≅ XB 3. X titik tengah AB . 4. AY ≅ YC 4. Y titik tengah AC . 5. XB ≅ YC 5. Karena 1, 3, dan 4. 6. ∠ BXW ≅ ∠ BYZ 6. XW ⊥ AB dan YZ ⊥ AC . 7. ∆ BXW ≅ ∆ BYZ 7. Si-Su-Si dari 6, 5, dan 2. 8. XW ≅ YZ 8. BBSKK.a7) Bukti: Buat PR sehingga u ∠ P = u ∠ 1 + u ∠ 2 dan u∠R=u∠3+u∠4 Menurut teorema jumlah ukuran sudut segitiga: u ∠ S + u ∠ 2 + u ∠ 4 = 180° u ∠ Q + u ∠ 1 + u ∠ 3 = 180° + u ∠ S + u ∠ Q + u ∠ 1 + u ∠ 2 + u ∠ 3 + u ∠ 4 = 180° + 180°. u ∠ S + u ∠ Q + u ∠ P + u ∠ R = 360° atau u ∠ P + u ∠ Q + u ∠ R + u ∠ S = 360°.8) Bukti: Buat segmen BD beri nama sudut yang terbentuk dengan ∠ 3, ∠ 4, dan ∠ 5. E titik pada CD sehingga C – D – E.5.14 Geometri ∠ BDE adalah sudut luar ∆ BCD sehingga u ∠ BDE = u ∠ C + u ∠ 5 karena u ∠ BDE = u ∠ 2 + u ∠ 3 maka u ∠ 2 + u ∠ 3 = u ∠ C + u ∠ 5 atau dengan mengurangi dengan u ∠ 3 di kedua ruas didapat: u∠2=u∠C+u∠5−u∠3 …… (1) ∠ 1 adalah sudut luar ABD sehingga u ∠ 1 = u ∠ 3 + u ∠ 4 …… (2) (2) u ∠ 1 = u ∠ 3 + u ∠ 4 (1) u ∠ 2 = u ∠ C + u ∠ 5 − u ∠ 3 + u∠1+u∠2=u∠3+u∠4+u∠C +u∠5−u∠3 =u∠4+u∠C +u∠5 =u∠4+u∠5 +u∠C =u∠B+u∠C Jadi, u ∠ 1 + u ∠ 2 = u ∠ B + u ∠ C.9) ∠ 1 adalah sudut luar ∆ DCE, sehingga u ∠ 1 = u ∠ EDC + u ∠ DCE ………………(1) ∠ 2 adalah sudut luar ∆ ABC, sehingga u ∠ 2 = u ∠ CAB + u ∠ BCA ………………(2) Dari (1) karena DE ⊥ AE maka 90° = u ∠ EDC + u ∠ DCE Dari (2) karena DB ⊥ AB maka 90° = u ∠ CAB + u ∠ BCA ∠ DCE bertolak belakang ∠ BCA sehingga u ∠ DCE = u ∠ BCA. Jadi didapat: 90° = u ∠ EDC + u ∠ DCE 90° = u ∠ CAB + u ∠ DCE - 0 = u ∠ EDC – u ∠ CAB + u ∠ DCE – u ∠ DCE 0 = u ∠ EDC – u ∠ CAB atau u ∠ EDC = u ∠ CAB atau u ∠ CAB = u ∠ EDC. atau u ∠ CAB = u ∠ CDE.10) Bukti: BE ≅ CD , ∠ BEC ≅ ∠ CDB (siku-siku) BC ≅ CB ∆ BEC ≅ ∆ CDB CE ≅ BD ∠ ADB ≅ ∠ AEC (siku-siku)PEMA4207/MODUL 5 5.15 ∠ CAE ≅ ∠ BAD ∆ AEC ≅ ∆ ADB AE ≅ AD ∴ ∆ AED sama kaki. RANGKUMAN Pengelompokan segitiga dapat didasarkan pada sisinya dan didasarkan pada sudutnya. Sudut alas segitiga sama kaki kongruen; jika dua sudut segitiga kongruen maka sisi-sisi dihadapan sudut itu kongruen. Jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180o. Ukuran sudut luar sama dengan jumlah ukuran 2 sudut dalam segitiga yang berjauhan dengan sudut luar tersebut. Jika dua sudut dan salah satu sisi dihadapan sudut itu dalam satu segitiga kongruen dengan dua sudut dan satu sisi yang berkoresponden dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Su-Su-Si). Jika sisi miring dan satu sudut lancip dari segitiga siku-siku kongruen dengan sisi miring dan satu sudut lancip dan segitiga lancip maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Sisi miring-sudut lancip). Jika sisi miring dan satu sisi siku-siku dari segitiga siku-siku kongruen dengan sisi miring dan satu sisi siku-siku dari segitiga siku- siku kedua maka dua segitiga itu kongruen (Teorema Sisi miring-sisi siku-siku). Jika titik P berjarak sama dari sepasang titik A dan B maka P berada pada sumbu dari segmen AB. Konversnya, jika satu titik terletak pada sumbu dari AB maka titik itu berjarak sama terhadap A dan B. TES FORMATIF 1 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Ukuran dua sudut suatu segitiga adalah 50° dan 30°. Segitiga itu adalah segitiga .... A. lancip B. siku-siku C. tumpul D. siku-siku sama kaki5.16 Geometri2) Yang merupakan segitiga lancip sama kaki adalah segitiga dengan ukuran dua sudutnya .... A. 70° dan 55° B. 20° dan 20° C. 35° dan 45° D. 45° dan 45°3) Bentuk-bentuk segitiga berikut yang tidak mungkin adalah .... A. segitiga lancip sama kaki B. segitiga tumpul sama sisi C. segitiga siku-siku sama kaki D. segitiga dengan salah satu sudut lancip dengan ketiga sisinya tidak kongruen4) Manakah yang tidak ada .... A. segitiga siku-siku sama kaki B. segitiga siku-siku yang semua sisinya tidak ada yang kongruen C. segitiga tumpul tetapi ada sudutnya yang lancip D. segitiga lancip tetapi ada sudutnya yang tumpul5) Pada ∆DEF, DE ≅ EF . Jika DE = 4x + 15, EF = 2x + 45, dan DF = 3x + 15. Panjang sisi segitiga DEF adalah .... A. DE = 15, EF = 75, DF = 60 B. DE = EF = 15, DF = 60 C. DE = EF = 60, DF = 75 D. DE = EF = 75, DF = 606) Berdasarkan gambar di samping, pernyataan berikut benar, kecuali .... A. u ∠ 4 = u ∠ 1 + u ∠ 5 B. u ∠ 8 = u ∠ 1 + u ∠ 3 C. u ∠ 6 = u ∠ 7 + u ∠ 8 D. u ∠ 2 = u ∠ 8 + u ∠ 37) AB // DE u ∠ B =120° u ∠ D =170° Tentukan u ∠ CPEMA4207/MODUL 5 5.17 A. 20° B. 40° C. 60° D. 70°8) Misal AB ≅ DE an AC ≅ DF Jika BC = 2x - 3 dan EF = x + 5 maka BC = .... A. 8 B. 11 C. 13 D. 169) u ∠ BEC = 100°, u ∠ BAE = 65°, u ∠ ABE = .... A. 35° B. 65° C. 80° D. 100°10) Jika u ∠ 1 = x u ∠ 3 = 2x + 7 u ∠ 4 = 5x Maka u ∠ 2 adalah …. A. 3,5° B. 14,5° C. 17,5° D. 162,5° Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.5.18 Geometri Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 5 5.19 Kegiatan Belajar 2 Segitiga (Bagian 2)Teorema Pythagoras Contoh 1 sampai dengan 3, bagaimana cara membilang persegi satuankecil untuk memperlihatkan bahwa luas persegi A bersama persegi B samadengan luas persegi C.Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3Teorema 5.10 Teorema Pythagoras. Jika suatu segitiga siku-siku maka kuadrat panjangsisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-siku segitigatersebut.Bukti: Segitiga siku-siku ACB dengan panjang sisi miring c danDiketahui: panjang sisi siku-sikunya a dan b.Buktikan: c2 = a2 + b2 Buatlah persegi pada segitiga ABC seperti terlihat pada Contoh 3.Persegi pada a mempunyai luas a2, Persegi pada b mempunyai luas b2,Persegi pada c mempunyai luas c2. Persegi pada sisi c memuat 4 segitigakongruen dengan ∆ABC dengan masing-masing luasnya adalah 1 a b, dan 2sebuah persegi yang panjang sisinya adalah a-b, luasnya adalah (a-b)2, olehkarena itu:5.20 Geometri c2 = 4( 1 ab) + (a − b)2 2 = 2ab + (a2 − 2ab + b2 ) = a2 + b2.Konvers dari teorema Pythagoras juga benarTeorema 5.11 Jika ∆ABC mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, dan c sehingga c2= a2 +b2, maka segitiga ABC siku-siku.ContohSegitiga dengan panjang sisinya 2 2 , 7 , dan 1.Karena ( 7 )2 + 12 = 7 + 1 = 8 = ( 2 2 )2, jadi segitiga ABCsiku-siku di A.Segitiga Istimewa bbb Segitiga 45-45-90 terbentuk Segitiga 30-60-90 terbentukdua sisi dari persegi dan oleh garis tinggi dari segitigadiagonalnya. sama sisi.PEMA4207/MODUL 5 5.21Teorema 5.12 Panjang sisi miring segitiga 45-45-90 adalah 2 kali panjang sisi siku.Teorema 5.13 Panjang sisi siku-siku segitiga 30-60-90 berturut-turut 1 3 kali 2panjang sisi miring, dan 1 kali panjang sisi miringnya sikunya. 2 Teorema 3 silakan buktikan, berikut bukti Teorema 4, denganmenggunakan Teorema Pythagoras pada ∆ACD di atas:x2 = ( AC )2 +  1 2  2 x ( AC )2 = x2 − x2 = x 2  − 1 4 1 4 AC = 3x = 3  x  = 3 (x) 4  2  2 Dua teorema di atas dapat digunakan untuk mencari panjang sisi-sisisegitiga istimewa. Contoh 1 Contoh 2Bila AC = 12, berapa x? Bila EF = 16, berapa e dan f?x 2 = 12x = 12 2 = 12 2 = 6 2 f = 1 .16 = 8 2 22 2 e = 3.f = 3.8 = 8 3.5.22 GeometriTeorema Konkurensi Segitiga Konstruksi sumbu tiap sisi, segitiga, kemudian dugalah bagaimana jaraktitik sudut ke perpotongan sumbu. Bagaimana OA, OB, dan OC?Teorema 5.14 Sumbu sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik dan berjarak samaterhadap tiga titik sudut segitiga.Bukti:Diketahui: Segitiga ABC, dengan ketiga sumbu sisi-sisinya g1, g2, dan g3.Buktikan: g1, g2, dan g3 kongkuren di titik O, dan OA = OB = OC.a Pernyataan Alasan 1. g1 adalah sumbu sisi AB 1. Diketahui 2. g2 adalah sumbu sisi BC 2. Diketahui 3. g1dan g2 berpotongan di 3. AB tidak sejajar BC, g1 tidak sejajar O g2 4. OA = OB 4. Titik pada sumbu berjarak sama terhadap ujung segmen. 