Apa saja metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel?

Jakarta -

Detikers, tahukah kamu apa yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel? Persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem yang terbentuk oleh persamaan linear yang melibatkan dua variabel.

Secara umum, persamaan linear dua variabel ditulis dengan bentuk ax + by = c. Sebagai keterangan, x dan y adalah variabel dengan pangkat satu, sedangkan a dan b adalah koefisien, dan c adalah konstanta.

Dalam kehidupan sehari-hari, sistem persamaan linear dua variabel bisa digunakan untuk menentukan harga barang, mencari keuntungan penjualan, dan lainnya.

Berdasarkan buku Ayo, Belajar Persamaan, Pertidaksamaan, dan Sistem Persamaan Linear! karya Mirna Indrianti, ada tiga cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dua variabel, yaitu menggunakan metode grafik, substitusi, dan eliminasi.

Metode Grafik

Metode ini menyelesaikan masalah dengan menentukan titik perpotongan dua garis lurus yang merupakan tampilan dari kedua persamaan linear dua variabel.Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian SPLDV dengan metode grafik:1. Tentukan titik potong salah satu persamaan linear dengan sumbu X atau sumbu Y.2. Hubungkan kedua titik potong dengan menggunakan garis lurus.3. Lakukan langkah 1 dan 2 untuk persamaan lain pada SPLDV.4. Jika kedua titik berpotongan di (x,y) = (x1, y1), penyelesaian SPLD adalah x=x1 dan y=y1.

5. Jika kedua titik tidak berpotongan, SPLDV tidak memiliki penyelesaian.

Contoh Soal
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut menggunakan metode grafik.

Tentukan titik perpotongan tiap-tiap persamaan terhadap sumbu X dan Y.

Untuk 4x + 5y = 40

Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)= 4x + 5(0) = 40= 4x + 0 = 40=x = 40/4 = 10

Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (10,0)

Titik perpotongan terhadap sumbu Y (x=0)

= 4(0) + 5y = 40= 0 + 5y = 40

=y= 40/5= 8

Jadi, garis berpotongan dengan sumbu Y di (0,8)

Untuk x + 2y = 14• Titik perpotongan terhadap sumbu X (y=0)= x + 2(0) = 14= x + 0 = 14= x = 14

Jadi, garis berpotongan dengan sumbu X di (14,0)

• Titik perpotongan dengan sumbu Y (x=0)= 0 + 2y =14= 2y = 14= y = 14/2 = 7

Jadi, garis berpotongan terhadap sumbu Y di (0,7)

2. Gambarkan tiap-tiap persamaan dalam sebuah koordinat Kartesius.3. Jika sudah Digambar, kamu akan mendapat perpotongan di titik (x,y) = (2,6)

Metode Substitusi

Cara selanjutnya adalah metode substitusi. Penyelesaian dengan metode ini adalah dengan memasukkan salah satu variabel ke variabel lain.

Contoh SoalSelesaikan SPLDV di bawah ini menggunakan metode substitusi.

Penyelesaian

1. Beri tanda persamaan

1) pada persamaan linear yang terletak di atas dan 2) pada persamaan linear bagian bawah.

2. Cari persamaan baru dengan cara mengubah persamaan linear 2). Kurangkan persamaan linear 2) dengan 5x= 5x - 5x + y = -11 - 5x

= y = -11 - 5x

3. Substitusikan persamaan y = -11 -5x di atas ke dalam persamaan 1)= 4x + 3y = -11= 4x + 3(-11 - 5x) = -11= 4x -33 - 15x = -11

= -11x - 33 = -11

4. Tambahkan kedua ruas dengan 33 untuk mendapatkan nilai variabel x= -11x - 33 + 33 = -11 + 33= -11x = 22

= x = 22/(-11) = -2

5. Setelah mendapatkan satu nilai variabel, substitusikan ke dalam persamaan 2)= 5x + y = -11= 5(-2) + y = -11= -10 + y = -11= y = -11 +10

= y = -1

Jadi, penyelesaian SPLDV adalah x = -2 dan y = -1

Metode Eliminasi

Eliminasi berasal dari bahasa Inggris eliminate yang berarti menghapuskan. Artinya, dalam metode ini terdapat proses menghilangkan variabel tertentu untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain.

