STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 5.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2x2 5.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 5.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah 5.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. 5.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah 5.7 Menentukan komposisi transformasinya dari beberapa transformasi geometri beserta matriks TRANSFORMASI GEOMETRI A. Transformasi Transformasi adalah pemetaan suatu titik A pada suatu bidang ke titik A. Tiitik A disebut bayangan dari titik A. Transformasi ada dua, yaitu : 1. Transformasi Isometri Merupakan transformasi yang memindahkan suatu bangun geometri dari bentuk nya sebelum dan sesudah transformasi tidak berubah( besarnya tetap). Transformasi pegeseran,pencerminan,pemutaran,dan perkalian termasuk isometri. 2. Transformasi Non isometri Merupakan transformasi memindahkan suatu bangun geometri dari bentuknya semula sebelum dan sesudah transformasi mengalami perubahan ( besarnya berubah ). Transformasi perkalian termasuk transformasi nonisometri. Jenis – jenis Transformasi Dalam transformasi dikenal empat transformasi dasar, yaitu: a) Pegeseran (translasi) B’ B A A’ C C’ Translasi b) Pencerminan (refleksi) B B’ A A’ C C’ Refleksi c) Perputaran (rotasi) B’ C’ B A’ C O A Rotasi d) Perubahan sekala (dilatasi) C’ C A A’ B B’ Dilatasi a. Pergeseran Atau Translasi Pergeseran atau translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu tersebut dapat diwakili oleh suatu ruas garis berarah atau oleh suatu pasangan bilangan terurut . dinamakan komponen translasi. Jika translasi T = memetekan titik P’ ( x’, y’ ) maka berlaku hubungan x’ = x + a dan y’ = y + b. secara pemetaan dapat dituliskan: T = : P ( x,y ) y P’ ( x + a, y + b ) Titik P’ disebut bayangan titik P oleh translasi T = P’(x+a, y+b) T= b p(x.y) O a X Contoh: Bayangan titik ( 3,-7 ) oleh translasi adalah…. a. ( 5, -3 ) c. ( 7, -5 ) b. ( -1, -9 ) d. ( 1, 9 ) e. ( 12, -4 ) Penyelesaian: Misalkan titik P ( 3, -7 ) T = : P ( 3, -7 ) → P’ ( 3+4, -7+2 ) = P’ ( 7, -5 ) Jadi bayangan titik ( 3, -7 ) oleh translasi adalah ( 7, -5 ) Jawaban: C b. Pencerminan Atau Refleksi Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan Ma, dinamakan a adalah sumbu cermin. Sifat-sifat pencerminan adalah: a. Jarak dari titik asal kecermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan. b. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin. Langkah-langkah menentukan bayangan titik A terhadap garis l a. Buatlah garis g yang melalui titik A dan memotong garis l tegak lurus. Misalkan g dan l berpotongan di titik N. b. Tentukan sebuah A’ pada terusan ruas garis AN sehingga | | = | A’N |. c. Titik A’ adalah bayangan titik A terhadap garis l. Untuk menentukan bayangan titik A terhadap garis l L B B’ Menunjukkan refleksi garis AB terhadap sumbu Pencerminan l. A L A’ Y Pn(-x,y) Hasil pencerminan titik p(x,y) di tuliskan pada P(x,y) table dibawah ini: titik X P (x,y) O Sumbu pencerminan Bayangan Sumbu x (x,-y) Sumbu y (-x,y) P’(x,-y) • Pencerminan terhadap sumbu x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = x dan y’ = -y. Mx : P ( x’,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x,-y ) Pemetaan P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks 1 0 ′ ′ = 0 −1 1 0 Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 −1 sumbu X. • Pencerminan terhadap sumbu y Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -x dan y’ = y. Secara pemetaan dapat ditulis: My : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -x,y ) Dengan persamaan matriks −1 0 ′ ′ = 0 1 −1 0 Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 1 sumbu Y. • Pencerminan terhadap titik asal O ( 0,0 ). Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik asal O ( 0,0 ), maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -x dan y’ =- y. Secara pemetaan ditulis: M0 : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -x,-y ) Dengan persamaan matriks −1 0 ′ ′ = 0 −1 −1 0 Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 −1 sumbu O ( 0,0 ). • Pencerminan terhadap garis y = x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = y dan y’ = x. Secara pemetaan ditulis: My = x : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( y,x ) Dengan persamaan matriks 0 ′ ′ = 1 0 Matriks 1 = x. • 1 0 1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y 0 Pencerminan terhadap garis y = -x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -y dan y’ = -x. Secara pemetaan ditulis: My =- x : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -y,-x ) Dengan persamaan matriks 0 −1 ′ ′ = −1 0 0 −1 Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap −1 0 garis y = -x. • Pencerminan terhadap garis x = h Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = 2h – x dan y’ = y. Secara pemetaan ditulis: Mx = h : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( 2h – x, y ) • Pencerminan terhadap garis y = k Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = k, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = x dan y’ = 2k - y. Secara pemetaan ditulis: My = k : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x, 2k - y ) • Pencerminan terhadap titik ( a,b ) Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik ( a,b ), maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = 2a – x dan y’ = 2b - y. Secara pemetaan ditulis: M( a,b ) : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( 2a – x, 2b - y ) Contoh: Jika garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan bayangannya adalah a. x + 2y – 3 = 0 b. c. –x + 2y + 3 = 0 –x – 2y + 3 = 0 e. –x – 2y – 3 = 0 d. x – 2y – 3 = 0 Penyelesaian: Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y −1 0 ′ = ′ 0 1 ′ ′ = Dengan demikian x’ = -x → x = -x’ dan y’ = y → y = y’ Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = y’ pada persamaan garis, maka diperoleh: ( -x’ ) -2 ( y’ ) -3 = 0 -x’ – 2y’ – 3 = 0 Jadi bayangan garis x – 2y – 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah –x – 2y – 3 =0 Jawaban: E c. Perputaran atau rotasi Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi. Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh: 1. Titik pusat rotasi 2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi Sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi dengan garis yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi. Jika ( sudut rotasi ) positif, arah putaran ( rotasi ) berlawanan dengan arah putaran jam . sebaliknya jika negatif, arah putaran searah dengan arah putaran jam. Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi dinotasikan dengan R ( P, ). A Titik A pada gambar dirotasikan terhadap titik O Sejauh 120o searah dengan perputaran jarum jam. Bayangan A adalah A’. Rotasi yang berlawanan o 120 arah dengan perputaran jarum jam disebut rotasi A’ positif, dan begitu pula sebaliknya. a. Rotasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) Y jika P(x,y) dirotasikan dengan pusat O(0,0) sebesar p’(x’,y’) Berlawanan arah perputaran jarum jam, bayangannya Adalah P’(x’,y') dengan: R p(x,y) Y O x’ =xx cos - y sin y’ = x sin + y cos Pembuktian: Misalkan: OP = R x = R cos y = R sin x’ = R cos ( + ) = R cos cos - R sin sin x’ = x cos − sin ……………………………. !"# %$y’ = R sin ( + ) = R sin cos + R cos sin = y cos + x sin y’ = x sin + y cos ………………………………. !"# $% secara pemetaan ditulis: R ( O, ) : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x cos - y sin , x sin + y cos ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: cos ′ ′ = sin cos Matriks sin − sin cos − sin dinamakan matriks yang bersesuaian dengan rotasi R ( O, ) cos Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) Rotasi Bayangan Matriks R ( O, 90o ) ( -y, x ) 0 −1 1 0 R ( O, 90o ) ( y, -x ) R ( O, 180o ) ( -x,-y ) R ( O, 270o ) ( y, -x ) R ( O, -270o ) ( -y, x ) 0 1 −1 0 −1 0 0 −1 0 1 −1 0 0 −1 1 0 b. Rotasi terhadap titik pusat A ( a,b ) Y P’(x’,y’) R b O A R p(x,y) X Jika titik P ( x,y ) diputar sebesar berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat A ( a,b ), maka diperoleh bayangan P’ ( x’,y’ ) dengan: x’ – a = ( x – a ) cos - ( y – b ) sin y’ – b = ( x – a ) sin + ( y – b ) cos Pembuktian: Misalkan: AP = R, maka x = + ( cos y = b + R sin x – = ( cos ) y – b = R sin ) x’ = ) + ( cos( + ) x’ - ) = R cos cos − ( sin sin x’ - ) = ( x – ) ) cos − ( − ! ) sin …………………… !"# $% y’ = b + R sin ( + ) y’ – b = R sin cos + ( cos sin y’ – b = (y-b) cos + (+ − )) sin y’ – b =(x - ) sin +(y - b)cos ……………………………[ terbukti ] Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: , cos , = sin − sin + cos Contoh: Titik B ( 5, -1 ) dirotasikan terhadap titik P ( 2,3 ) sejauh 90o searah putaran jam. Bayangan titik B adalah….. a. B’ ( -4, -3 ) c. B’ ( -5, -1 ) b. B’ ( -5, 1 ) d. B’ ( -2, 0 ) e. ( 0, -2 ) c. Perkalian atau dilatasi Perkalian atau dilatas adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor sekala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatas. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh: a. Faktor skala ( k ) b. Pusat dilatasi Jika yang dilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan desngan 〈., #〉 Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut: Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika 0 < k < 1 , bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika -1 < k < 0 bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika k < -1 , bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. a. Dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ ( x’,y’ ) dengan x’ = kx dan y’ = ky secara pemetaan dapat ditulis: 1, #% : P ( x,y ) → P’ ( kx, ky ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ′ # ′ = 0 # Matriks 0 0 # 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi 1, #%. # b. Dilatasi terhadap titik pusat A ( a,b ) Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat A ( a,b ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ ( x’,y’ ) dengan x’ – a = k ( x – a ) dan y’ – b = k ( y – b ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ′ # ′ = 0 0 + # # 0 Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi 1, #%. 0 # Contoh: Bayangan titik P ( -6,3 ) oleh dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor sekala adalah….. 4 3 3 a. ( 3,- ) c. ( -6 , 2 ) b. ( - 3, ) d. ( 5, 2 ) 4 3 Penyelesaian: ′ # ′ = 0 0 # 3 3 4 e. ( - , 3 ) − 0 7 ′ = 5 36 4 0 − ′ 3 ′ = 89; 4 ′ : d. Transformasi Oleh Suatu Matriks Jika transformasi yang bersesuaian dengan matriks Ke A’ ( x’,y’ ), maka hubungan antara koordinat A dan A’ dinyatakan dengan persamaan matriks: ′ ) ′ = = contoh: ! > bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks < adalah…. a. A’ ( -9, -14 ) c. A’ ( 9, -32 ) b. A’ ( 7, 9 ) d. A’ ( 12, -14 ) 1 3 ? 2 5 e. A’ ( -5, -11 ) Penyelesaian: ′ 1 ′ = 2 3 4 5 ′ 1.3 + 3 (−4) ′ = 8 ; 2.3 + 5 (−4) ′ = 43 7D ′ E ′ = 3 ′ Dengan demikian x’ = -9 dan y’ = -14. Jadi, bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 3 adalah A’ ( -9, -14 ) 2 5 Jawaban : A B. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi adalah pengerjaan dua atau lebih transformasi secara berurutan. Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2 terhadap sasuatu titik A dapat ditulis: (T2 o T1) (A) → T2 (T1(A)) Sebaliknya, T1o T2 (baca:T1 komposisi T2) berarti transformasi T2 dilanjutkan T1. (T1 o T2) (A) → T1 (T2(A)) ) = Jika ditranslasi T1 = dan T2 = , maka komposisi translasi T1 dan T2 dapat ! > 1. Komposisi Translasi diwakili oleh sebuah translasi tunggal yang ditentukan oleh : )+= T= !+> Sifat- sifat komposisi translasi: 1) Untuk dua translasi berurutan berlaku : T1 o T2 = T2 o T1 (kumutatif) 2) Untuk tiga translasi berurutab berlaku : (T1 o T2) = T1 o (T2 o T3 ) (asosoatif) Contoh : 2 Titik A ( 6,3) ditranslasi oleh T1 = kemudian dilajutkan dengan −3 −1 T2 = Bayangan titik A adalah… 4 A. A’ ( 9, -4 ) B. A’ ( 7, 4 ) C. A’ ( 3, 10 ) D. A’ ( 9, 10) E. A’ ( 3, -4) Penyelesaian : −1 + 2 1 T = T2 o T1 = = 4 + −3 1 +′ 6 1 8 ′; = + 3 1 4 = 7 Jadi, bayangannya adalah A’ ( 7, 4) Jawaban : b 2. Komposisi Refleksi a) Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua sumbu Sejajar B A B1 A C B2 A1 A2 G G2 G1 C C1 B C2 D G1 adalah bayangan G karena refleksi terhadap sumbu AB G2 adalah bayangan G1 karena refleksi terhadap sumbu CD G2 adalah juga merupakan bayangan dari G karena refleksi terhadap sumbu AB dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD Perhatikan, melakukan refleksi dua kali berurutan terhadap sumbu sejajar sama dengan melakukan sebuah translasi. Masalah kita sekarang adalah menentukan suatu translasi yang ekuivalen dengan komposisi dua refleksi di atas. b) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang sejajar sumbu x Dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu X misalkan titik P(x’,y ) Dicerminkan terhadap garis y = a , kemudian dicerminkan terhadap garis Y = b, maka diperoleh bayangan P” ( x, 2 (b-a) + y). Secara pemetaan dapat dituliskan : My = b o My = a : P(x,y) → P” (x,3 (b-a) + y) Misalkan titk P (x,y) dicerminkan terhadap garis y = b, kemudian dicerminkan terhadap garis y= a , maka diperoleh bayangan P” (x, 2(a-b) + y) Secara pemetaan dapat dituliskan : My = a o My = b : P(x,y) → P” (x,2 (a-b) + y) c) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus G H O H3 G2 A G G1 C D G2 B Segitiga G direfleksikan dua kali berurutan terhadap sumbu AB lalu sumbu CD G1 adalah bayangan G karena refleksi terhadap sumbu AB G2 adalah bayangan G1 karena refleksi terhadap sumbu CD G2 juga merupakan bayangan dari G karena refleksi berurutan terhadap sumbu AB dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD. Misalkan M1 adalah refleksi terhadap AB dan M2 adalah refleksi terhadap CD, d.Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling berpotongan Garis l dan m berpotongan di titik P. Garis l dan m membentuk sudut . Titik A1 adalah bayangan titik A Karena refleksi terhadap garis l. Titik A2 adalah bayangan titik A1 karena refleksi terhadap garis m. Titik A2 merupakan bayangan titik A karena dua refleksi berurutan terhadap garis l dan garis m. Misalkan M1 adalah refleksi terhadap sumbu l dan M2 adalah refleksi terhadap sumbu m, c. Komposisi dua rotasi sepusat yang berurutan Perhatikan gambar 5.27. titik A1 adalah bayangan titik A karna rotasi sebesar a1 terhadap pusat P dan A2 adalah bayangan A1 karna rotasi sebesar a1 terhadap pusat P. Maka titik A dipetaka ke A2oleh rotasi terhadap pusat p sejauh a1 + a2 . Jadi, transformasi tunggal ekuivalen dengan komposisi dua rotasi yang berurutan terhadap pusat P sejauh a1 dan a2 adalah rotasi terhadap pusat yang sama jauh (a1 + a2 ) Misalkan R1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a1 = Rot(P,a1) R2 = rotasi terhadap pusat P sejauh a2 = Rot(P,a2) R2 o R1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a1 dilanjutkan rotasi terhadap pusat P sejauh a2 = rotasi terhadap pusat P sejauh (a1 + a2 ) = rot(P, a1 + a2) Contoh 1. Tentukan bayangan titki (4,2) kerna rotasi sejauh a1 = 10o dilanjutkan rotasi sejauh a2 =50 Terhadap pusat (0,0) Jawab : Rotasi sejauh a1 = 100 dilanjutkan rotasi sejauh a2 = 50 ekuivalen dengan rotasi Rot(0,a1 + a2) = Rot (0,600) Misalkan (x2,y2,)adalah bayangan titik (4,2) akibat rotasi 2 diatas , maka 7D –KMN 7D : = IJK KMN 7D IJK 7D : = 53 2 √3 − 3 2 − √3 ; =8 2√3 + 1 3 4 6 2 Jadi, bayangan titik ( 4, 2 ) akibat rotasi terhadap pusat O sejauh 10o dilanjutkan 50o adalah titik ( 2-√3, 2√3 + 1 ) SOAL 1. Titik (4, −8) dicerminkan terhadap garis (0, 60D ),hasilnya adalah... a x = 6,dilanjutkan dengan rotasi −4 + 4√3 , 4 − 4√3 b −4 + 4√3 , −4 − 4√3 c 4 + 4√3 ,4 − 4√3 d 4 + 4√3 − ,4 − 4√3 e 4 + 4√3, 4√3 − 4 UAN 2006 2. Garis dengan persamaan 2+ − − 6 = 0 2 dengan bersesuaian dengan matriks −1 a 2+ + 5 + 6 = 0 b 2+ + 5 − 6 = 0 c 2+ + 3 − 6 = 0 d 2+ + 2 − 6 = 0 e 5+ + 2 + 6 = 0 dicerminkan terhadap garis = + dilanjutkan 1 .persamaan bayangan adalah... 0 UAN 2005 3. Garis dengan garis persamaan = 2+ + 3dicerminkan terhadap sumbuh Q kemudian diputar dengan ( (1, 90D ) .Persamaan bayangan adalah... a + − 2 − 3 = 0 b + + 2 − 3 = 0 c 2+ − − 3 = 0 d 2+ + − 3 = 0 e 2+ + + 3 = 0 EBTANAS 2000 4. Persamaan peta garis + − 2 + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat 0(0,0) sejauh 90D ,dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = + adalah ... a + + 2 + 4 = 0 b + + 2 − 4 = 0 c 2+ + + 4 = 0 d 2+ − − 4 = 0 e 2+ + − 4 = 0 UAN 2003 5. Bayangan ST, dengan (2,1),S(6,1), T(5,3) karena fefleksi terhadap sumbu U dilanjutkan rotasi (1, 90D ) adalah ... a ′′ (−1, −2) ,S " (1,6 ) dan T ′′ (−3, −5) b ′′ (−1, −2) ,S " (1, −6 ) dan T ′′ (−3, −5) c ′′ (1, −2) ,S " (−1,6 ) dan T ′′ (−3, 5) d ′′ (−1, −2) ,S " (−1, −6 ) dan T ′′ (−3, −5) e ′′ (−1, 2) ,S " (−1, −6 ) dan T ′′ (−3, −5) EBTANAS 2001 6. Luas bayangan persegi panjang .W(X dengan . (−1, 2 ), W ( 3, 2 ), ( ( 3, −1 ), X ( −1, −1 ) karena dilatasi 0 Y dengan pusat 1 sejauh adalah a b c d e 36 satuan luas 48 satuan luas 72 satuan luas 96 satuan luas 108 satuan luas 3% dilanjutkan rotasi UAN 2007 7. Bayangan garis = 2+ + 2 yang dicerminkan terhadap garis = + adalah ... a =++1 b =+−1 c = + − 1 3 d = + + 1 e 3 = +− 3 3 UAN 2005 8. Garis yang persamaannya + − 2 + 3 = 0 dipetakan dengan transformasi yang berkaitan 1 −3 dengan matriks .Persamaan bayangan garis itu adalah... 2 −5 a 3+ + 2 − 3 = 0 b −+ + + 3 = 0 c 3+ − 2 − 3 = 0 d +− +3=0 e 3+ + 2 + 3 = 0 SNMPTN 2008 9. Persamaan peta garis 2+ − + 5 = 0 karena refleksi terhadap garis + + 3 = −2 4 0 dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah.. −1 1 a 3+ − 10 + 17 = 0 b 3+ − 10 + 14 = 0 c 3+ − 10 − 14 = 0 d 3+ + 2 − 7 = 0 e + + 2 − 14 = 0 SNMPTN 2007 2 1 10. Persamaan bayangan garis = −6+ + 3 karena transformasi oleh matriks −1 −2 0 2 karena kemudian dilanjutkan dengan matriks adalah ... 1 −2 a + + 2 + 3 = 0 b + + 2 − 3 = 0 c 8+ − 19 + 3 = 0 d 13+ + 11 + 9 = 0 e 13+ + 11 − 9 = 0 SNMPTN 2009 2 11. Persamaan bayangan garis 4+ − 3 + 5 = 0 oleh translasi sejauh matriks −3 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = + adalah... a 4+ − 3 − 12 = 0 b 4+ − 3 + 22 = 0 c 4 − 3+ − 9 = 0 d 4 − 3+ − 12 = 0 e 4 − 3+ + 22 = 0 UAN 2004 12. Titik ′ (6, −1) S ′ (1,0) berturut-turut adalah bayangan titik (2,4), >)Z S(+, ) karena ) percerminan terhadap garis = + dilanjutkan dengan translasi [ = .Koordinat !+3 titik S(+, ). a (6, −1) b (−1,3) c (2, −3) d (2, −6) e (3, −1) UAN 2010 13. Bayangan lingkaran (+ − 2) + ( + 3) = 25,Oleh transformasi yang bersesuaian 0 −1 dengan matriks .dilanjutkan dengan pencerminan terhaddap garis = + adalah 1 0 ... a + + −6+ − 4 − 12 = 0 b + + −6+ + 4 − 12 = 0 c + + +4+ − 6 − 12 = 0 d + + −4+ − 6 − 12 = 0 e + + −4+ + 6 − 12 = 0 SNMPTN 2004 14. Persamaan bayangan lingkaran + + −4+ − 6 − 3 = 0 oleh Trnsformasi yang 0 1 berkaitan dengan matriks adalah.. −1 0 a. + + −6+ − 4 − 3 = 0 b. + + −6+ + 4 − 3 = 0 c. + + −6+ + 4 − 3 = 0 d. + + −4+ + 6 − 3 = 0 e. + + +4+ − 6 + 3 = 0 UAN 2007 15. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat 1 sejauh (0,2)adalah + = 2 + − .persamaan kurrva semula adalah... a = − + – + + 4 3 3 \ ,dilanjutkan dilatasi b = − + – + − 4 c 3 = − + ++ + 4 3 d = −2+ – + + 1 e = 2+ – + − 1 UAN 2003 16. Banyangan garis = 2+ + 2 yang dicerminkan terhadap garis = + adalah: a. = + + 1 b. = + − 1 c. = − 1 d. = + 1 e. = − 3 17. Persamaan bayangan kurva = + − 2+ − 3 oleh rotasi oleh pencerminan terhadap garis = −+ adalah a. = + − 2+ − 3 b. = + − 2+ + 3 c. = + + 2+ + 3 d. + = − 2 − 3 e. + = + + 2 + 3 0,180D %, UAN 2002 kemudian dilanjutkan UAN 2005 18. Segitiga ABC dengan (2,1), S (6,1), T (6,4) ditransformasikan dengan matriks 3 1 transformasi . Luas bangun hasil transformasi segitiga adalah 0 1 a. 56 satuan b. 36 satuan c. 28 satuan d. 24 satuan e. 18 satuan Ebtanas 2001 19. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan . (−1,2), W (3,2), ( (3, −1), X (−1, −1) Y karena dilatasi 0,3% dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut adalah... a. b. c. d. e. 36 48 72 96 108 Ebtanas 2001 20. Persamaan peta kurva = + − 3+ + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah... a. 3 + + − 9+ + 18 = 0 b. 3 − + + 9+ − 18 = 0 c. 3 − + + 9+ + 18 = 0 d. 3 + + + 9+ + 18 = 0 e. + + + 9+ − 18 = 0 UAN 2003 21. Diketahui koordinat titik P adalah (4, −1). Oleh karena translasi diperoleh bayangan titik P, yaitu .