Berikut ini yang merupakan bilangan tripel pythagoras adalah a 6 8 10 b 5 12 14 c 6 12 14 d 8 10 15

SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 8 LATIHAN 6.3 HAL 31 TH 2020

1.  Manakah diantara kelompok tiga bilangan yang membentuk segitiga siku siku ,

     segitiga lancip,dan segitiga tumpul?

     a. 13,9,11                e. 10,20,24

     b. 8,17,15                f. 18,22,12

     c. 130,120,50          g. 1,73;2,23;1,41

     d. 12,6,5                  h. 12,36,35

     Pembahasan:

     Yang merupakan segitiga siku-siku adalah :

     b.  17² = 8² + 15²

          289 = 64 + 225

          289 = 289

     c.  130² = 120² + 50²

          16900 = 14400 + 2500

          16900 = 16900

     Yang merupakan segitiga lancip :

     a.  13² < 9² + 11²          169 < 81 + 121

          169 < 202

     g.  2,23² < 1,41² + 1,73²          4,9729 < 1,9881 + 2,9929

          4,9729 < 4,981

     h.  36² < 12² + 35²          1296 < 144 + 1225

          1296 < 1369

     Yang merupakan segitiga tumpul adalah

     d.  16² > 12² + 5

          256 > 144 + 25

          256 > 169

     e.  24² > 20² + 10²

          576 > 400 + 100

          576 > 500

     f.   22² > 18² + 12²

          484 > 324 + 144

          484 > 468

2. Manakah diantara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan

     tripel pythagoras?

     a.  10,12,14

     b.  7,13,11

     c.  6, 2 1/2 , 6 ½

     Pembahasan:

     a.  10² + 12² … 14²

          100 + 144 … 196

          244 >196

          Bukan tripel phytagoras

     b.  7² + 11² … 13²

          49 + 121 … 169

          170 > 169

          Bukan tripel phytagoras 

     c.  6, 2 1/2 , 6 ½

          Merupakan tripel phytagoras

          Jadi, kelompok 3 bilangan yang memenuhi tripel phytagoras adalah no c

3.  Tentukan apakah segitiga KLM dengan titik K(6,-6), L(39,-12),

     dan M(24,18) adalah segitiga sembarang, segitiga sama kaki, 

     atau segitiga sama sisi. jelaskan pendapatmu!

     Pembahasan:

     Kita cari panjang sisi-sisinya terlebih dahulu, dengan menggunakan

     rumus pythagoras

     c = √(a² + b²)

     Dengan c sisi terpanjang (sisi miring)

     Kita cari panjang KL

     KL = √{(y2 – y1)² + (x2-x1)²}

     KL = √{(-12-(-6))² + (39 – 6)²}

     KL = √{(-6)² + 33²}

     KL = √(36 + 1089)

     KL = √1125

     KL = 33,5 satuan

     Kita cari panjang KM

     KM =  √{(y2 – y1)² + (x2-x1)²}

     KM = √{(18-(-6)² + (24-6)²}

     KM = √(24² + 18²)

     KM = √(576 + 324)

     KM = √900

     KM = 30 satuan

     Kita cari panjang LM

     LM = √{(y2 – y1)² + (x2-x1)²}

     LM = √{(18-(-12)² + (24-39)²}

     LM = √{30² + (-15)²}

     LM = √(900 + 225)

     LM = √1125

     LM = 33,5 satuan

     Karena ada dua sisi yang sama panjangnya yaitu sisi KL 

     dan LM, sehingga dapat disimpulkan bahwa segitiga KLM 

     adalah segitiga sama kaki

4.  Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras . Berapakah nilai x?

     Tunjukan bagaimana kalian mendapatkannya.

     Pembahasan:

     Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga, yaitu

     a = 32, b = x, dan c = 68.

     Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh

     a² + b² = c²

     ⇔ 32² + x² = 68²

     ⇔ x² = 68² – 32²

     ⇔ x² = 4.624 – 1.024

     ⇔ x² = 3.600

     ⇔ x = √3.600

     ⇔ x = √60²

     ⇔ x = 60

     Jadi, jika 32, x, 68 adalah Tripel Pythagoras, maka x adalah 60.

5.  Bilangan terkecil dari tripel pythagoras adalah 33. 

     Tentukan tripel pythagoras.

     Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan lainnya.

     Pembahasan:

     Diketahu bilangan terkecil tripel pythagoras adalah 33.

     Karena bilangan terkecil adalah kelipatan 3, maka dapat 

     dibandingkan dengan bilangan tripel pythagoras dengan 

     bilangan terkecil 3.

     Sudah diketahui bahwa (3,4,5) adalah bilangan tripel pythagoras sehingga    

     untuk setiap x bilangan bulat positif, bilangan-bilangan (3x, 4x, 5x)

     juga merupakan tripel pythagoras.

     Jadi

     a = 3 . 11 = 33

     b = 4 . 11 = 44

     c = 5 . 11 = 55

     Sehingga didapatkan

     332 + 442 = 552

     1089 + 1936 = 3025

     3025 = 3025 merupakan tripel Pythagoras.

     Jadi dua bilangan lainnya adaalah 44 dan 55.

6.  Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang

     dengan tinggi 408 cm, panjang 306 cm, dan panjang salah 

     satu diagonalnya 525 cm.

     Apakah bingkai jendela tersebut benar benar persegi panjang? Jelaskan.

     Pembahasan:

     Segiempat disebut persegi panjang jika panjang, lebar dan diagonalnya 

     membentuk tripel pythagoras.

     d2 = p² + l²

     5252 = 306² + 408²

     275.625 = 93.636 + 166.464

     275.625 = 260.100

     260.100 tidak sama dengan 275.625

     Karena tidak sama dengan, maka bukan persegi panjang

7.  Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa

     ketiga ukuran tersebut bukan merupakan triple Pythagoras.
     a.  Jika (p – q), p, (p + q) membentuk triple phytagoras, tentukan hubungan 

          antara p dan q
     b.  Jika p = 8, tentukan triple Pythagoras.

