Sebelumnya kita telah membahas mengenai pengertian vektor. Dimana itu bisa diartikan sebagai objek geometri yang memiliki besar dan arah, serta ditandai dengan tanda panah. Kali ini, kita akan mengulik lebih jauh mengenai operasi dalam vektor itu sendiri, yang meliputi penjumlahan dan pengurangan. Nah, seperti apa?
Pada dasarnya, ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam melakukan operasi vektor penjumlahan, yakni metode segitiga untuk penjumlahan dua vektor; metode Jajargenjang untuk penjumlahan dua vektor; serta metode Poligon untuk penjumlahan dua vektor atau lebih.
Metode Segitiga
Metode segitiga merupakan metode penjumlahan vektor dengan menempatkan pangkal vektor kedua pada ujung vektor pertama. Hasil penjumlahan vektornya yaitu vektor yang memiliki pangkal di titik pangkal vektor pertama dan ujung di ujung vektor kedua.
(Baca juga: Pengertian Vektor dalam Matematika dan Fisika)
Misalkan terdapat dua vektor A dan B, maka penjumlahan kedua vektor tersebut dengan metode segitiga adalah sebagai berikut:
Metode Jajargenjang
Metode jajargenjang merupakan metode penjumlahan dua vektor yang ditempatkan pada titik pangkal yang sama, sehingga hasil kedua vektornya merupakan diagonal jajargenjang.
Misalkan, terdaat dua vektor A dan B, maka penjumlahan kedua vektor tersebut dengan metode jajargenjang adalah sebagai berikut:
Metode Poligon
Metode poligon merupakan metode penjumlahan dua vektor atau lebih. Metode ini dilakukan dengan cara menempatkan pangkal vektor kedua pada ujung vektor pertama, kemudian menempatkan pangkal vektor ketiga di ujung vektor kedua dan seterusnya.
Resultan dari penjumlahan vektor-vektor tersebut adalah vektor yang berpangkal di pangkal vektor pertama dan berujung di ujung vektor akhir.
Misalkan terdapat tiga vektor, A, B dan C, maka penjumlahan ketiga vektor tersebut dengan metode poligon adalah sebagai berikut:
Hukum Komutatif dan Asosiatif
Penambahan vektor memenuhi kedua hukum, baik hukum komutatif maupun hukum asosiatif.
→ Hukum Komutatif, artinya kita bisa menukar angka dan jawabannya tetap sama untuk penjumlahan, atau perkalian.
→ Hukum Asosiatif, artinya kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda (mis. mana yang akan kita hitung pertama kali).
Operasi pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan operasi penjumlahan vektor, namun dengan membalik arah vektor pengurangnya.
Misal, terdapat pengurangan dua buah vektor A dan B, maka vektor A dikurangi vektor B sama dengan vektor A ditambah negatif vektor B.
Negatif vektor B dapat diperoleh dengan membalik vektor B ke arah yang berlawanan, sehingga pengurangan vektor A oleh vektor B dapat ditunjukkan oleh gambar berikut ini.
(gambar)
Penting: Pengurangan vektor tidak mengikuti hukum komutatif
A – B ≠ B – A
Pengurangan vektor tidak mengikuti hukum asosiatif
(A – B)- C ≠ A – (B – C)
Resultan vektor adalah hasil penjumlahan dua buah vektor atau lebih. Ada banyak metode yang bisa digunakan untuk menentukan resultan vektor, salah satunya adalah metode segitiga. Namun metode segitiga hanya dapat digunakan untuk menggambarkan resultan dari dua buah vektor saja sedangkan jika vektornya banyak (lebih dari dua) maka metode segitiga tidak dapat digunakan.
Lalu bagaimana caranya menentukan resultan dari vektor-vektor yang jumlahnya lebih dari dua? Salah satu metode yang tepat untuk menentukan resultan vektor yang jumlahnya lebih dari dua adalah metode poligon. Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan metode poligon? Untuk menjawab pertanyaan tersebut silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini.
Metode poligon adalah cara menggambarkan penjumlahan tiga buah vektor atau lebih dengan saling menghubungkan pangkal vektor ke ujung vektor yang lain sedemikian rupa hingga vektor terakhir. Setelah itu ditarik garis lurus dari pangkal vektor pertama menuju ujung vektor terakhir sehingga terbentuklah bangun segi banyak atau poligon. Untuk lebih jelas mengenai metode ini, perhatikan gambar tahapan menggambarkan resultan vektor dengan metode poligon berikut.
Perlu kalian ingat bahwa dalam memindahkan pangkal vektor ke ujung yang lain jangan mengubah besar dan arah vektornya, yang artinya panjang dan arah anak panah harus tetap. Dari gambar di atas, kita dapat menuliskan persamaa resultan hasil penjumlahan vektor A, B, C dan D adalah sebagai berikut:
E = A + B + C + D …….….. pers. (1)
A = E − B − C − D ….…….. pers. (2)
A + B = E − C − D ….…….. pers. (3)
A + B + C = E − D ….…….. pers. (4)
E adalah vektor resultan dari penjumlahan vektor A, B, C dan D. Sama seperti pada metode segitiga, untuk menentukan vektor mana yang termasuk resultan dari penjumlahan beberapa vektor pada metode poligon, kita dapat menggunakan trik berikut ini.
Vektor Resultan = ujung bertemu ujung dan pangkal bertemu pangkal |
Jadi pada metode poligon, untuk menentukan vektor mana yang termasuk resultan adalah dengan melihat ujung dan pangkal vektor-vektor. jika ada sebuah vektor yang ujungnya bertemu dengan ujung vektor yang lain dan pangkal vektor tersebut bertemu dengan pangkal vektor yang lain maka vektor itu adalah vektor resultan.
Kemudian untuk menuliskan rumus atau persamaan resultan vektornya, tulis penjumlahan vektor dimulai dari vektor yang pangkalnya bertemu dengan pangkal vektor yang menjadi resultannya. Untuk lebih memahami trik ini, coba kalian perhatikan gambar berikut ini.
Pada penjumlahan vektor p, q, r, dan s, vektor yang pangkal dan ujungnya bertemu dengan pangkal dan ujung vektor yang lainnya adalah vektor r. sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor r adalah vektor resultan. Untuk menuliskan persamaan resultan vektornya, vektor pertama yang ditulis adalah vektor r kemudian vektor yang kedua adalah vektor yang pangkalnya bertemu dengan pangkal vektor resultan yaitu vektor s dan demikian seterusnya sehingga persamaan resultannya dapat kita tulis sebagai berikut
r = s + p + q
Lalu jika kalian perhatikan lagi persamaan 3 dan 4 di atas. Vektor Resultan pada persamaan tersebut bukan merupakan vektor tunggal seperti pada persamaan 1 dan 2, melainkan gabungan dari beberapa vektor. Dengan menggunakan trik yang sama kita masih bisa menentukan resultan vektor dan juga menuliskan persamaannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.
Perhatikan gambar di atas, ujung vektor c bertemu dengan ujung vektor b dan pangkal vektor d bertemu degan pangkal vektor e. Karena ujung bertemu ujung dan pangkal bertemu pangkal maka bisa dikatakan vektor d dan c adalah vektor resultannya. Dengan demikian, jumlah vektor d dan c sama dengan jumlah vektor e, a dan b sehingga persamaan resultan vektornya dapat kita tulis sebagai berikut.
d + c = e + a + b
untuk lebih paham mengenai cara menentukan resultan vektor dengan menggunakan metode poligon perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya berikut ini.
Menentukan Vektor Resultan dengan Metode Poligon
Contoh Soal #1
Gambar resultan dari R = a – c – d dengan menggunakan metode poligon yang benar adalah…
Penyelesaian
Untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal, persamaan R = a – c – d kita ubah dahulu ke bentuk penjumlahan yaitu sebagai berikut:
R = a – c – d
a = R + c + d
dari bentuk penjumlahan tersebut, maka kita bisa mengatakan bahwa yang menjadi vektor resultannya adalah vektor a. dari kelima gambar di atas, cari vektor a yang ujungnya bertemu dengan ujung vektor yang lain dan pangkal vektor a bertemu dengan pangkal vektor yang lain. Gambar yang sesuai dengan karakteristik tersebut adalah gambar 3 dan 5.
Dari gambar 3 dan 5, cari vektor R, c dan d yang ujung-ujung vektornya bertemu dengan pangkal-pangkal vektor yang lain. Atau degan kata lain antara vektor R, c dan d tidak ada ujung vektor yang bertemu ujung vektor yang lain sehingga gambar yang sesuai adalah gambar 3. Dari gambar 3 kita dapat menuliskan persamaan vektornya sebagai berikut.
a = R + d + c
a = R + c + d
R = a − c − d
Contoh Soal #2
Perhatikan gambar vektor berikut ini.
Dari gambar 4 vektor di atas, gambarkan dengan metode poligon operasi vektor berikut ini.
a) a + b – c
b) a + b – c + d
Penyelesaian
Pertama kita tuliskan bentuk persamaan resultan vektor dari kedua operasi di atas, yaitu sebagai berikut
R = a + b – c ……………….. pers (5)
R = a + b – c + d ………... pers (6)
Dari persamaan 5, gambarlah vektor a dan b dengan ujung dan pangkal saling bertemu satu sama lain. Kemudian gambar vektor c dengan ujungnya bertemu dengan ujung vektor b. setelah itu tarik garis dari pangkal vektor a menuju pangkal vektor c. Garis inilah yang dinamakan vektor resultan R. Pola penjumlahan ketiga vektor ini secara sederhana dapat digambarkan sebagai berikut.
a →b→←c
dengan cara yang sama, pola penjumlahan keempat vektor pada persamaan 6 dapat kita gambarkan sebagai berikut.
a →b→←c→d
Kedua pola di atas, maka dapat disimpulkan bahwa jika ada salah satu vektor yang ujungnya bertemu dengan ujung vektor yang lain atau pangkalnya bertemu dengan pangkal vektor yang lain, maka vektor tersebut berharga negatif. Gambar kedua operasi vektor di atas adalah sebagai berikut.
Bentuk persamaan 5 dan 6 di atas juga dapat kita tuliskan sebagai berikut
•R = a + b – c
R + c = a + b
•R = a + b – c + d
R + c = a + b + d
Demikianlah artikel tentang cara menentukan resultan penjumlahan vektor dengan menggunakan metode poligon beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai berjumpa di artikel berikutnya.