Contoh Soal

Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi

Penyelesaian
Pilihlah salah satu variabel yang akan kamu tentukan nilainya. Jika ingin menentukan nilai variabel x, samakan koefisien variabel y dengan cara eliminasi.

= -3x + 0 = -15= 3x = 15= x = 15/3 = 5

Jadi, nilai x = 5

Kemudian, mencari nilai variabel y
Kalikan persamaan 2x + 3y = 1 dengan 5 dan persamaan 5x + 3y =16 dengan 2. Hasil perkalian tersebut menjadi persamaan baru seperti berikut.

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5, y = -3

Simak Video "Petugas Tegaskan Eliminasi Selektif Tidak Sembarang pada Anjing di Bali"

Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan satu. Persamaan linear dua varibel berarti persamaan yang memuat dua varibel dengan pangkar tertinggi 1. Sehingga sistem persamaan linear dua variabel dapat dipahami sebagai himpunan persamaan-persamaan linear yang memiliki dua variabel. Penyebutan nama sistem persamaan linear dua variabel sering disingkat dengan SPLDV.

Sebuah persamaan linear memiliki komponen yang meliputi variabel, koefisien, dan konstanta. Koefisien dan variabel terletak berdampingan dengan letak koefisien di depan variabel. Konstanta pada persamaan linear adalah bilangan yang tidak diikuti oleh variabel. Contoh persamaan linear dua variabel adalah 3x + 2y = 12.

Baca Juga: Himpunan dan Diagram Venn

Bagaimana cara menentukan solusi dari sistem persamaan linear dua variabel? Apa saja cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan cara menentukan solusi dari sistem persamaan linear dua varibel di bawah.

Table of Contents

Bentuk Persamaan Linear

Persamaan linear dua variabel memiliki karakteristik memiliki sebagai persamaan dengan pangkat tertinggi dari semua variabel dalam persamaan adalah satu. Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.

• Contoh bukan SPLDV:
  2x2 + 5x = 14
  1/x + 1/y = 2

• Contoh SPLDV:2x + 5y = 143a + 4b =24

  q + r = 3

• Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV):ax + by = cdx + ey = f

  Hasil penyelesaian SPLDV dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y)

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV adalah sebagai berikut.

1. Substitusi
2. Eliminasi
3. Gabungan
4. Grafik

Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mengetahui proses pengerjaan SPLDV dengan berbagai metode. Untuk mengetahui perbedaan setiap metode, akan disajikan dalam pengerjaan sebuah soal dengan keempat metode tersebut.

Permasalahan dalam SPLDV yang akan diselesaikan adalah dua bersamaan berikut.(i) 2x + 3y = 8

(ii) 3x + y = 5

Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

• Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d [TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah]
• Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya
• Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y
• Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui. Penyelesaiannya adalah (x, y)

Penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode substitusi:

Langkah 1: mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + dMengubah persamaan (ii) ke dalam bentuk y = ax + b

3x + y = 5 → y = 5 ‒ 3x

Langkah 2: substitusi y = 5 ‒ 3x pada persamaan 2x + 3y = 8
2x + 3(5 ‒ 3x) = 8

Langkah 3: selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai x2x + 3(5 ‒ 3x) = 82x + 15 ‒ 9x = 8‒7x = ‒7

x = 1

Langkah 4: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, hasilnya akan sama)2x + 3y = 82(1) + 3y = 83y = 8 ‒ 2

3y = 6 → y = 2

Langkah 5:
Diperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linear dua varibael dalam bentuk adalah (x, y). Hasil yang diperoleh adalah x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya SPLDV pada soal yang diberikan dalah (1, 2)

Baca Juga: Kumpulan Soal UN SMP – SPLDV

Metode Eliminasi

Cara kedua untuk menyelesaikan SPLDV adalah menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, dalam metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

• Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
• Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
• Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
• Penyelesaiannya adalah (x, y)

Penyelesaian permasalahan dengan metode eliminasi diberikan seperti langkah-langkah di bawah.

Langkah 1: menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.

Langkah 2: hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

Langkah 3: ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui

Langkah 4: penyelesaiannya adalah (x, y) → Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

Baca Juga: Aritmetika Sosial

Metode gabungan merupakan penggabungan langkah dari metode substitusi dan eliminasi. Metode eliminasi mempunyai langkah awal yang cukup mudah dan singkat. Sedangkan metode substitusi mempunyai cara akhir yang baik. Kedua metode tersebut digabungkan untuk mempermudah pengerjaan.

Metode gabungan merupakan metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV karena dinilai lebih ringkas dan baik.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode gabungan:

• Cari nilai salah satu variabel x atau y dengan metode eliminasi
• Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui
• Penyelesaian sistem persamaan linear dua varibel berupa bentuk (x, y)

Contoh penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode gabungan (eliminasi – substitusi):

Langkah 1: mencari nilai x dengan metode eliminasi

Langkah 2: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, hasilnya akan sama)2x + 3y = 82(1) + 3y = 83y = 8 ‒ 23y = 6

y = 6/3 = 2

Langkah 3: penyelesaiannya adalah (x, y) → Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear. Sebelumnya, sobat idschool perlu belajar mengenai cara menggambar garis pada persamaan linear terlebih dahulu.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik:

• Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius
• Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut
• Penyelesaiannya adalah (x, y).

Berikut ini penyelesaian SPLDV dengan metode grafik.

Langkah 1: menggambar kedua grafik

Menentukan titik potong pada kedua sumbu x dan y dari kedua persamaan.

Gambar garis lurus untuk kedua persamaan linear dalam bidang kartesius diberikan seperti gambar di bawah.

Langkah 2: menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.

Langkah 3: penyelesaiannya adalah (x, y)

Berdasarkan gambar dapat diketahui bahwa titik potong berada pada x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

Dengan metode grafik, diperoleh pula hasil yang sama dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (substitusi – eliminasi).

Baca Juga: Persamaan Linear Satu Variabel

Contoh Soal SPLDV dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Certia yang Sesuai dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Diketahui sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x ‒ 5y = ‒37. Nilai 6x + 4y adalah ….A. ‒30B. ‒16C. 16

D. 30

Pembahasan:

Dari persamaan x ‒ 5y = ‒37 dapat diperoleh persamaan yang ekuivalen yaitu x = 5y ‒ 37. Substitusi persamaan x ke dalam persamaan 3x + 2y = 8 untuk mendapatkan nilai y.

3(5y ‒ 37) + 2y = 815y ‒ 111 + 2y = 817y = 8 + 111y = 119 : 17

y = 7

Selanjutnya, substitusi nilai y = 7 pada persamaan x = 5y ‒ 37 untuk mendapatkan nilai x.

x = 5y ‒ 37x = 5×7 ‒ 37= 35 ‒ 37

= ‒2

Jadi, nilai 6x + 4y = 6×(‒2) + 4×7 = ‒12 + 28 = 16

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal Sistem Persamaan Linear

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah ….A. Rp135.000,00B. Rp115.000,00C. Rp110.000,00

D. Rp100.000,00

Pembahasan:

Misalkan:

• Tarif parkir per mobil = x
• Tarif parkir per motor = y

Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.

3x + 5y = 17.000
4x + 2y = 18.000

Kalikan persamaan pertama dengan 4 (empat) dan persamaan kedua dengan 3 (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangi.

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai y = 1.000

Substitusi nilai y = 1.000 pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya 3x + 5y =17.000 (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).

3x + 5y = 17.0003x + 5(1.000) = 17.000x = (17.000 ‒ 5.000) : 3

x = 12.000 : 3 = 4.000

Hasil yang diperoleh adalah

• Uang parkir mobil = x = Rp.4.000,00
• Uang parkir motor = y = Rp.1.000,00

Jadi, uang yang diperoleh untuk 20 mobil dan 30 motor adalah= 20 x Rp4.000,00 + 30 x Rp1.000,00

= Rp80.000,00 + Rp30.000,00 = Rp110.000,00

Jawaban: C

Demikianlah tadi ulasan materi sistem persamaan linear dua variabel atau yang sering disingkat sebagai SPLDV yang penyelesaiannya dapat dilakukan melalui metode substitusi, eliminasi, gabungan (eliminasi-substitusi), dan grafik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Bava Juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel – SPLTV