     Pembahasan:

     Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa

     ketiga ukuran tersebut bukan merupakan triple Pythagoras. 

     1² + (2a)² … (3a)²

     1 + 4a² … 9a²

     1 + 4a² ≠ 9a²

     Sehingga ketiga ukuran tersebut bukan merupakan triple Phytagoras

     a.  Jika (p – q), p, (p + q) membentuk triple phytagoras, tentukan 

          hubungan antara p dan q

          (p – q)² + p² = (p + q)²

          p² – 2pq + q² + p² = p² + 2pq + q²

          p² – 2pq + q² + p² – p² – 2pq – q² = 0

          p² – 4pq = 0

          p (p – 4q) = 0

          p = 0 atau p – 4q = 0

          p = 0 atau p = 4q

          p = 0 tidak memenuhi, maka p = 4q

     b.  Jika p = 8, tentukan triple Pythagoras

          p = 8 substitusikan ke persamaan p = 4q

          p = 4q

          8 = 4q

          q = 8/4 = 2

          (p – q) = 8 – 2 = 6

          p = 8

          (p + q) = 8 + 2 = 10

          Jadi terbukti triple Phytagoras : 6 ,8, 10

8.  Perhatikan segitiga ABC berikut ini. BD = 4cm, AD = 8cm, dan CD = 16cm.

     a.  Tentukan panjang AC

     b.  Tentukan panjang AB

     c.  Apakah segitiga ABC adalah segitiga siku? Jelaskan.

    Pembahasan:

     a.   Perhatikan  Δ ADC

           AC² = CD² + AD²

           AC² = 16² + 8²

           AC² = 256 + 64

           AC² = 320

           AC = √320

           AC = √64 x √5

           AC = 8√5 cm

           Jadi panjang AC adalah 8√5 cm

     b.  Perhatikan Δ ADB

          AB² = BD² + AD²

          AB² = 4² + 8²

          AB² = 16 + 64

          AB² = 80

          AB = √80

          AB = √16 x √5

          AB = 4√5 cm

          Jadi panjang AB adalah 4√5 cm

     c.  Pembuktian apakah Δ ABC merupakan segitiga siku-siku

          dengan mengguanakan pythagoras.

          BC² = AC² + AB²

          (16 + 4)² = (8√5)² + (4√5)²

          20² = (64 × 5) + (16 × 5)

          400 = 320 + 80

          400 = 400

          Karena hasilnya sama dengan, maka Δ ABC adalah siku-siku.

9.  Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga

     PC = 8cm, PA = 6cm, dan PB = 10cm. Dapatkah kalian menentukan jarak

     titik P dan D? Bagaimana kalian menentukanya?

     Pembahasan:
   

     Kemungkinan I :

     Diketahui : 

     PC = 8 cm

     PA = 6 cm

     PB = 10 cm 

     Pada gambar persegi panjang ABCD, kita lihat

     ∠ APB, ∠ BPC, ∠ CPD dan ∠ APD tidak ada yang siku-siku.

     Jadi Δ CPD dan Δ APB tidak bisa kita pythagoraskan langsung.

     Kita tarik garis merah yang tegak lurus melalui titik P agar terbentuk

     segitiga siku-siku, karena syarat pythagoras adalah salah satu sudut

     pada segitiga haruslah siku-siku dan kedua sisi tegak lurus.

     Ada 4 garis diagonal yang terdiri dari 4 segitiga siku-siku 

     Keempat diagonal tersebut kita masukan kedalam rumus pythagoras

     yaitu c² = a² + b², maka PD² = b² + c²

     PA² = a² + b²

     6² = a² + b²

     b² = 6² – a²

      PB² = a² + d²

     10² = a² + d²

     d² = 10² – a²

     PC² = c² + d²

     8² = c² + d²

     c² = 8² – d²

     PD² = b² + c²

     PD² = (6² – a²) + (8² – d²)

     PD² = 6² – a² + 8² – (10² – a²)

     PD² = 6² – a² + 8² – 10² + a²

     PD² =  6² + 8² – 10²

     PD² = 36 + 64 – 100

     PD² = 100 – 100

     PD = 0

     Karena hasilnya nol kemungkinan ada kekeliruan pada soal.

     Kemungkinan II : 

     Kita akan menukarkan ukurannya antara PC dan PB

     Diketahui : 

     PC = 10 cm

     PA = 6 cm

     PB = 8 cm 

     Ditanya : 

     PD = … ?

    Jawab : 

     PA² = a² + b²

     6² = a² + b²

     b² = 6² – a²

     PB² = a² + d²

     8² = a² + d²

     d² = 8² – a²

     PC² = c² + d²

     10² = c² + d²

     c² = 10² – d²

     PD² = b² + c²

     PD² = (6² – a²) + (10² – d²)

     PD² = 6² – a² + 10² – (8² – a²)

     PD² = 6² – a² + 10² – 8² + a²

     PD² =  6² + 10² – 8²

     PD² = 36 + 100 – 64

     PD² = 136 – 64

     PD² = 72

     PD = √72

     PD = √36 x √2

     PD = 6√2 cm 

     Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm

     Cara lain :

     PD² + PB² = PA² + PC²

     PD² + 8² = 6² + 10²

     PD² = 6² + 10² – 8²

     PD² = 36 + 100 – 64

     PD² = 136 – 64

     PD² = 72

     PD = √72

     PD = 6√2 cm

     Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm