Postingan ini membahas contoh soal permutasi susunan melingkar dan pembahasannya atau penyelesaiannya. Permutasi melingkar adalah penyusunan unsur atau objek dalam bentuk lingkaran. Banyaknya permutasi n unsur yang disusun melingkar dirumuskan dengan (n – 1)!. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal permutasi susunan melingkar dan pembahasannya dibawah ini. Contoh soal 1 Banyaknya permutasi atau susunan yang berbeda 5 orang duduk mengelilingi meja bundar adalah…
Pembahasan / penyelesaian soal Pada soal ini diketahui n = 5. Maka banyaknya permutasi susunan melingkar = (5 – 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Soal ini jawabannya D. Contoh soal 2 Wati mempunyai 7 buah pernik yang berbeda warna akan disusun menjadi sebuah gelang. Banyaknya cara Wati untuk menyusun pernik tersebut adalah…
Pembahasan / penyelesaian soal Pada soal ini diketahui n = 7 sehingga banyak cara menyusun pernik = (7 – 1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Soal ini jawabannya D. Contoh soal 3 6 orang akan duduk mengelilingi meja bundar. Jika ada dua orang teman yang harus duduk bersebelahan, maka banyak susunan yang berbeda yang mungkin adalah ….
Pembahasan / penyelesaian soal Pada soal ini diketahui n = 5 karena ada dua orang yang harus duduk bersebelahan. Ketika 2 orang harus duduk bersebelahan maka ada 2 susunan yang mungkin (misalkan A dikiri dan B dikanan dan sebaliknya). Jadi cara menjawab soal ini sebagai berikut:
Jadi banyak susunan berbeda yang mungkin adalah 24 + 24 = 48. Soal ini jawabannya D. Contoh soal 4 Ani mempunyai 4 pernik besar dan 4 pernik kecil yang beraneka warna akan disusun menjadi sebuah gelang. Jika pernik kecil harus terdapat diantara pernik besar, maka banyak cara Ani menyusun pernik-pernik menjadi sebuah gelang adalah…
Pembahasan / penyelesaian soal Cara menjawab soal ini dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Soal ini jawabannya D. Contoh soal 5 Terdapat 9 orang terdiri dari 2 orang Inggris, 3 orang Belanda, dan 4 orang Korea akan melakukan perundingan dengan duduk melingkar. Banyaknya susunan melingkar jika setiap orang dari satu negara harus saling berdekatan = …
Pembahasan / penyelesaian soal Cara menjawab soal ini sebagai berikut:
Jadi banyaknya susunan melingkar 9 orang = 2 x 2 x 6 x 24 = 576. Soal ini jawabannya D.
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 PERMUTASI
Berdasarkan jawaban di atas ternyata diperoleh bahwa terdapat 6 pasangan yang mungkin menjadi pemenang tebak tepat, yaitu (A, B), (A,C), (B, A), (B,C), (C, A), dan (C,B). Perhatikan bahwa (A, B)≠(B, A), (B, C)≠(C, B), dan seterusnya. (Mengapa?) Apa arti (A, B) dan (B, A)?
Perhatikan huruf-huruf A, B, C, dan D.• BDCA, DCBA, dan ACDB merupakan contoh permutasi-permutasi dari 4 huruf.• BAD, ADB, dan BCA merupakan contoh permutasi-permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang diketahui. • AD, CB, DA, dan BD merupakan contoh permutasi-permutasi 2 huruf dari 4 huruf yang diketahui.
Teorema 1 Contoh 1 Tentukan banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata MENTARI. Jadi banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah Jadi, banyak susunan 4 huruf berbeda dari kata MENTARI adalah 840. Contoh 2. Jawab:Banyaknya cara menyusun keenam buku pelajaran yang berbeda merupakan permutasi 6 unsur dari 6 unsur atau P(6, 6).Dengan rumus P(n, n) = n! ,diperoleh P(6, 6)= 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Jadi, banyaknya cara menyusun 6 buku pelajaran yang berbeda pada rak buku adalah 720 cara.
