Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru disebut

Dari dua buah fungsi yakni \(f(x)\) dan \(g(x)\), kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi yang biasa dilambangkan dengan '∘'.

Table of Contents Show

Definisi Fungsi Komposisi
Sifat dari Komposisi Fungsi
Fungsi Invers
Contoh Soal Fungsi Komposisi
Video yang berhubungan

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Komposisi dua fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan diketahui fungsi \(f\) memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1. Komposisi fungsi f dan g

Dari Gambar 1 di atas, untuk \( x \in A \) petanya adalah \( y = f(x) \) di B, yang mana merupakan domain dari fungsi \(g\). Kemudian peta dari \( f(x) \in B \) yaitu \( g(y) = g(f(x)) \) di C yakni fungsi yang memetakan \(x\) dalam anggota A dengan tepat satu \( g(f(x)) \) anggota C. Fungsi yang demikian disebut fungsi komposisi dari \(f\) dan \(g\), dan dinotasikan dengan \( g \circ f \) (dibaca: g bundaran f).

Secara singkat, jika \( f: A \to B \) dan \( g: B \to C \), maka kita peroleh komposisi dua fungsi berikut:

Perhatikan bahwa komposisi fungsi \( g \circ f \) adalah operasi berurutan yang mengerjakan \(f\) terlebih dulu, baru dilanjutkan oleh \(g\), sedangkan suatu operasi berurutan yang mengerjakan \(g\) terlebih dahulu, baru dilanjutkan oleh \(f\) merupakan komposisi fungsi \( f \circ g \).

Sekarang perhatikan Gambar 2 berikut.

Gambar 2.

Dengan mengamati definisi komposisi fungsi dan diagram pada Gambar 2 di atas, maka dari dua buah fungsi \( f: A \to B \) dan \( g: B \to C \) dapat diperoleh komposisi fungsi \( g \circ f \) jika daerah hasil dari fungsi \(f\) atau \( R_f \) merupakan himpunan bagian dari B (domain \(g\) atau \(D_g\)).

Demikian juga, agar diperoleh komposisi fungsi \( f \circ g \), maka daerah hasil dari fungsi \(g\), \( (R_g) \), merupakan himpunan bagian dari domain \(f\).

Mari kita lihat beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1:

Diketahui suatu fungsi \( f(x) = 3x - 1 \) dan \( g(x) = 2x^2 +3 \). Carilah nilai dari komposisi fungsi \( (g \circ f)(1) \)!

Pembahasan:

Diketahui \( f(x) = 3x - 1 \) dan \( g(x) = 2x^2 +3 \). Dengan demikian,

Jadi, nilai \( (g \circ f)(1) \) adalah

Contoh 2:

Misalkan diketahui fungsi \(g(x)= 3x + 2 \) dan \((g \circ f)(x) = 4x - 3 \). Tentukanlah fungsi \( f(x) \).

Pembahasan:

Diketahui \(g(x)= 3x + 2 \) dan \((g \circ f)(x) = 4x - 3 \). Dengan demikian,

Jadi, \( f(x) = \frac{4x-5}{3} \).

Contoh 3:

Jika diketahui \( \displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x-1}, x \neq 1 } \) dan \( g(x) = f(x^2+1) \). Tentukan \( g(f(x)) \).

Pembahasan:

Kita modifikasi fungsi \( g(x) \) terlebih dahulu, yakni

Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 4:

Misalkan diketahui \( f(x) = x + 2 \) untuk \( x > 0 \) dan \( g(x) = \frac{15}{x} \) untuk \( x > 0 \). Jika \( \left( f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = 1 \), tentukan nilai \(x\).

Pembahasan:

Cari invers untuk masing-masing fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\), yakni:

Dengan demikian,

Jadi, nilai \(x = 5\).

Cukup sekian ulasan singkat mengenai komposisi fungsi beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Kalian pasti pernah menemukan lebih dari 1 fungsi matematika.

Lalu apa yang bisa dilakukan dengan 2 atau lebih fungsi matematika tersebut?

Nah dari 2 atau lebih fungsi matematika tersebut, kalian bisa menurunkan fungsi baru yang merupakan hasil dari operasi fungsi komposisi.

Lalu apakah fungsi komposisi itu?

Mari kita bahas lebih lanjut mengenai fungsi komposisi.

Definisi Fungsi Komposisi

Operasi fungsi komposisi merupakan operasi yang digunakan pada minimal 2 fungsi untuk melahirkan sebuah fungsi yang baru.

Notasi dari fungsi komposisi adalah ‘o’ atau sering disebut dengan ‘bundaran’ atau ‘komposisi’

Contohnya apabila terdapat 2 fungsi yaitu f(x) dan g(x) maka (f o g) (x) atau dibaca fungsi f bundaran g maka dapat dikerjakan dengan cara memasukkan fungsi g ke dalam fungsi f.

Lebih jelasnya lihat di gambar berikut

Secara umum rumus fungsi komposisi adalah

Diketahui terdapat 2 fungsi yaitu fungsi f(x) dan fungsi g(x), maka fungsi h(x) yang didefinisikan sebagai h(x)=(f o g)(x) dapat dicari dengan cara

h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))

Ilustrasinya adalah jika terdapat fungsi f dan g yang merupakan mesin yang bekerja secara beriringan.

Fungsi g mendapatkan input berupa (x) yang diproses oleh mesin f kemudian outputnya berupa g(x).

Kemudian g(x) menjadi input untuk diolah mesin f sehingga diperoleh output berupa f(g(x)).

Ada istilah lain mengenai fungsi komposisi yang patut kita ketahui, yaitu komposisi fungsi.

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dari dua fungsi yang secara berurutan lalu menghasilkan sebuah fungsi baru.

Untuk notasinya, notasi dari komposisi fungsi sama dengan notasi fungsi komposisi yaitu ‘o’ atau ‘bundaran’.

Sifat dari Komposisi Fungsi

Terdapat beberapa sifat dari komposisi fungsi, diantaranya :

Tidak bersifat komutatif : (f o g)(x) ≠(g o f)(x)
Bersifat assosiatif : ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x)

Fungsi Invers

Jika fungsi f merupakan fungsi yang memetakan dari A ke B dan memiliki relasi dengan fungsi g yang memetakan B ke A, maka fungsi g merupakan invers atau balikan dari f dan ditulis f-1 atau g = f-1 Jika g merupakan fungsi, maka g = f-1 disebut fungsi invers atau fungsi balikan. Baca juga Relasi dan Fungsi.

Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut

Mencari invers fungsi y=f(x) dapat dicari dengan cara berikut: