Persamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (1, -1), (0, 1) dan (2, 1) adalah y = 2x² - 4x + 1. Nilai tersebut diperoleh dari subtitusi setiap titik pada persamaan kuadrat. Simak pembahasan berikut. Show PembahasanPersamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (1, -1), (0, 1) dan (2, 1) Jawab: Persamaan kuadrat dinotasikan dengan: y = ax² + bx + c Untuk menentukan persamaan kuadrat yang melalui titik potong, maka subtitusikan setiap titik kedalam persamaan kuadrat tersebut (x, y) = (0, 1) y = ax² + bx + c 1 = a(0)² + b(0) + c 1 = 0 + 0 + c 1 = c Maka persamaan kuadrat menjadi y = ax² + bx + 1 .............1) (x, y) = (1, -1) y = ax² + bx + 1 -1 = a(1)² + b(1) + 1 -1 = a + b + 1 a + b = - 1 - 1 a + b = -2 .......................2) (x, y) = (2, 1) y = ax² + bx + 1 1 = a(2)² + b(2) + 1 1 = 4a + 2b + 1 4a + 2b = 1 - 1 4a + 2b = 0 .......................3) Eliminasi persamaan 2) dan 3) a + b = -2 |× 2| 2a + 2b = -4 4a + 2b = 1 |× 1| 4a + 2b = 0 - -2a = -4 -2a = -4 a = -4/(-2) a = 2 Subtitusikan nilai a kedalam persamaan 2) a + b = -2 2 + b = -2 b = -2 - 2 b = -4 Subtitusikan nilai a dan b kedalam persamaan 1) y = ax² + bx + 1 y = (2)x² + (-4)x + 1 y = 2x² - 4x + 1 Jadi persamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (1, -1), (0, 1) dan (2, 1) adalah y = 2x² - 4x + 1 Pelajari lebih lanjut
----------------------------------------------Detil jawabanKelas: 9 Mapel: Matematika Bab: Persamaan kuadrat Kode: 9.2.9 Kata kunci: persamaan, kuadrat
A. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a [x – x1] [x – x2] = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar [penyelesaian] persamaan kuadrat. Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0 [x – 3] [x – 1] = 0 x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 x = 3 atau x = 1 Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi [x + p]2 = q. Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0. Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0 x2 – 6 x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4 [x – 3]2 = 4 x – 3 = 2 atau x – 3 = –2 x = 5 atau x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}. 1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0. Jawab: x2 + 7x – 30 = 0 a = 1 , b = 7 , c = – 30 x = 3 atau x = –10 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}. 2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2– 4ac disebut diskriminan [D]. Contoh : Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut: Jawab : a = 1 , b = 5 , c = 2 D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17 Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan. 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 x2 +x + = 0 Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka : Jadi, , . Contoh: Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4 a. x1 + x2 = 3 b. x1.x2 = 4 c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2 = [x1 + x2]2 – 2 x1 x2 = 2 [-3]2 – 2 . 4 = 1 e. [x1 + x2]3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23 = x13 + 3 x1 x2 [x1 + x2] + x23 x13 + x23 = [x1 + x2]3 – 3 x1 x2 [x1 + x2] = 33 – 3 . 4 [3] = 27 – 36 = –9 4. Menyusun Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat dapat disusun dengan: v menggunakan perkalian faktor, v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai [x – x1] [x – x2] = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah [x – x1] [x – x2] = 0. Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2. Jawab: [x – x1] [x – x2] = 0 [x – 3] [x – [-2]] = 0 [x – 3] [x + 2] = 0 x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar Persamaan . Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan: x2 – [x1 + x2]x + x1x2 = 0. Contoh: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3. Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5 x1 x2 = 6 Jadi, persamaan kuadratnya x2 – [–5]x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain. Contoh 1: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0. Jawab: Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3. Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3 p + q = [x1 + 3] + [x2 + 3] p q = [x1 + 3] [x2 + 3] = x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3[x1 + x2] + 9 = 2 + 6 = 8 = 3 + 2[2] = 9 = 18 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – [p + q] + pq = 0. Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0. B. Fungsi Kuadrat 1. Pengertian Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f[x] = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat. Jika f[x] = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f. Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f[p] = ap2 + bp + c. Contoh 1: Ditentukan: f[x] = x2 – 6x – 7 Ditanyakan:
Jawab:
x2 – 6 x – 7 = 0 [x – 7] [x + 1] = 0 x = 7 atau x = –1 Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut: 1] f[x] = x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 =[x – 1]2 – 4 Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka [x – 1]2 mempunyai nilai paling kecil [minimum] nol untuk x = 1. Dengan demikian [x – 1]2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4. Jadi, f[x] = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil [minimum] –4 untuk x = 1. 2] f[x] = –x2 + 4x + 5 = –x2 + 4x – 4 + 9 = –[x2 – 4x + 4] + 9 = –[x – 2]2 + 9 Nilai terbesar dari – [x – 2]2 sama dengan nol untul x = 2. Dengan demikan nilai terbesar dari – [x – 2]2 + 9 adalah 0 + 9 = 9. Jadi, f[x] = –[x – 2]2 + 9 atau f[x] = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar [maksimum] 9 untuk x = 2. Sekarang perhatikan bentuk umum f[x] = ax2 + bx + c Dengan uraian di atas, diperoleh: Fungsi kuadrat f[x] = a x2 + b x + c Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk Contoh: Tentukan nilai minimum fungsi f[x] = 2x2 + 4x + 7 Jawab: f[x] = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7 Nilai minimum fungsi f = 5 3. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan: 1] Titik potong grafik dengan sumbu-X. Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D [diskriminan]. D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu [x1 , 0] dan [x2 , 0]. D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung. D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X. 2] Titik potong dengan sumbu-Y. Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya [0 , c]. 3] Sumbu simetri Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah: 4] Titik Puncak/ Balik Koordinat titik puncak Catatan:
Contoh: Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R. Jawab: Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0. x2 – 2x – 3 = 0 [x – 3] [x + 1] = 0 x = 3 dan x = –1 Koordinat titik potongnya adalah : A[3 , 0] dan B[–1 , 0] Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0 y = 0 – 0 – 3 = – 3 Koordinat titik potongnya C[0 , –3] Sumbu simetri, garis Titik puncak ® D[1 , –4] Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi y = x3 – 2x – 3. 4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik Contoh: Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik [–1 , 0] , [ 1 , 8 ] dan [ 2, 6 ]. Jawab : Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c Grafik melalui titik [–1 , 0] ® 0 = a[–1]2 + b [–1] + c 0 = a – b + c ………………. [1] Grafik melalui titik [1 , 8] ® 8 =a [1]2 + b [1] + c 8 = a + b + c ………………. [2] Grafik melalui titik [ 2 , 6 ] ® 6 = a [2]2 + b [2] + c 6 = 4 a + 2 b + c …………… [3] Dari persamaan [1], [2], dan [3] dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi. [1] a – b + c = 0 [2] a + b + c = 8 a – b + c = 0 [2] a + b + c = 8 [3] 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0 –2b = –8 3a – b = 2 c = 6 b = 4 – 3a – 4 = 2 a = –2 Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6. b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X Misalkan titik potongnya [p , 0] dan [q , 0]. [p , 0] dan [q , 0] memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + cdan 0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh: 0 = a[p2 – q2] + b[p – q] b[p – q] = –a[p2 – q2] = –a[p + q] [p – q] b = – a[p + q] Substitusikan b = – a[p + q] ke ap2 + bp + c = 0 ap2 + [– a[p + q]] p + c = 0 ap2 – ap2 – pqa + c = 0 c = pqa Untuk b = – a[p + q] dan c = pqa maka y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a[p + q]x + pqa = a[x2 – [p + q]x + pq] = a[x – p] [x – q] Jadi, y = a[x – p] [x – q] adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di [p,0] dan [q,0]. Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik [–5,0] dan [1,0], serta melalui titik [–3, –8] ! Jawab: Grafik memotong sumbu-X di titik [–5,0] dan [1,0], maka fungsi kuadratnya y = a[x – [–5]] [x – 1] = a[x + 5] [x – 1] Grafik melalui titik [–3, –8], berarti –8 = a[–3+5] [–3 – 1] = –8a a = 1 Substitusikan a = 1 pada y = a[x + 5] [x – 1] sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5. Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah . Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat dinyatakan dengan . Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di [p , q] adalah y = a [x – p]2 + q Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi [1,3] dan melalui titik [0,0]. Jawab: Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di [1,3] adalah y = [x – 1]2 + 3 Grafik melalui titik [0,0] berarti: 0 = a[0 – 1] + 3 0 = a + 3 a = –3 Substitusikan a = –3 pada y = a [x – 1]2 + 3 maka diperoleh y = –3 [x – 1]2 + 3 y = –3 [x2 – 2x + 1] + 3 y = –3x2 + 6x Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x. d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah [,0]. Sehingga . Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah . Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a[x – p]2 Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik [2,0] dan melalui titik [0,4] ! Jawab: Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di [2,0] adalah y = a [x – 2]2 Grafik melalui titik [0,4] berarti : 4 = a[0 – 2]2 = 4a a = 1 Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1[x – 2]2 atau y = x2 – 4x + 4. Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
b. Tanda-tanda fungsi kuadrat Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan . a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum [parabola terbuka ke atas]. a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum [parabola terbuka ke bawah].
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan. D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X. D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X. Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut: Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan: Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f[x] = a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0. Untuk a > 0: 1] D > 0 ® dapat diuraikan menjadi : f[x] = a [x – x1] [x – x2] f[x] > 0 untuk x < x1 dan x > x2 f[x] < 0 untuk x1< x < x2 2] D = 0 ® dapat diuraikan menjadi : f[x] = a [x – x1]2 f[x] > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f[x] = 0 3] D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi f[x] selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif. Untuk a < 0: 1] D > 0 ® dapat diuraikan menjadi : f[x] = a [x – x1] [x – x2] f[x] < 0 untuk x < x1 dan x > x2 f[x] > 0 untuk x1< x < x2 2] D = 0 ® dapat diuraikan menjadi : f[x] = a [x – x1]2 f[x] > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f[x] = 0 3] D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi : f[x] selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif. Contoh 1: Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f[x] = x2 – 4 x – m + 2 definit positif. Jawab: f[x] = x2 – 4 x – m + 2 Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0. a = 1 bilangan positif D = [–4]2 – 4 [1] [–m + 2] = 16 + 4 m – 8 = 4 m + 8 D < 0 « 4 m + 8 < 0 m < –2 Jadi, agar f[x] = x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2 Video yang berhubungan |
Persamaan kuadrat yang melalui titik-titik (1,0), (0,1), dan (2,3) adalah ….
Pos Terkait
Copyright © 2024 adaberapa Inc.