Tentukan juga banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika :a. dua motor harus ada di depanb. satu mobil di depan dan satu motor di belakang.c. mobil harus berkelompokd. tidak boleh dua mobil berdekatan Penyelesaian : • Dua kotak (tempat) pertama diisi dengan 2 motor yang dipilih dari 4 motor yang tersedia. Jika mobil dan motor tidak dibedakan, maka terdapat 9 unsur berbeda (dari 5 mobil dan 4 motor). Jadi, Banyak cara membentuk barisan kendaraan dengan urutan yang berbeda adalah permutasi 9 unsur dari 9 unsur atau P(9, 9). Berikutnya kita akan menentukan permutasi dari susunan mobil dan motor dengan beberapa pembatasan. Misalkan MT = motor dan MB = mobil.
• Dua kotak (tempat) pertama diisi dengan 2 motor yang dipilih dari 4 motor yang tersedia. • Sisa 7 kotak (tempat) lainnya, dapat diisi dengan 7 kendaraan yang tersisa. Ini adalah P(7, 7) = 7!Dengan aturan perkalian, maka banyak cara dua motor harus ada di depan adalah 12 x 7! = 12 x 5.040 = 60.480 Jadi, banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika dua motor harus ada di depan adalah 60.480 cara.
• Kotak pertama harus diisi mobil, dapat diisi dengan mobil mana saja dari 5 mobil yang ada, jadi kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara. Dengan aturan perkalian, maka banyaknya cara menyusun agar satu mobil di depan dan satu motor di belakang adalah 5 x 7! x 4 = 20 x 5.040 = 100.800
c. Mobil harus berkelompok• Agar mobil (5 mobil) berkelompok, maka kita memblok dan menganggapnya sebagai satu unsur. Dalam blok ini, kelima mobil dapat dipertukarkan dalam P(5, 5) = 5! cara.• Kemudian blok mobil ini beserta 4 motor membentuk 5 unsur yang juga dapat dipertukarkan dalam P(5, 5) = 5! cara.Dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya cara menyusun agar mobil berkelompok adalah 5! x 5! = 120 x 120 =14.400. Jadi, banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk mobil harus berkempok adalah 14.400 cara.
• Kelima posisi mobil dapat dipertukarkan dalam P(5, 5) = 5! cara.• Keempat posisi motor dapat dipertukarkan dalam P(4, 4) = 4! cara.Dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya cara menyusun agar tidak boleh dua mobil berdekatan adalah 5! x 4! = 120 x 24 = 2.880 2. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama Teorema 2
Contoh 4. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA ?Jawab:Banyak huruf pada kata MATEMATIKA ada 10 buah. Terdapat unsur yang sama,yaitu:• huruf M ada 2 buah,• huruf A ada 3 buah,• huruf T ada 2 buah.• huruf E, I, dan K masing-masing 1 buah.
3. Permutasi Siklis Coba kalian perhatikan gambar berikut. Tiga objek A, B, dan C di atas disusun secara melingkar. Walaupun nampak berbeda, namun jika dilihat dari urutan (searah jarum jam misalnya) maka ketiga susunan ini adalah sama.
Contoh 5.6 orang manager perusahaan duduk mengelilingi sebuah meja berbentuk melingkar untuk mengadakan rapat. Berapa banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda? Jawab:Banyaknya cara agar 6 orang manager dapat duduk mengelilingi meja rapat sama dengan permutasi melingkar dari 6 unsur, yaituPs (6) = (6 – 1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Jadi, banyak cara 6 orang manager perusahaan dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda adalah 120 cara.
Jawab: • Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak 2! = 2 cara.• Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap 1 unsur. Blok (ayah dan ibu) dan 4 orang anaknya menjadi 5 unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh:Ps (5) = (5 – 1)! = 4!= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah 2 x 24 = 48 cara.
• Banyaknya permutasi n unsur dari n unsur berbeda adalah P(n, n) = n!.
• Banyaknya permutasi untuk n unsur berbeda yang diatur dalam sebuah lingkaran disebut permutasi siklik. Permutasi siklik dari n unsur (n > 1) ditentukan oleh rumus Ps (n) = (n – 1)!
8. Dengan berapa cara 5 anak laki-laki dan 3 anak perempuan dapat disusun pada suatu lingkaran jika anak perempuan selalu berdekatan (berkumpul)? Kirimkan jawaban anda kepada guru melalui Whatsapp |