5. OB = OC 5. ∆ ADA ≅ ∆DBD 6. OA = OC 6. Sifat transitif kesamaan 7. O terletak pada sumbu 7. Titik berjarak sama terhadap dua sisi AC titik adalah sumbu segmen yang ditentukan oleh titik itu. 8. O pada g1, g2, g3, dan 8. 4 – 7 OA = OB = OC.PEMA4207/MODUL 5 5.23 Pada ∆ABC tiga garis bagi sudut telah terkonstruksi. Bagaimana IX, IY, dan IZ, bandingkan!Teorema 5.15 Garis bagi sudut pada segitiga konkuren pada titik I yang berjarak samaterhadap tiga sisinya. Titik yang ditentukan olehsumbu sisinya dan garis bagimerupakan pusat lingkaran yangberkoresponden dengan segitiga.Lingkaran O memuat tiga titiksudut ∆ABC. Pusatnya adalah titikpotong sumbu. Jari-jari OA.Lingkaran O disebut lingkaranluar segitiga.a Lingkaran I menyinggungsetiap sisi ∆RST tepat padasatu titik. Pusatnya adalahperpotongan garis bagi sudutsegitiga. Jari-jarinya adalahIW. Lingkaran I disebutlingkaran dalam segitiga.5.24 Geometri Bila kita konstruksi satu segitiga dan ketiga garis tingginya, kita lihatbahwa garis itu konkuren.Teorema 5.16 Ketiga garis tinggi segitiga konkuren. Untuk setiap segitiga terdapat tiga segmen yang disebut garis berat(median).Definisi 5.7 Median atau garis berat segitiga adalahsegmen yang menghubungkan titik sudut ketitik tengah sisi di hadapannya. a Terdapat hubungan garis berat, seperti terlihatpada gambar di samping. Bagaimana panjang garis berat terpotong garisberat lainnya? Inilah teoremanya,Teorema 5.17 Garis berat segitiga berpotongan di satu titik yang membagi garis berattersebut dengan perbandingan 2:1.PEMA4207/MODUL 5 5.25Ketidaksamaan Segitiga Berikut ini tiga contoh tentang panjang sisi-sisi segitiga, yangmenghendaki perlunya ada postulat. Amati segitiga-segitiga berikut. Postulat Ketidaksamaan Segitiga. Jumlah panjang dua sisi segitiga lebihbesar dari panjang sisi yang ketiga.u∠Z<u∠X u∠J<u∠K u∠P<u∠QMana yang lebih pendek Mana yang lebih Mana yang lebihXY atau YZ? pendek JL atau LK? pendek PR atau QR?Teorema 5.18 Jika dua ukuran dua sudut segitiga tidak sama, maka panjang sisi dihadapan sudut yang lebih kecil juga lebih kecil dari sisi di hadapan sudutyang lebih besar.BuktiDiketahui: ∆ABC dengan u ∠ B < u ∠ B.Buktikan: AC < BC.5.26 Geometri Pernyataan Alasan1. u ∠ B < u ∠ A 1. Diketahui.2. Ada D pada BC sehingga 2. Postulat busur derajat. u ∠ BAD ≅ u ∠ B 3. Jika dua sudut segitiga kongruen,3. AD ≅ BD sisi dihadapan kongruen.4. AD = BD 4. Akibat dari 3.5. AC < AD + DC 5. Postulat ketidaksamaan segitiga.6. AD + DC = BD +DC 6. Sifat penambahan kesamaan.7. BD + DC = BC 7. Definisi keantaraan titik.8. AC < BC 8. Prinsip substitusi.Teorema 5.19 Jika panjang dua sisi segitiga tidak sama, maka ukuran sudut dihadapansisi lebih pendek, lebih kecil dari ukuran sudut dihadapan sisi yang lebihpanjang. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Sebuah tangga yang panjangnya 3 m bersandar di dinding, jarak pangkal tangga (bagian bawah tangga) ke dinding 1 m. Berapa tinggi ujung tangga dari bawah?2) Dengan dua persegi di bawah ini panjang sisinya a + b tunjukkan

kebenaran Teorema Pythagoras!

Page 2

PEMA4207/MODUL 1 1.41 Ilustrasi Postulat PenjelasanPostulat Perpotong- Untuk menjaminan Bidang bidang rata. Kita menghendaki Jika dua bidang Perpotongan hanyaberpotongan maka satu garis, bukan dua.perpotongannya tepatsatu garis.Postulat Dua Titik, Untuk menjaminGaris, Bidang bahwa bidang rata, Jika dua titikpada bidang, maka kita menghendaki satugaris yang memuatkedua titik itu terletak bidang memuat semuapada bidang. titik dari garis bilaPostulat PemisahBidang diketahui bahwa itu Misalkan N memuat dua titik dariadalah bidang dan gadalah garis pada N. garis.Titik dari bidang Dikehendaki garistidak pada gmembentuk setengah memisahkan bidangbidang sedemikian menjadi dua setengahsehingga: bidang. Ini digunakana. Masing-masing untuk memutuskan bilamana dua titik setengah bidang terletak pada sisi yang adalah himpunan sama dari garis atau di cembung seberangnya. (konveks).b. Jika P di salah satu setengah bidang dan Q pada setengah bidang lain, maka segmen PQ memotong g.1.42 Geometri Postulat Penjelasan IlustrasiPostulat Pemisah Kita menghendakiRuang bidang membagi ruang ke dalam Misal N adalah setengah ruang.bidang. Semua titik Postulat ini digunakanpada ruang tidak pada untuk memutuskanN terbagi menjadi bilamana dua titiksetengah ruang berada pada setengahsedemikian sehingga: bidang yang sama,a. Masing-masing atau berseberangan. setengah ruang Kita menghendaki adalah himpunan hanya satu garis yang konveks. melalui titik yangb. Jika titik A pada diketahui tegak lurus salah satu garis yang diketahui. setengah ruang, dan B di setengah ruang lainnya, maka segmen AB memotong (menembus) bidang N.Postulat Tegak lurus Diketahui satutitik dan garis padabidang, terdapat tepatsatu garis yangmelalui titik dan legaklurus pada garis yangdiketahui. Postulat penting lainnya akan disajikan pada bahasan berikutnya.PEMA4207/MODUL 1 1.43Postulat Contoh dan IlustrasiPostulat Penggaris AB = |3 - 10| = |10 - 3| = 7a. Setiap pasang titik AB = |10 - 17| = |17 - 10| = 7 berkorespondensi dengan satu bilangan positif yang unik, Contoh di atas menyarankan bahwa bilangan itu dinamakan jarak antara dua titik. tidak apa-apa dimanapunb. Titik pada garis berpasangan satu-satu dengan bilangan real sehingga jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih bilangan yang bersesuaian menempatkan penggaris karena panjang segmen adalah nilai mutlak dari selisih dua bilangan yang bersesuaian dengan titik ujung segmen. Contoh: AB = | 3 – (-2) | = 5 BC = | 18 – 3 | = 15 AC = | -2 – 19 | = 20Definisi 2-6:Titik B di antara A dan C jika danhanya jika A, B, dan C segaris danAB + BC = AC.Postulat Busur Derajat Contoh: Tentukan u ∠ ABC, ua. Setiap sudut berkorespon- ∠ CBD, dan u ∠ ABD densi dengan bilangan antara u ∠ ABC = |42 - 20| = 22 0 sampai dengan 180 secara unik, yang disebut ukuran sudut.b. Misal P adalah satu titik pada tepi setengah bidang H. Tiap sinar pada setengah bidang1.44 GeometriPostulat Contoh dan Ilustrasi itu atau dengan pangkal P dapat dipasangkan satu-satu u ∠ CBD = |77 - 42| = 35 dengan 0 < n < 180, u ∠ ABD = |77 - 20| = 57 sedemikian sehingga ukuran sudut yang terbentuk oleh pasangan sinar tak segaris dengan titik sudut P adalah nilai mutlak selisih bilangan yang bersesuaian.Definisi 2.7BC di antara BA dan BD jikadan hanya jika BA, BC , dan BDsebidang dan u ∠ ABC + u ∠CBD = u ∠ ABD Ada dua versi postulat yang didaftarkan di sini yang pertama postulatyang sebagian sudah tertuliskan terdahulu yang selanjutnya akan dipakaidalam rangka penyelesaian masalah dan soal buku ini, yang kedua adalahpostulat SMSG (School Mathematics Study Group, diambil dari buku RoadTo Geometry, karangan Wallace. Kumpulan Postulat Geometri Stanley R Clemen:1. Postulat Keberadaan titik. Ruang itu ada dan paling sedikit memuat empat titik tak sebidang (nonkoplanar), tak segaris (noncollinear). Bidang memuat paling sedikit tiga titik noncollinear. Garis memuat paling sedikit dua titik.2. Postulat Titik-Garis. Dua titik dimuat oleh satu dan hanya satu garis.3. Postulat Titik-Bidang. Tiga titik noncollinear (tak segaris) dimuat oleh satu dan hanya satu bidang.4. Postulat Perpotongan Bidang. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya satu garis.5. Postulat dua Titik, garis, bidang. Jika dua titik pada bidang maka garis yang memuat kedua titik itu juga pada bidang.PEMA4207/MODUL 1 1.456. Postulat Pemisahan Bidang. Misal N adalah bidang dan g adalah garis pada N. Suatu titik pada N tidak pada g membentuk dua setengah bidang sedemikian sehingga, a. masing-masing setengah bidang merupakan himpunan cembung. b. jika P pada salah satu setengah bidang dan Q pada setengah bidang lainnya, maka PQ memotong g.7. Postulat Pemisahan Ruang. Misal N adalah bidang dalam ruang. Suatu titik di dalam ruang tidak pada bidang N membentuk setengah ruang, sedemikian sehingga: a. masing-masing setengah ruang merupakan himpunan cembung. b. jika A pada suatu setengah ruang, dan B di setengah-ruang lainnya, maka AB memotong (menembus) bidang N.8. Postulat Tegak lurus. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat tepat satu garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Diketahui bidang dan titik tidak pada bidang itu, terdapat tepat satu garis melalui titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.9. Postulat Penggaris. a. Untuk setiap pasang titik berkorespondensi secara unik satu bilangan positif yang disebut jarak antara titik. b. Titik pada garis dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan real sehingga jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih antara bilangan yang berhubungan.10. Postulat Busur derajat. Masing-masing sudut berkorespondensi secara unik bilangan antara 0 dan 180 yang disebut ukuran sudut. Misal P adalah titik pada tepi dari setengah bidang H. Tiap sinar pada setengah bidang atau sisi dengan titik pangkal P terpasangkan satu-satu dengan bilangan real n dengan 0 < n < 180, sedemikian sehingga ukuran sudut yang terbentuk pasangan sinar yang tidak segaris (nonkolinier) adalah nilai mutlak selisih bilangan yang terpasangkan.11. Postulat Kongruensi Si-Su-Si. Jika dua sisi dan sudut yang diapitnya dari segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sisi dan satu sudut yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.12. Postulat Su-Si-Su. Jika dua sudut dan satu sisi yang diapitnya dari segitiga pertama kongruen berturut-turut dengan dua sudut dan satu sisi yang diapitnya dari segitiga kedua maka dua segitiga itu kongruen.1.46 Geometri13. Postulat Si-Si-Si. Jika semua sisi dari satu segitiga kongruen berturut- turut dengan semua sisi dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu kongruen.14. Postulat Pasangan Segaris. Jika dua sudut membentuk pasangan segaris, kedua sudut saling suplemen.15. Postulat Kesejajaran. Diketahui garis g, dan titik P tidak pada g terdapat hanya satu garis melalui P sejajar g.16. Postulat Ketidaksamaan Segitiga. Jumlah dari panjang dari dua sisi suatu segitiga lebih besar dari panjang sisi yang ketiga.17. Postulat Kesebangunan Su-Su-Su. Jika tiga sudut dari satu segitiga kongruen dengan sudut dari segitiga kedua, maka dua segitiga itu kongruen.18. Postulat Penambahan Busur. Jika titik C pada AB, maka u AC + u CB = u AB.19. Postulat Luas. Bilangan positif yang unik disebut luas dapat dikaitkan dengan daerah poligon. Luas daerah dinotasikan dengan A (R).20. Postulat Luas Daerah Kongruen. Jika dua persegi panjang atau dua segitiga kongruen, maka daerah yang dibatasinya mempunyai luas yang sama.21. Postulat Penambahan Luas. Jika daerah segi banyak merupakan gabungan dari n daerah poligon yang tidak bertumpuk, maka luasnya adalah jumlah luas dari n daerah tersebut.22. Postulat Luas Persegi Panjang. Luas persegi panjang dengan panjang p dan lebar g adalah pg.23. Postulat Volum. Setiap benda ruang terkait dengan unik satu bilangan positif yang disebut volum.24. Postulat Volum Balok. Volum balok sama dengan perkalian antara panjang, lebar, dan tingginya.25. Postulat Penambahan Volum. Jika benda ruang merupakan gabungan dua benda ruang yang tidak beririsan di interiornya, maka volumnya adalah jumlah dari volum dua benda tersebut.26. Postulat Cavalieri. Misal S dan T dua benda ruang dan X adalah bidang. Jika setiap bidang sejajar X yang memotong S juga T dengan penampang dengan luas yang sama, maka volum S = volum T. Untuk pembanding, di sini ditulis postulat geometri versi lain. yaituPostulat Geometri Euclid model SMSG (School Mathematics Study Group):PEMA4207/MODUL 1 1.47Postulat 1. Diberikan dua titik berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat titik itu.Postulat 2. (Postulat jarak). Setiap dua titik berbeda berkorespondensi dengan satu bilangan real positif.Postulat 3. (Postulat penggaris). 1) Setiap titik pada garis dapat berkorespondensi 1-1 dengan satu bilangan real; 2) Setiap bilangan real dapat berkorespondensi 1-1 dengan titik pada garis; 3) Jarak antara dua titik berbeda adalah nilai mutlak selisih dua bilangan yang berkorespondensi (dengan kedua titik itu).Postulat 4. (Postulat penempatan penggaris). Diketahui dua titik P dan Q pada garis, sistem koordinat dapat dipilih dengan P berkoordinat nol dan Q berkoordinat positif.Postulat 5. a) Setiap bidang memuat paling sedikit tiga titik yang tidak kolinier, b) Ruang memuat paling sedikit empat titik yang tidak sebidang.Postulat 6. Jika dua titik pada bidang, maka garis yang memuat titik itu terletak pada bidang tersebut.Postulat 7. Setiap tiga titik berada paling sedikit di satu bidang, dan setiap tiga titik yang tak segaris berada tepat pada satu bidang.Postulat 8. Jika dua bidang berpotongan, perpotongannya berupa garis.Postulat 9. (Pemisahan bidang) Diketahui satu garis dan bidang yang memuatnya, titik-titik pada bidang tidak terletak pada garis membentuk dua himpunan sehingga, 1) masing-masing himpunan cembung. 2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain. maka segmen PQ memotong garis.Postulat 10. (Pemisahan ruang). Titik-titik di ruang yang tidak terletak pada bidang yang diketahui membentuk dua himpunan sehingga. 1) masing-masing himpunan cembung. 2) jika P di suatu himpunan dan Q di himpunan yang lain, maka segmen PQ menembus bidang.Postulat 11. (Postulat ukuran sudut) Setiap sudut berkorespondensi dengan bilangan real antara 0o dan 180o.Postulat 12. (Postulat konstruksi sudut) Misal AB adalah sinar pada sisi setengah bidang H. Untuk setiap r antara 0o dan 180o terdapat1.48 Geometri tepat satu sinar AP dengan P di H sedemikian sehingga m ∠ PAB = rPostulat 13. (Postulat penjumlahan sudut). Jika D adalah titik di interior ∠ BAC. maka u ∠ BAC= u ∠ BAD + u ∠ DAC.Postulat 14. (Postulat suplemen) Jika dua sudut merupakan pasangan segaris, kedua sudut itu saling suplemen.Postulat 15. (Postulat Sisi-Sudut-Sisi). Diberikan korespondensi antara dua segitiga (atau antara suatu segitiga dengan dirinya). Jika dua sisi dan satu sudut yang diapitnya pada segitiga ke satu masing- masing kongruen dengan bagian yang berkorespondensi pada segitiga kedua. maka korespondensi tersebut merupakan kongruensi.Postulat 16. (Postulat kesejajaran) Melalui titik di luar garis yang diketahui terdapat paling banyak satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.Postulat 17. Setiap daerah poligon (segi banyak) berkorespondensi dengan satu bilangan positif yang disebut luas.Postulat 18. Jika dua segitiga kongruen, maka luasnya sama.Postulat 19. Misal daerah R merupakan gabungan dari daerah Rl dan R2 yang pemotongannya di berhingga segmen dan titik maka luas R adalah jumlah dari luas R1 dan R2.Postulat 20. Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar.Postulat 21. Volume paralelepipidum adalah perkalian antara luas dan tingginya.Postulat 22. (Prinsip Cavalieri). Diberikan dua benda (pejal) dan bidang. Jika setiap bidang yang sejajar dengan bidang yang diketahui memotong benda membentuk daerah dengan luas yang sama maka kedua benda tersebut mempunyai volume yang sama. Dari dua kelompok postulat geometri ini nampak kelompok pertamalebih mudah dipahami dibanding postulat di kelompok kedua. Adakemudahan seperti postulat kongruensi Si-Si-Si dan postulat kongruensi Su-Si-Su dikelompok pertama dinyatakan postulat namun dikelompok dua tidakada dan itu dinyatakan sebagai teorema dan tentu dituntut dibuktikan.Nampaknya itu yang mengakibatkan jumlah postulat lebih banyak (kelompoksatu ada 26 postulat. kelompok dua ada 22 postulat).PEMA4207/MODUL 1 1.49 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Lengkapilah pernyataan berikut dengan kata: titik, garis, bidang, atauruang. Tuliskan nomor postulat yang menyiratkan hal tersebut. (Dari daftarpostulat pertama/postulat geometri Stanley R. Clemen).1) Jika dua titik pada bidang maka ... yang memuatnya terletak pada bidang.2) Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya tepat satu ....3) Pada bidang terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Untuk nomor 4 sampai dengan 6 jawablah pertanyaan kemudiansebutkan postulat mana (nomor postulat daftar pertama) yang digunakanuntuk menjawab pertanyaan itu.4) Ada berapa garis dapat dibuat melalui empat titik tak kolinier? Lima titik tak kolinier? Enam titik dan n titik?5) Jika A dan B titik pada bidang α maka AB tidak mempunyai titik yang tidak terletak pada α.6) Dua bidang β dan γ yang berpotongan tidak dapat memuat dua garis potong berbeda g dan m. Untuk nomor 7 sampai dengan nomor 10, carilah yang sesuai denganyang ditanyakan!7) Setelah dipasangkan busur derajat dengan benar sinar AB menunjuk 67o, besar ∠ BAC = 30o. Bilangan berapa yang ditunjukkan sinar AC ?8) Jika m AB = 12, koordinat A adalah 30 berapa koordinat B?9) Jika titik A, B, dan C kolinier (segaris). Jika koordinat A lebih kecil dari koordinat B. Koordinat B lebih kecil dari koordinat C. Apakah B berada di antara A dan C?10) Jika S di antara R dan T, ST = 6, RS = 10. Carilah RT!1.50 GeometriPetunjuk Jawaban Latihan1) Postulat 5. Jika dua titik pada bidang maka garis yang memuat kedua titik itu juga pada bidang.2) Postulat 4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya satu garis.3) Postulat 8. Diketahui titik dan garis pada bidang, terdapat tepat satu garis melalui titik tegak lurus terhadap garis yang diketahui. Diketahui bidang dan titik tidak pada bidang itu. Terdapat tepat satu garis melalui titik dan tegak lurus terhadap garis yang diketahui.4) Postulat 2. 2 titik terdapat satu garis (yaitu 2.1 = 1) 2 3 titik terdapat satu garis (yaitu 3.2 = 3) 2 4 titik terdapat satu garis (yaitu 4.3 = 6) 2 5 titik terdapat satu garis (yaitu 5.4 = 10) 2 6 titik terdapat satu garis (yaitu 6.5 = 15) 2 N titik terdapat n (n −1) garis. 2PEMA4207/MODUL 1 1.515) Maksud AB tidak mempunyai titik yang tidak terletak pada α adalah semua titik pada AB terletak pada α ini tidak lain dari postulat 5.6) Jika bidang β dan γ bidang memuat garis g artinya garis merupakan perpotongan antara bidang β dan γ. Tidak ada perpotongan yang lain selain satu garis, jadi g dan m merupakan garis yang sama.7) Misalkan selisih antara c dengan 67 adalah 30 maka 67 – c = 30 → c = 47 67 – c = –30 → c = 97 Jadi sinar AC menunjukkan ke bilangan 37 atau 97.8) Misalkan selisih antara B dengan 30 adalah 12 maka | 30 – B | = 12 30 – B = 12 → B = 42 30 – B = 12 → B = 18 Jadi koordinat B adalah 18 atau 42.9) Koordinat A < Koordinat B Koordinat B < Koordinat C Dapat disimpulkan bahwa koordinat A < koordinat B < koordinat C maka titik B di antara A dan C.10) S di antara R dan T dapat digambarkan Dari diagram didapat RT = 10. RANGKUMAN Postulat geometri adalah titik tolak kebenaran dari geometri,merupakan aturan main. Postulat adalah kebenaran yang disepakati,tidak perlu dibuktikan. Kita terima postulat suatu kebenaran dandigunakan untuk membuktikan teorema.1.52 Geometri TES FORMATIF 3 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Diketahui ∆ ABC dan ∆ SPT dengan CA ≅ TS , ∠ A ≅ ∠ S, AB ≅ SP dapat disimpulkan ∆ ABC ≅ ∆ SPT dengan .... A. postulat Si-Su-Si B. postulat Su-Si-Su C. postulat Si-Si-Si D. postulat Penggaris2) Terdapat tepat satu .... melalui titik yang diketahui dan tegak lurus terhadap bidang yang diketahui. A. titik B. garis C. bidang D. ruang3) Bidang memisahkan .... menjadikan dua setengah ruang. A. titik B. garis C. bidang D. ruang4) Berapa garis dapat dibuat melalui enam titik yang tiap tiga titik tidak kolinier? A. 6 B. 10 C. 15 D. 215) Titik A, B, dan C kolinier (segaris) jika AB = 23, BC = 7, dan AC = 16. A. A di antara B dan C B. B di antara A dan C C. C di antara A dan B D. tidak dapat ditentukan6) Jika u ∠ ABC = 40o pada busur derajat sinar BA menunjukkan 90o maka sinar BA menunjuk .... A. 70o atau 110oPEMA4207/MODUL 1 1.53 B. 50o atau 130o C. 50o D. 130o7) PR di antara PQ , dan PS jika dan hanya jika PR , PQ , dan PS komplanor (sebidang) dan .... A. u ∠ QPR + u ∠ QPS = u ∠ RPS B. u ∠ RPS + u ∠ QPS = u ∠ QPR C. u ∠ QPR + u ∠ RPS = u ∠ QPS D. u ∠ QPS + u ∠ QPR = u ∠ RPS8) I. Jika A, B, dan C kolinier (segaris) AB = 17, AC = 5, BC =12 maka C di antara A dan B. II. Jika S, R, dan T kolinier, SR = 3, RT = 3, ST = 8 maka S di antara R dan T. A. I dan II benar B. I saja yang benar C. II saja yang benar D. I dan II salah9) I. Melalui dua titik terdapat tepat satu garis. II. Ruang memuat paling sedikit empat titik. A. I dan II benar B. I saja yang benar C. II saja yang benar D. I dan II salah10) A. DC memotong (menembus) bidang EFGH B. EF memotong (menembus) bidang ABCD C. DF memotong (menembus) bidang EBCH D. AH memotong (menembus) bidang BFGC Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.1.54 Geometri Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 1 1.55 Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 11) B Konsep sudut.2) D Titik D di luar garis.3) C ∆ ADE, ∆ CDE, ∆ BCD, ∆ ABC, ∆ ACD.4) C Jelas.5) D 2(20o + 30o) = 100o.6) A 90o + 1 (90o) = 135o. 27) D 12  = 12! = 12.11 = 66 .    2  2!10! 28) C Jelas.9) C Jelas.10) C Jarak maksimum 12 km, coba analisis dengan 2 lingkaran masing- masing berjari-jari 5 km dan 7 km.Tes Formatif 21) C Jelas.2) C Konsep negasi dari pernyataan.3) C Invers suatu pernyataan.4) C Sifat garis berat segitiga.5) C Jelas.6) C Jelas.7) B Negasi pernyataan.8) A Kontra positif suatu pernyataan.9) A Penarikan kesimpulan.10) D Sifat sudut pada segitiga.Tes Formatif 31) A Dua sisi, satu sudut.2) C Postulat tegak lurus.3) D Postulat pemisahan ruang.4) C 6 6! = 6.5 = 15 .  =  2 9!2! 25) C Postulat titik, garis.1.56 Geometri6) B | 90 – c | = 40 → c = 50 atau c = 130.7) D Penjumlahan sudut.8) B Postulat titik, garis.9) A Postulat keberadaan titik.10) C Jelas berdasarkan gambar.PEMA4207/MODUL 1 1.57 Daftar PustakaClemen, Stanley R., O'Daffer, Phares G., dan Cooney, Thomas J. (1984). Geometry with Application and Problem Solving. California: Addison- Wesley Publishing Company.Wallace, Edward C., dan West, Stephen F. (1998). Roads to Geometry Second Edition. New York: Prentice Hall Inc. Simon & Schuster/A Viacom Company.Moise, Edwin E. (1970). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Massachusett: Addisson-Wesley Publishing Company, Inc.Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi.Ulrich, James F., Czarnec, Fred F., dan Guilbault, Dorothy. (1978). Geometry. Third Ed. New York: Harcourt Brace Jovanovich.Modul 2 Kongruensi Segitiga Drs. Mohamad Rahmat, M.Pd.PENDAHULUANM odul ini membahas kongruensi segitiga, terdiri atas dua kegiatan belajar. Pertama berjudul Pengertian Kongruensi berisi pengertiankongruensi antara dua segitiga dan postulat-postulat kongruensi segitiga.Kedua berjudul Alat pembuktian Kongruensi, yakni apa saja yang dapatdigunakan untuk menyimpulkan dua segitiga kongruen, yaitu postulat,definisi, kongruensi segmen, dan kongruensi sudut. Kemudian bagaimanamembuktikan kongruensi secara bertahap. Dengan modul ini Anda diharapkan mengetahui dan memahami konsepkongruensi. Adapun tujuan pembelajaran khusus modul ini Anda diharapkandapat:1. memahami definisi dua segitiga kongruen;2. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan postulat kongruen (Si- Su-Si, Su-Si-Su, Si-Si-Si);3. menyimpulkan dua segitiga kongruen berdasarkan definisi dan postulat;4. menyimpulkan dua sudut/segmen kongruen yang merupakan komponen dari segitiga-segitiga kongruen;5. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga yang berpadu pada bentuk-bentuk lain;6. menyimpulkan kongruensi antara segmen, sudut atau segitiga secara bertahap.2.2 Geometri Kegiatan Belajar 1 Pengertian KongruenSEGITIGA KONGRUEN Secara intuitif dua segitiga kongruen jika kedua bentuk segitiga tersebutdapat dihimpitkan satu sama lain, pengujiannya bisa dilakukan denganmengusahakan menghimpitkan kedua bentuk tersebut, caranya bisa denganpenjiplakan. Intuisi ini mengarahkan kita pada definisi berikut.Definisi 2.1 Dua segitiga kongruen jikaterdapat korespondensi antara titik-titik sudut sehingga tiap pasang sisidan sudut yang berkorespondensikongruen. Gambar 2.1 Terdapat koresponden antara titik sudut yaitu A ↔ B, B ↔ E, danC ↔ F sehingga AB ≃ DE, BC ≃ EF, AC ≃ DF, dan ∠A ≃ ∠D, ∠B ≃ ∠E,∠C ≃ ∠F . Jadi, ∆ABC ≃ ∆DEFPOSTULAT KONGRUENSI Jika kita mengkonstruksi segitiga dengan diberi tiga dari enam bagiansegitiga, kita akan mendapatkan satu ukuran dan bentuk segitiga secaralengkap.1. Dua sisi dan satu sudut yang diapit.2. Dua sudut dan satu sisi yang diapit.3. Tiga sisiPEMA4207/MODUL 2 2.3Dari sini kita dapatkan tiga postulat kongruensi segitiga berikut.Postulat Penjelasan IlustrasiPostulat Kongruensi Kita yakin bahwaSi-Su-Si hanya satu bentuk danJika dua sisi dan satu ukuran segitiga yangsudut yang diapit dari terjadi, bila dua sisisatu segitiga kongruen dan sudut yangberturut-turut dengan diapitnya ditentukan.dua sisi dan sudutyang diapit pada Kita yakin bahwasegitiga kedua, maka hanya satu bentuk dankedua segitiga itu ukuran segitiga yangkongruen. terjadi, bila dua sudutPostulat Kongruensi dan sisi yangSu-Si-Su diapitnya ditentukan.Jika dua sudut dansatu sisi yang Kita yakin bahwadiapitnya dari satu hanya satu bentuk dansegitiga kongruen ukuran segitiga yangberturut-turut dengan terjadi, bila ketiga sisidua sudut dan satu sisi ditentukan.yang diapitnya padasegitiga lainnya, makakedua segitiga itukongruen.Postulat KongruensiSi-Si-SiJika semua sisi darisatu segitiga kongruenberturut-turut dengansemua sisi dansegitiga yang lain,maka dua segitiga itukongruen.2.4 GeometriPembuktian: Menggunakan Postulat KongruensiPostulat Si-Si-Si mempunyai bentuk umum: Semua sisi dari satu segitiga kongruen maka Dua segitiga itu Jika berturut-turut dengan semua sisi dari → kongruen segitiga lain q p AKita lihat aplikasi khusus daripernyataan ini. Kita amati bahwa semua kondisi (syarat) yang ditentukan di p dipenuhi,sehingga p benar. Dengan modus ponens, jadi kita dapat menyimpulkan: qbenar. Dalam hal ini kita simpulkan, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ. Untuk memudahkan pengorganisasian berpikir, kita tuliskan bukti di atasdalam bentuk kolom. Kolom kiri digunakan untuk pernyataan yangmenuntun kepada kesimpulan, Kolom kanan untuk alasan mengapapernyataan benar.Diketahui: AB ≅ XY BC ≅ YZ AC ≅ XZBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ.Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. Diketahui 2. BC ≅ YZ 2. Diketahui 3. AC ≅ XZ 3. Diketahui 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-SiPEMA4207/MODUL 2 2.5Berikut ini dua contoh bukti sederhana dua segitiga kongruen.Contoh 2.1Diketahui: AB ≅ XY ∠A ≅ ∠X ∠B ≅ ∠YBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZBukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. Diketahui 2. ∠A ≅ ∠X 2. Diketahui 3. ∠B ≅ ∠Y 3. Diketahui 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-SuContoh 2.2Diketahui: MN ≅ MP ∠1 ≅ ∠2Buktikan: ∆MNQ ≅ ∆MPQBukti: Pernyataan Alasan 1. MN ≅ MP 1. Diketahui 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui 3. MQ ≅ MQ 3. Segmen kongruen dengan dirinya (sifat refleksi) 4. ∆MNQ ≅ ∆MPQ 4. Postulat kongruensi Si-Su-Si2.6 GeometriPembuktian: Menggunakan Definisi Definisi dua garis tegak lurus, garis bagi sudut, titik tengah, pembagisegmen, dan sumbu segmen sering digunakan dalam membuktikan. Mengingat contoh berikut dari modus ponens.p→q Jika sinar membagi sudut, maka dua sudut yang terbentuk adalah kongruenp AC membagi ∠BADJadi q: ∠1 ≅ ∠2 Bukti singkat di atas disusun dalam bentuk dua kolomsebagai berikut.Diketahui: AC membagi ∠BAD .Buktikan: ∠1 ≅ ∠2Bukti: Pernyataan Alasan 1. AC membagi ∠BAD 1. Diketahui 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Definisi garis bagi Berikut ini bukti singkat memperlihatkan bagaimana definisi titik tengah,garis bagi, dan garis tegak lurus digunakan dalam pembuktian.Contoh 2.3Diketahui: C titik tengah BDBuktikan: BC ≅ CDBukti: Pernyataan Alasan 1. C titik tengah BD 1. Diketahui 2. BC ≅ CD 2. Definisi titik tengahPEMA4207/MODUL 2 2.7Contoh 2.4Diketahui: AC sumbu BDBuktikan: C titik tengah BDBukti: Pernyataan Alasan 1. AC sumbu BD 1. Diketahui 2. C titik tengah BD 2. Definisi sumbuContoh 2.5Diketahui: AC ⊥ BDBuktikan: ∠ACD ≅ ∠ACBBukti:c Pernyataan Alasan 1. Diketahui 1. AC ⊥ BD 2. Definisi garis tegak lurus 2. ∠ACD ≅ ∠ACB LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Jika diketahui ∆ABC ≅ ∆DEF dengan gambar seperti berikut. Periksa dengan mengukurnya. Manakah pernyataan berikut yang salah.2.8 Geometri a) AC ≅ DF; ∠B ≅ ∠E; BC ≅ DE; ∠C ≅ ∠F b) AB ≅ ED; ∠A ≅ ∠D; ∠C ≅ ∠F; AB ≅ EF c) AB ≅ DE; BC ≅ FE; ∠C ≅ ∠D; AC ≅ DF2) Diketahui ∆PRS ≅ ∆JKL, tulis pasangan sisi yang kongruen dan pasangan sudut yang kongruen dari kongruensi itu!3) Jika ∆ABC adalah segitiga sama sisi, dapat ditulis ∆ABC ≅ ∆BCA. Masih ada lima pernyataan kongruensi ini yang dapat ditulis. Tuliskan!4) Tuliskan pasangan segitiga yang kongruen, nyatakan alasannya!5) Diketahui bahwa ∆ ABC ≅ ∆ DEF, manakah pernyataan berikut yang benar/salah? a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD b) ∆ ACB ≅ ∆ EFD c) ∆ CBA ≅ ∆ FDE d) ∆ CAB ≅ ∆ FDE6) Gambar berikut memuat satu pasang (atau lebih) irisan yang kongruen.Kadang mereka saling tumpang tindih. Tuliskan pasangan yangkongruen tersebut!a. b. c.∆ ADB dengan 1. ∆ ACB dengan ∆ ABD dengan∆ DAC. ∆ ABC. ∆ CDB. 2. ∆ ABE denganPEMA4207/MODUL 2 2.9 ∆ ACD.7) Apakah kedua segitiga berikut kongruen, postulat mana yang digunakan untuk menyimpulkan itu? a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z8) Diketahui ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB Buktikan: ∆ CBE ≅ ∆ ABD9) Diketahui: AB ≅ CD ∠1=∠2 Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ CDB10) Diketahui AC ≅ AD AB ≅ AE BC ≅ ED Buktikan: ∆ABC ≅ ∆AEDPetunjuk Jawaban Latihan1) ∆ABC ≅ ∆DEF maka terdapat korespondensi A dengan D, B dengan E, dan C dengan F sebagai Sisi-sisi: AB ≅ DE; BC ≅ EF; dan AC ≅ DF Sudut-sudut: ∠A ≅ ∠D; ∠B ≅ ∠E; dan ∠C ≅ ∠F a) AC ≅ DF (benar); ∠B ≅ ∠E (benar); BC ≅ DE (salah,sekarang )BC ≅ EF ;∠C ≅ ∠F (benar)2.10 Geometri ( )b) AB ≅ ED benar, karena ED ≃ DE ; ∠A ≅ ∠D (benar); ∠C ≅ ∠F ( )(benar); AB ≅ EF salah, AB ≅ ED ( )c) AB ≅ DE (benar); BC ≅ FE benar, FE = EF ; ∠C ≅ ∠D (salah seharusnya ∠C ≅ ∠F)a2) Pasangan sisi : PR ≅ JK RS ≅ KL Pasangan sudut: PS ≅ JL ∠PRS ≅ ∠JKL ∠RSP ≅ ∠KLJ ∠SPR ≅ ∠LJKa3) ∆ABC ≅ ∆BCA, selain itu ∆ABC ≅ ∆BAC, ∆ABC ≅ ∆CAB, ∆ABC ≅ ∆CBA, ∆ABC ≅ ∆ACB, dan ∆ABC ≅ ∆ABC.a4) ∆ ABD ≅ ∆ CBE (penulisan bisa ditukar asal sama misalnya menjadi ∆ DBA ≅ ∆ EBC). Alasan: 1. ∠ABD ≅ ∠CBE (∠ ABD disebut juga ∠ CBE). 2. BD ≅ BE (diketahui, lihat gambar dengan tanda sama). 3. ∠BDA ≅ ∠BEC (diketahui). Jadi, ∆DBA ≅ ∆EBC (dengan postulat Su-Si-Su).5) ∆ ABC ≅ ∆ DEF terdapat korespondensi sesuai dengan urutan: 1. A ↔ D 2. B ↔ E 3. C ↔ F Bila ditulis BCA urutannya 2, 3, 1 bersesuaian dengan urutan 2, 3, 1 pada DEF, yaitu EFD. Jadi, ∆ BCA ≅ ∆ EFD. a) ∆ BCA ≅ ∆ EFD benar. b) ∆ ABC urutannya 1, 3, 2 yang sesuai dengan ∆ DFE. Jadi, ∆ ACB ≅ ∆ DFE bukan dengan ∆ EFD.PEMA4207/MODUL 2 2.11c) ∆ CBA urutannya 3, 2, 1 yang sesuai dengan ∆ FED. Jadi, ∆ CBA ≅ ∆ FED bukan dengan ∆ FDE.d) ∆ CAB urutannya 3, 1, 2 yang sesuai dengan ∆ FDE. Jadi, ∆ CAB ≅ ∆ FDE benar.6) a) ∆ ADB dengan ∆ DAC, AD ≅ DA b) (1) ∆ ACB dengan ∆ ABC, ∠ BAC ≅ ∠ CAB, BC ≅ CB (2) ∆ ABE dengan ∆ ACD, ∠ EAB ≅ ∠ DAC c) ∆ ABD dengan ∆ CDB, BD ≅ DB7) a) PQ ≅ XY, QR ≅ YZ, PR ≅ XZ semua sisi yang berkorespondensi kongruen, korespondensinya PQR dengan XYZ. Jadi, ∆ PQR ≅ ∆ XYZ (alasan postulat Si-Si-Si). b) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ R ≅ ∠ Z, PQ ≅ XY dua pasang sudut dan satu pasang sisi kongruen, tetapi sudut-sudut tidak mengapit sisi tersebut (bukan Su-Si-Su, tetapi Su-Su-Si). Jadi, ∆ PQR tak dapat disimpulkan dengan postulat yang kita punya, yaitu Si-Si-Si, Si-Su- Si, Su-Si-Su. Tetapi bila sudah kita ketahui (bahasan bahwa jumlah ukuran sudut segitiga 180o maka Su-Su-Si dapat dijadikan teorema kongruensi segitiga). Kesimpulan ∆ PQR ≅ ∆ XYZ dengan menggunakan teorema Su-Su-Si. c) ∠ P ≅ ∠ X, ∠ Q ≅ ∠ Y, ∠ R ≅ ∠ Z semua sudut yang berkorespondensi kongruen. Tetapi Su-Su-Su bukan jaminan dua sudut segitiga kongruen.8) Bukti:Pernyataan Alasan1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui2. AB ≅ CB 2. Diketahui3. ∠ B ≅ ∠ B 3. Refleksi sudut kongruen dengan dirinya.4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD. 4. Postulat Su-Si-Su.2.12 Geometri9) Bukti: Alasan 1. Diketahui Pernyataan 2. Diketahui 3. Refleksi 1. AB ≅ CD 2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 4. Postulat Si-Su-Si. 3. BD ≅ DB 4. ∆ ABD ≅ ∆ CDB10) Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AE 1. Diketahui 2. BC ≅ ED 2. Diketahui 3. AC ≅ AD 3. Diketahui 4. ABC ≅ AED 4. Postulat Si-Si-Si RANGKUMAN Dua segitiga kongruen jika terdapat korespondensi antara titik-titik sudut sehingga tiap pasang sisi dan sudut yang berkorespondensi kongruen. Ada tiga postulat kongruensi segitiga, yaitu postulat Si-Su-Si, postulat Su-Si-Su, dan postulat Si-Si-Si. Penggunaan postulat-postulat dengan struktur modus ponnens apakah kondisi yang diharapkan pada postulat itu sudah dipenuhi. Untuk melihat apakah kondisi itu sudah dipenuhi digunakan definisi, selanjutnya dapat digunakan kebenaran lain. TES FORMATIF 1 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) Misal ∆ PQR ≅ ∆ XYZ maka penulisan yang benar adalah .... A. ∆ QPR ≅ ∆ ZXY B. ∆ XYZ ≅ ∆ QPR C. ∆ PRQ ≅ ∆ XZYPEMA4207/MODUL 2 2.13 D. ∆ XYZ ≅ ∆ RQP2) Terdapat korespondensi antara ∆ MNO dengan ∆ ABC. Dari korespondensi itu dapat disimpulkan .... A. MN berkorespondensi dengan AB B. MO berkorespondensi dengan BC C. ∠ ONM berkorespondensi dengan ∠BAC D. ∠ OMN berkorespondensi dengan ∠CBA3) Tergambar dua segitiga, sudut atau segmen yang ukurannya sama diberi tanda sama. Kedua segitiga ini kongruen, alasannya dengan postulat .... A. Si-Si-Si B. Si-Su-Si C. Su-Si-Su D. Su-Su-Su4) Diketahui dua segitiga ∆ ABC dan ∆ DEF. ∠A ≅ ∠F, AC ≅ FE , ∠C ≅ ∠E, maka .... A. ∆ ABC ≅ ∆ EFD B. ∆ DEF ≅ ∆ CBA C. ∆ DEF ≅ ∆ BCA D. ∆ ABC ≅ ∆ DEF5) Manakah yang kongruen .... A. Dua segitiga sama kaki yang luasnya sama B. Dua persegi panjang yang luasnya sama C. Dua persegi yang luasnya sama D. Dua segitiga yang luasnya sama6) LQ sumbu dari JN dapat disimpulkan JQ ≅ QN dengan alasan .... A. LQ memotong JN B. LQ memotong sama panjang dan tegak lurus JN C. LQ memotong tegak lurus JN D. LQ dan JN sama-sama garis2.14 Geometri7) Diketahui BD membagi dua sama panjang AC . Buktikan: AE ≅ EC Bukti: Alasan A. Pernyataan 1. Diketahui 1. BD membagi dua sama panjang 2. Definisi membagi AC . dua 2. AE ≅ EC B. Pernyataan Alasan 1. BD tegak lurus AC . 1. Diketahui 2. AE ≅ EC 2. Definisi C. Pernyataan Alasan 1. BD // AC . 1. Diketahui 2. AE ≅ EC 2. Definisi sejajar D. Pernyataan Alasan 1. ∆AEC sama sisi. 1. Diketahui 2. Definisi ∆ sama sisi 2. AE ≅ ECA8) Diketahui AB ≅ XY BC ≅ YZ AC ≅ XZ Buktikan: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ. Bukti: Alasan A. Pernyataan 1. Diketahui 2. Diketahui 1. AB ≅ XY 3. Diketahui 2. BC ≅ YZ 4. Postulat Si-Su-Si 3. AC ≅ XZ 4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ B. Pernyataan Alasan 1. AB ≅ XY 1. DiketahuiPEMA4207/MODUL 2 2.152. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Si-Si-SiC. Pernyataan Alasan1. AB ≅ XY 1. Diketahui2. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Si-SuD. Pernyataan Alasan1. AB ≅ XY 1. Diketahui2. BC ≅ YZ 2. Diketahui3. AC ≅ XZ 3. Diketahui4. ∆ ABC ≅ ∆ XYZ 4. Postulat Su-Su-Su9) Alasan penyimpulan ∆ ABD ≅ ∆ CBD adalah .... A. postulat Si-Si-Si B. postulat Su-Si-Su C. postulat Si-Su-Si D. postulat Su-Su-Si10) Yang menggunakan alasan postulat Si-Su-Si dari gambar di samping adalah ....a A. CD ≅ CB; DA ≅ BE, AC ≅ EC maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE B. ∠CBE ≅ ∠CDA; BC ≅ DC; BE ≅ DA maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE C. CD ≅ CB; CA ≅ CE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE D. ∠A ≅ ∠E; ∠CDA ≅ ∠CBE maka ∆ CDA ≅ ∆ CBE2.16 Geometri Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 2 2.17 Kegiatan Belajar 2 Alat Pembuktian KongruenPEMBUKTIAN: MENGGUNAKAN POSTULAT DAN DEFINISI Definisi garis bagi, pembagi segmen, sumbu, dan titik tengah dapatbersama-sama digunakan dengan postulat kongruensi untuk membuktikanbahwa dua segitiga kongruen. Untuk memahami bagaimana membuktikanbahwa dua segitiga kongruen sering membantu menganalisis situasi denganberpikir mundur.Masalah: Membuktikan bahwa dua segitiga kongruen.Contoh 2.6 AB ≅ AD .Diketahui: AC membagi ∠ BADBuktikan: ∆ ABC ≅ ∆ ADCAnalisis: Akan dibuktikan ∆ ABC ≅ ∆ ADC, ini dapat dilakukan dengan menggunakan Postulat Kongruensi Si-Si-Si, Si-Su-Si, atau Su-Si- Su, yang mana? Dari informasi yang diketahui bahwa AB ≅ AD . Jika dapat ditunjukkan bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2 dan AC ≅ AC , dapat digunakan Si-Su-Si. AC adalah garis bagi ∠ BAD, jadi ∠1 ≅ ∠2, juga segmen kongruen dengan dirinya. Jadi, ∆ ABC ≅ ∆ ADC dapat dibuktikan.Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AD 1. Diketahui 2. AC membagi ∠ BAD 2. Diketahui 3. ∠1 ≅ ∠2 3. AC sumbu BD. 4. AC ≅ AC 4. Segmen kongruen dirinya 5. ∆ ABC ≅ ∆ ADC 5. Postulat Kongruensi Si-Su-Si2.18 GeometriContoh 2.7Diketahui: AC pada sumbu BDBuktikan: ∆ ACB ≅ ∆ ACDAnalisis: Dapat dibuktikan bahwa ∆ ACB ≅ ∆ ACD dengan Postulat Kongruensi. Dicoba dengan postulat Kongruensi Si-Su-Si, Kita tahu bahwa AC ≅ AC . Karena AC sumbu BD , maka ∠ ACB ≅ ∠ ACD, dan BC ≅ CD . Dapat dibuktikan!Bukti: Pernyataan Alasan 1. AC membagi BD 1. Diketahui. 2. Definisi pembagi segmen. 2. BC ≅ CD 3. Diketahui. 3 AC ⊥ BD 4. AC sumbu BD. 4. ∠ ACB ≅ ∠ ACD 5. Refleksi. 5. AC ≅ AC 6. Postulat Si-Su-Si. 6. ∆ ACB ≅ ∆ ACDPembuktian Segmen dan Sudut Kongruen Kita sering membuktikan bahwa pasangan dari segmen atau sudutkongruen dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa pasangan segitigakongruen. Kemudian kita dapat menggunakan definisi segitiga kongruenuntuk menyimpulkan bahwa bagian dari segitiga yang berkorespondensikongruen. Kemudian gunakan CPCTC (Corresponding Parts of CongruentTriangle are Congruent-Bagian yang Berkorespondensi dari Segitiga yangKongruen adalah Kongruen-BBSKK).Contoh 2.8 AB ≅ AD , ∠ 1 ≅ ∠Diketahui: 2Buktikan: BE ≅ DEPEMA4207/MODUL 2 2.19Analisis: Dapat dibuktikan BE ≅ DE jika dapat ditemukan pasangan segitiga kongruen yang memuat segmen itu. Dengan postulat kongruensi Si-Su-Si, ∆ ABE kongruen ∆ ADE, karena diketahui ∠1 ≅ ∠2 , AB ≅ AD , dan AE ≅ AE . Dapat dibuktikan BE ≅ DE .Bukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ AD 1. Diketahui. 2. ∠1 ≅ ∠2 2. Diketahui. 3. AE ≅ AE 3. Refleksi. 4. ∆ ABE ≅ ∆ ADE 4 Postulat Si-Su-Si. 5. BE ≅ DE 5. BBSKK.Contoh 2.9Diketahui: AC dan BD saling membagi dua. ∠1≅∠2Buktikan: ∠ 3 ≅ ∠ 4Analisis: ∠ 3 dan ∠ 4 berturut-turut berada di ∆ AOD dan ∆ BOC dan pada ∆ ADC dan ∆ ABC. Dari informasi yang diketahui nampak dapat terbukti bahwa ∆ AOD kongruen ∆ COB, kemudian dapat disimpulkan bahwa ∠ 3 ≅ ∠ 4 dapat dibuktikan.Bukti: Pernyataan Alasan1. AC dan BD saling membagi 1. Diketahui2. AO ≅ CO, OB ≅ OD 2. Definisi pembagi segmen3. ∠1 ≅ ∠2 3. Diketahui4. ∆ AOD ≅ ∆ COB 4. Postulat Si-Su-Si5. ∠ 3 ≅ ∠ 4 5. BBSKKPembuktian: Segitiga-segitiga Overlap/Bertumpuk Pada pembuktian beberapa segitiga, bentuknya sering bertumpuk satusama lain sehingga menyulitkan, akan memudahkan bila bentuk itu uraikanuntuk menganalisis pembuktian, seperti yang ditampilkan contoh berikut.2.20 GeometriContoh 2.10 ∠ 1 ≅ ∠ 2, AC ≅ DFDiketahui: ∠3≅∠4 EF ≅ BCBuktikan:Analisis: Harus dipilih pasangan segitiga yang memuat EF dan BC . Coba ∆ EFD dan ∆ BCA, dengan postulat Su-Si-Su ternyata kongruen, dan dapat menyimpulkan bahwa EF ≅ BC .Contoh 2.11Diketahui: ∠ 1 ≅ ∠ 6 ∠3≅∠4 AE ≅ CDBuktikan: ∠ ABE ≅ ∠ CBDAnalisis: Segitiga bertumpuk ∆ ABE dan ∆ CBD memuat dua pasang sudut yang kongruen, sisi yang diapitnya juga kongruen. Dengan Si-Su- Si dapat dibuktikan. Kadang-kadang kita perlumemberi tanda-tanda khusus (warna,dan sebagainya) untuk menegaskansegitiga yang bertumpuk.Contoh 2.12Diketahui: ∆ LJN adalah segitiga sama sisi dengan JL ≅ LN ∠1≅∠2Buktikan: LK ≅ LMPEMA4207/MODUL 2 2.21Analisis: Dapat dibuktikan LK ≅ LM jika segmen itu bagian berkorespondensi dari segitiga kongruen. Kita coba ∆ LKN dan ∆ LMJ. Kita tahu bahwa ∠ 1 ≅ ∠ 2, dan bahwa ∠ LJN kongruen dengan dirinya. Ya betul ternyata ∆ JLN sama kaki. Jadi, segitiga kongruen dengan Su-Si-Su. Kita dapat membuktikan.Contoh 2.13 JK ≅ NMDiketahui: ∠KJN ≅ ∠MNJBuktikan: KN ≅ MJAnalisis: KN dan MJ adalah bagian berkorespondensi pada ∆ LKN dan ∆ LMJ seperti Contoh 2.12. Tetapi informasi yang diketahui adalah bagian dari ∆ KJN dan ∆ MNJ. Karena JN kongruen dengan dirinya, sehingga dapat dibuktikan ∆ KJN kongruen ∆ MNJ dengan Si-Su-Si.Pembuktian: Rantai Kongruensi Menuliskan pembuktian tertentu, satu pasang segitiga harus dibuktikanterlebih dahulu untuk memberikan informasi yang diperlukan untukmembuktikan pasangan segitiga yang kongruen. Ikuti contoh berikut.Contoh 2.14Diketahui: AB ≅ CBBuktikan: ED ≅ EF ∠1≅∠2 ∠3≅∠4 AD ≅ CFAnalisis: AD ≅ CF dapat dibuktikan jika dapat dibuktikan ∆ AED ≅ ∆ CEF , tetapi tidak ada informasi yang cukup untuk membuktikan ini. Jika diketahui bahwa AE ≅ CE dapat dibuktikan segitiga ini kongruen dengan Si-Su-Si. Tetapi AE dan CE adalah bagian yang berkorespondensi dari ∆ABE dan ∆CBE dan dapat dibuktikan segitiga ini kongruen.2.22 GeometriBukti: Pernyataan Alasan 1. AB ≅ CB 1. Diketahui. 2. ∠ 1 ≅ ∠ 2 2. Diketahui. 3. BE ≅ BE 3. Refleksi. 4. ∆ ABE ≅ ∆ CBE 4. Postulat Si-Su-Si. 5. AE ≅ CE 5. ∆ ABE ≅ ∆ CBE. 6. ∠ 3 ≅ ∠ 4 6. Diketahui. 7. DE ≅ FE 7. Diketahui. 8. ∆ AED ≅ ∆ CEF 8. Postulat Si-Su-Si. 9. AD ≅ CF 9. ∆ AED ≅ ∆ CEF . LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!1) Dua segitiga di samping kongruen, tuliskan korespon- densi antara titik sudut, sudut, dan sisi. Kemudian tuliskan segitiga yang kongruen!2) Tuliskan pasangan yang saling kongruen dari gambar di samping! ∆ STU = .... ∆ SUT = .... ∆ TSU = .... ∆ TUS = .... ∆ UST = .... ∆ UTS = ....APEMA4207/MODUL 2 2.233) Isilah korespondensi antartitik sudut berikut! A ↔ .... B ↔ .... C ↔ .... D ↔ .... Isilah pasangan yang saling kongruen! □ ABCD ≅ .... □ BADC ≅ .... □ CBAD ≅ .... □ CDAB ≅ .... □ BCDA ≅ .... □ DCBA ≅ ....A4) Konstruksi tiga segitiga yang kongruen dengan segitiga PQR di samping dengan menggunakan cara berikut: a) satu sudut dan dua sisi yang mengapitnya (∠ P, q, dan r). b) tiga sisinya (p, q, dan r). c) dua sudut dan satu sisi yang diapit sudut itu (∠ R, q, ∠ P).A5) Diketahui : ∠ A ≅ ∠ C, AB ≅ CB . Buktikan : ∆ CBE ≅ ∆ ABDA6) Diketahui: ∠ E ≅ ∠ N, S membagi EN , AE ≅ NY . Buktikan: ∆ EAS ≅ ∆ NYS2.24 Geometri7) Gantilah tanda “?” dengan pernyataan atau alasan yang sesuai. Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan. Buktikan: AC ≅ BP Bukti: 1. Alasan Pernyataan 2. Diketahui. 3. ? 1. ABCDEF segi enam beraturan 2. AF ≅ BC Segmen kongruen dengan 3. ? segmen itu sendiri (refleksif). ? 4. ∠ FAB ≅ ∠ ABC 4. ? BBSKK. 5. ∆ FAB ≅ ∆ CBA 5. 6. ? 6.a8) Diketahui: HF ⊥ BD, HG ⊥ AC HF ≅ HG Buktikan: AG ≅ DFa9) Diketahui: ABCDEF segi enam beraturan Buktikan: ∆ ABD ≅ ∆ AFDa10) Diketahui: EH ≅ BH AH ≅ DH AC ≅ DF ∠1≅∠2 Buktikan: EF ≅ BCPEMA4207/MODUL 2 2.25Petunjuk Jawaban Latihan1) Setelah diamati ternyata∠ P ≅ ∠ A, ∠ Q ≅ ∠ C, ∠ R ≅ ∠ B, dan PQ ≅ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BAKorespondensi titik sudut P ↔ A, Q ↔ C, R ↔ BKorespondensi sudut ∠ P ↔ ∠ A, ∠ Q ↔ ∠ C, ∠ R ↔ ∠ BKorespondensi sisi PQ ↔ AC, QR ≅ CB, RP ≅ BAa Jadi, ∆PQR ≅ ∆ACB; ∆PRQ ≅ ∆ABC ∆QPR ≅ ∆CAB; ∆QRP ≅ ∆CBA∆RPQ ≅ ∆BAC; ∆RQP ≅ ∆BCAa2) Korespondensi antara titik sudut: S ↔ Y, T ↔ X, dan U ↔ Z Sehingga ∆ STU ≅ ∆ YXZ ∆ SUT ≅ ∆ YZX ∆ TSU ≅ ∆ XYZ ∆ TUS ≅ ∆ XZY ∆ UST ≅ ∆ ZYX ∆ UTS ≅ ∆ ZXYa3) Setelah diamati korespondensi antara titik sudut didapat: A ↔ H, B ↔ G, C ↔ F, D ↔ E Maka □ ABCD ≅ □ HGFE □ BADC ≅ □ GHEF □ CBAD ≅ □ FGHE □ CDAB ≅ □ FEHG □ BCDA ≅ □ GFEH □ DCBA ≅ □ EFGHa4) a) (1) Konstruksi sudut yang kongruen di ∠ P. (2) Pada salah satu kaki sudutP konstruksi segmen yang kongruen dengan q.(3) Pada kaki yang lain darisudut P konstruksi segmen2.26 Geometri yang kongruen dengan r. (4) Hubungkan ujung segmen. b) (1) Buat segmen r = PQ (2) Buat lingkaran dengan jari-jari p dengan pusat Q. (3) Buat lingkaran dengan jari-jari q dengan pusat P. (4) Langkah (2) berpotongan dengan langkah (3) di R. c) (1) Konstruksi q = PR . (2) Konstruksi ∠ R dengan kaki PR . (3) Konstruksi ∠ P dengan kaki PQ . (4) (2) dan (3) berpotongan di Q.5) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ∠ A ≅ ∠ C 1. Diketahui 2. AB ≅ CB 2. Diketahui 3. ∠ C ≅ ∠ A 3. Diketahui 4. ∆ CBE ≅ ∆ ABD 4. Definisi Su-Si-Su6) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ES ≅ NS 1. Definisi S membagi EN . 2. ∠ E ≅ ∠ N 2. Diketahui. 3. EA ≅ NY 3. Diketahui. 4. ∆ EAS ≅ ∆ NYS 4. Si-Su-Si.PEMA4207/MODUL 2 2.277) Pada kolom pernyataan Pada kolom alasan 2. Definisi segi enam beraturan.3. AB ≅ BA 3. Definisi segi enam beraturan.6. AC ≅ BF 5. Postulat Si-Su-Si.8) Bukti: Pernyataan Alasan 1. ∠ AHG ≅ ∠ DHF 1. Sudut yang sama. 2. HG ≅ HF 2. Diketahui. 3. ∠ HGA ≅ ∠ HFD 3. HF ⊥ BD, HG ⊥ AC . 4. ∆ AHG ≅ ∆ DHF 4. Definisi Su-Si-Su. 5. AG ≅ DF 5. BBSKK.9) Analisis: Untuk membuktikan ∆ ABD ≅ ∆ AFD harus ditemukan BD ≅ FD untuk menunjukkan harus ditunjukkan ∆ BCD ≅ ∆ FED (dengan Si-Su-Si).Bukti:Pernyataan Alasan1. BC ≅ FE 1. Definisi segi enam beraturan.2. ∠ BCD ≅ ∠ FED 2. Definisi segi enam beraturan.3. CD ≅ ED 3. Definisi segi enam beraturan.4. ∆ BCD ≅ ∆ FED 4. Si-Su-Si.5. AB ≅ AF 5. Definisi segi enam beraturan.6. BD ≅ FD 6. BBSKK (dari 4).7. DA ≅ DA 7. Segmen kongruen dengan dirinya sendiri (refleksi).8. ∆ ABD ≅ ∆ AFD 8. Si-Si-Si.10) Analisis: Pertama-tama buktikan bahwa ∆ AHB ≅ ∆ DHE dengan Su-Si-Su didapat ∠ 4 ≅ ∠ 3, kemudian diketahui bahwa ∠ 4 ≅ ∠ 1 dan AC ≅ DF maka ∆ ACB ≅ ∆ DEF dapatlah dibuktikan EF ≅ BC .2.28 Geometri Bukti: Pernyataan Alasan1. AH ≅ DH 1. Diketahui.2. ∠ AHB ≅ ∠ DHE 2. Sudut yang sama.3. HB ≅ HE 3. Diketahui.4. ∆ AHB ≅ ∆ DHE 4. Su-Si-Su.5. ∠ 4 ≅ ∠ 3 5. BBSKK.6. AC ≅ DF 6. Diketahui.7. ∠ 2 ≅ ∠ 1 7. Diketahui.8. ∆ ABC ≅ ∆ DEF 8. Si-Si-Si.9. EF ≅ BC 9. BBSKK. RANGKUMAN Kongruensi antara dua segitiga adalah korespondensi antara titik- titik sudut sehingga sudut-sudut yang berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen. Terdapat tiga postulat kongruensi, yaitu postulat Si-Su-Si, Su-Si-Su, dan postulat Si-Si-Si, dengan postulat ini kita tidak perlu mengkorespondensikan tiga sudut dan tiga sisi, tetapi cukup tiga saja, yaitu sisi-sudut-sisi (Si-Su-Si), sudut-sisi-sudut (Su-Si-Su), dan sisi-sisi- sisi (Si-Si-Si) untuk memeriksa kongruensi segitiga. TES FORMATIF 2 Pilih satu jawaban yang paling tepat!1) ∆ ABC ≅ ∆ PQR atau .... A. ∆ BAC ≅ ∆ RQP B. ∆ CBA ≅ ∆ RQP C. ∆ BCA ≅ ∆ RPQ D. ∆ ABC ≅ ∆ RPQPEMA4207/MODUL 2 2.292) Diketahui ∆ PQR ≅ ∆ UST, ∠ P ≅ ∠ U, UT ≅ PR, PQ ≅ US . Dapat disimpulkan ∆ PQR ≅ ∆ UST dengan .... A. postulat Su-Si-Su B. postulat Si-Su-Si C. postulat Si-Si-Si D. postulat Su-Si-Si3) Manakah yang benar? A. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Su-Si-Su B. ∆ BAC ≅ ∆ DAC dengan postulat Si-Si-Si C. ∆ ADC ≅ ∆ ABC dengan postulat Su-Si-Su D. ∆ ABC ≅ ∆ CDA dengan postulat Si-Si-Si4) ∆ ABC dengan u ∠ A = 15o, AB = 12, BC = 10 ∆ PQR dengan u ∠ P = 15o, PQ = 12, QR = 10 A. ∆ ABC ≅ ∆ PQR B. ∆ ABC ≅ ∆ PQR C. ∆ ABC belum tentu kongruen ∆ PQR D. tidak ada kesimpulan5) Diketahui: DB membagi ∠ EDF Konklusi (kesimpulan) yang benar adalah .... A. DE ≅ DF B. ∠ DEB ≅ ∠ DFE C. ∠ EDB ≅ ∠ FDB D. EB ≅ FB2.30 Geometri6) Diketahui: XM ⊥ YZ YM ≅ MZBuktikan ∆ XYM ≅ ∆ XZM. Alasan A. Pernyataan 1. Segmen kongruen dirinya 2. Diketahui 1. XM ≅ XM 3. XM ⊥ YZ 2. XM ⊥ YZ 4. Definisi sudut kongruen 3. u ∠ XMY = 90o 5. Diketahui 6. Postulat Si-Su-Si u ∠ XMZ = 90o 4. ∠ XMY ≅ ∠ XMZ 5. YM ≅ MZ 6. ∆ XYM ≅ ∆ XZMB. Pernyataan Alasan 1. Segmen kongruen dirinya 1. XM ≅ XM 2. Diketahui 2. YM ≅ ZM 3. Diketahui 3. XY ≅ XZ 4. Postulat Si-Si-Si 4. ∆ XYM ≅ ∆ XZMC. Pernyataan Alasan1. XM ≅ XM Segmen kongruen dirinya2. ∠ YXM ≅ ∠ ZXM Definisi XM ⊥ YZ3. ∠ YMX ≅ ∠ ZMX XM membagi ∠ XYZ4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Postulat Su-Su-SiD. Pernyataan Alasan 1. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Diketahui 2. XM ≅ YZ Diketahui 3. XM ⊥ YZ Diketahui 4. ∆ XYM ≅ ∆ XZM Postulat Si-Su-SiPEMA4207/MODUL 2 2.317) Diketahui: XO sumbu segmen MP yang dapat disimpulkan dari yang diketahui …. A. ∆ XMP kongruen B. ∆ XMP segitiga sama sisi C. ∆ XMP segitiga sama kaki D. XM ≅ MP a8) Diketahui: ABCDEF segi lima beraturan. AG garis bagi EAB dan merupakan sumbu DC . Kesimpulan yang salah adalah .... A. ∆ BCF ≅ ∆ EDF B. BD ≅ EC C. EF ≅ FC D. AF ⊥ DC a9) Diketahui: FE ≅ FD , ∠ E ≅ ∠ D Buktikan: EY ≅ DR Bukti:a Pernyataan Alasan 1. ∠ EFY ≅ ∠ DFR 1. Sudut yang sama 2. Diketahui 2. EF ≅ DF 3. ∠ E ≅ ∠ D 3. Diketahui 4. ∆ EFY ≅ ∆ DFR 4. ..... 5. BBSKK 5. EY ≅ DRAlasan nomor 4 diisi dengan ....A. Si-Si-SiB. Su-Si-SuC. Si-Su-SiD. BBSKK2.32 Geometri10) Diketahui: AB ≅ AC Buktikan: ∠ B ≅ ∠ C Bukti: Perhatikan ∆ CAB dan ∆ BAC. 1. AB ≅ AC (diketahui simetris) 2. ∠ A ≅ ∠ A (sudut kongruen dengan dirinya) 3. .... ≅ .... (diketahui) 4. ∆ CAB dan ∆ BAC (Si-Su-Si) 5. ∠ B ≅ ∠ C (..................) Pengisi titik-titik berturut-turut adalah .... A. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Si-Si B. ∠ B ≅ ∠ C dan Si-Su-Si C. AB ≅ AC dan diketahui D. AB ≅ AC dan BBSKK Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yangterdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaanAnda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapatmeneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yangbelum dikuasai.PEMA4207/MODUL 2 2.33 Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 11) C. Bisa diperiksa dengan gambar.2) A. Periksa dengan gambar.3) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.4) C. Periksa dengan gambar.5) C. Konsep kongruensi 2 bangun datar.6) B. Konsep kongruensi 2 segmen garis.7) A. Konsep pembagian garis.8) B. Konsep kongruensi 2 segitiga.9) B. ∠ 1 ≅ ∠ 2, ∠ 3 ≅ ∠ 4, BD ≅ BD .10) C. Konsep kongruensi 2 segitiga.Tes Formatif 21) B. Periksa korespondensi titik.2) B. Aturan penulisan satu sudut dan dua sisi.3) C. Sudut-sisi-sudut.4) C. Bisa dicoba dengan gambar.5) C. Konsep garis bagi membagi sudut menjadi 2 sama besar.6) A. Bukan 2 segitiga kongruen.7) C. Konsep sumbu garis.8) A. Kongruensi 2 segitiga.9) B. Sudut-sisi-sudut.

10) D. Ada di dalam segitiga yang kongruen.