′(−2), −4), nilai ) = …… a. -3 b. -1 c. 0 d. 2 e. 3 SNMPTN 2OO4 22. Titik .^ (2, −4) adalah bayangan titik. (3, 5) oleh translasi [. Translasi [ = ….. a. 3 E 3 b. E c. 3E d. _3 e. 3 E Ebtanas 2001 23. Jika garis = + + 5 ditranslasikan oleh 4, maka persamaan bayangannya adalah…. a. b. c. d. e. = 2+ + 8 = + + 10 =++5 = 2+ + 5 =++8 SNMPTN 2000 24. titik (3, −5)dicerminkan terhadap sumbu Q. koordinat bayangan titik adalah…. a. (3, 5) b. (−3, −5) c. (−3, −5) d. ( −5, 3) e. ( −5, − 3) UAN 2009 25. Titik P ( -3, 7 ). (−3, 7) dicerminkan terhadap garis = −+ koordinat bayangan titik . adalah….. a. (3, −7) b. (3, −7) c. (7, −3) d. (−7, 3) e. (−7, −3) UAN 2007 26. Titik (2,1) dirotasikan terhadap titik 1 (0,0) sejauh 90D berlawanan arah putaran jam. Bayangan titik adalah… a. ^ (−1,2 ) b. ^ (−2, 1 ) c. ^ (1, −2 ) d. ^ (−1, −2 ) e. ^ (2, 1 ) SNMPTN 2009 27. Bayangan titik oleh rotasi ( (0, 45D ) adalah −√2, √2. Koordinat titik adalah…. a. (0, 0) b. (0, 2) c. (2, 0) d. (−2, 0) e. (0, −2) UAN 2008 28. Jika garis x – 2y = 5 diputar sejauh 90o terhadap titik ( 2,4 ) berlawanan arah putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah…. a. 2+ + = −19 b. 2+ + = 19 c. + − = 19 d. − + = 19 e. −+ − = 19 UAN 2010 29. Bayangan titik . (2, −1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3, 4)dengan faktor skala -3 adalah…. a. .^ (−6, 1) b. .^ (−3,15) c. (6, 19) d. .^ (3, 15) e. .^ (0, 11) UAN 2007 30. Diketahui bayangan titik . (3, 2)oleh suatu transformasi adalah .^ (3,7) dan bayangan titik W (1, 1) adalah W ^ (1, 4). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi tersebut adalah… −1 0 a. −1 −5 1 0 b. −1 5 −1 5 c. 1 0 5 −1 d. 1 0 0 −5 e. −1 1 SNMPTN 2008 31. Garis = 2+ − 3 ditranslasikan oleh D7 dilanjutkan oleh translasi persamaan bayangan garis adalah…. a. = + − 5 b. = 2+ + 5 c. = 2+ − 5 d. = e. = 3 3 ++3 +−3 SNMPTN 2009 32. titik W (5, 1)dicerminkan terhadap garis + = 1 kemudian dilanjutkan terhadap garis + = −3 Bayangan terakhir titik W adalah…. a. (5, −7) b. (5, −3) c. (−3, 1) d. (−3, 3) e. (13, 1) UAN 2005 33. Titit ( (2, −5) dicerminkan terhadap garis + = 3 kemudian dilanjutkan garis = 1. Koordinat bayangan titik R adalah…. a. (4, −5) b. (−4, 5) c. (−4, −7) d. (4, 7) e. (−4, 7) UAN 2007 34. Garis + + = 3 dicerminkan terhadap sumbu U kemudian dicerminkan terhadap sumbu Q. persamaan bayangan adalah…. a. + − = −3 b. c. d. e. + + = −3 ++ =3 – + + = −3 +− =3 UAN 2010 35. Persamaan bayangan garis = 2+ − 3 yang direfleksikan terhadap garis = −+ dan di lanjutkan garis = + adalah ………….. a. 2 + + + 3 = 0 b. + 2+ − 3 = 0 c. − 2+ − 3 = 0 d. 2 + + − 3 = 0 e. 2 − + − 3 = 0 UAN 2009 36. Bayangan garis 2+ − − 6 = 0 jika dicermikan tehadap sumbu Q dilajutkan rotasi pusat 1 sejauh 90° adalah………….. a. 2+ + − 6 = 0 b. + + 2 − 6 = 0 c. + − 2 − 6 = 0 d. + + 2 + 6 = 0 e. + − 2 + 6 = 0 UAN 2008 37. Persamaan bayangan garis 4+ + 3+ − 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan 0 −1 1 matrik di lanjutkan matrik 1 1 1 a. 8+ + 7 − 4 = 0 b. 8+ + 7 − 2 = 0 1 adalah…….. −1 c. + − 2 − 2 = 0 d. + + 2 − 2 = 0 e. 5+ + 2 − 2 = 0 UAN 2007 38. Bayangan kurva = + − 3 jika dicerminkan terhadap sumbu Q dilanjutkan dengan dilatasi pusat 1 dan faktor skala 2 adalah …….. a. = 3 c. = 3 b. = 3 + + 6 + − 6 + − 6 d. = 6 − 3 + e. = 3 − + 3 UAN 2006 39. Persamaan bayangan garis 4+ − + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matrik 2 0 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu U adalah ……….. −1 3 a. 3+ + 2 − 30 = 0 b. 6+ + 12 − 5 = 0 c. 7+ + 3 + 30 = 0 d. 11+ + 2 − 30 = 0 e. 11+ − 2 + 30 = 0 40. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut + = 2 + − . Persamaan kurva semula adalah Y UAN 2005 , dilanjutkan dilatasi 0,2% adalah a. = − + − + + 4 3 b. = − + + + − 4 3 c. = − + + + + 4 3 d. = −2+ + + + 1 e. = 2+ − + − 1 UAN 2011 PEMBAHASAN 1. Titik P (x,y) dicermin terhadap x = a bayangan adalah P’ (2a-x,y). Titik P (4,-8) dicerrmin terhadap x = 6 bayangan adalah p’ (2.6-4 ,-8 ) = (8,-8). Selanjutnya titik P’ (2,-8) dirotasikan (0,600) untuk menghasilkan bayangan hasil P(x”,y”) P’ (8,8) rot (0,60) P(x”.y”). Matriks rotasi (0,600) adalah − √3 − sin 60 = 53 6 3 cos 60 √3 3 cos 60 sin 60 3 − √3 +" 8 6 8 ; = 53 3 " −8 √3 3 3 4 + 4√3 8 ; 4√ 3 − 4 Bayangan adalah akhirnya adalah (4 + 4√3, 4√3 − 4. Jawaban: E = 0 1 2. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis = + adalah . 1 0 Garis yang persamaan 2+ − − 6 = 0 dicerminkan terhadap garis = + dilanjutkan 2 1 dengan bersesuaian dengan matriks bayangannya ditentukan sebagai berikut: −1 0 +" 2 1 0 1 + 8 "; = −1 0 1 0 1 = 0 + 2 −1 + 1 = 0 2 3 + " 8 "; −1 +^ 3 1 2 =3D 8 ^; 0 −1 + 1 = 0 + ^ + 2 ′ +^ 2 8 ^ ; =8 ; −1 − ′ → + = + ^ + 2 ^ dan = ′ Substitusikan harga + dan kedalam persamaan garis 2+ − − 6 = 0 didapat : 2(+ ^ + 2 ′) − (− ) − 6 = 0 ↔ 2+ ^ + 4 ^ + ^ − 6 = 0 ↔ 2+ ^ + 5 ^ − 6 = 0 Jadi bayangan akhirnya adalah 2+ + 5 − 6 = 0 Jawaban: B 1 0 3. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Q addalah dan 0 −1 1 0 matriks yang bersesuaian dengan rotasi ((1, 90D )adalah .bayangan garis 0 −1 = 2+ + 3 dicerminkan terhadap sumbu U kemudian diputar dengan ((1, 90D ) ditentukan sebagai berikut: + +′ 0 −1 1 0 8 ;= ′ 1 0 0 −1 0 = 1 + 1 + 0 1 3 +′ ↔ = 8 ; ′ 0 1 0 3 0 −1 +′ =3 8 ; ′ −1 0 Di dapat + = ^ dan = +′.disubsitusikan harga + = ^ dan = +′ kedalam persamaan garis = 2+ + 3 didapat ; + ^ = 2 ^ ↔ + ^ − 2 ^ − 3 = 0 . persamaan bayangan adalah; + − 2 − 3 = 0 Jawaban: A 0 −1 .Matriks rotasi 4. Matriks yang rotasi dengan pusat 1(0,0)sejauh 90D adalah 1 0 0 1 terhadap garis = + adalah . 1 0 Persamaan peta garis + − 2 + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat 1(0,0) percerminan terhadap garis = + ditentukan sebagai berikut: +′ 1 0 0 8 ;= ′ 0 −1 1 0 = 1 1 + 0 −1 + 0 + 1 0 3 +′ ↔ = 8 ; ′ 0 −1 +′ 3 1 0 8 ; =3 0 −1 ′ + −+′ −1 0 +′ = 8 ; =8 ; ′ 0 1 ′ Didapat + = −+′ dan = ′ ke dalam persamaan garis + − 2 + 4 = 0 di dapat : + − 2 + 4 = 0 → + ^ − 2(− ) + 4 = 0 ↔ + ^ + 2 ^ + 4 = 0 jadi persamaan bayanganya adalah: + + 2 + 4 = 0 Jawaban : A −1 5. Matriks refleksi terhadap sumbu U adalah 0 0 −1 .Bayangan titik . (+. ) karena refleksi 1 0 rotasi (1, 90D ) ditentukan sebagai berikut : +" 0 −1 −1 0 + 8 ;= " 1 0 0 1 0 = 1 −1 + 0 0 dan matriks rotasi (1, 90D ) adalah 1 terhadap sumbu U dilanjutkan dengan −+ +" =8 ; = − " Diperoleh + = − " dan = −+" atau ." (− , −+).Bayangan ketiga titik karena refleksi terhadap sumbu U dilanjutkan dengan rotasi (1, 90D ) adalah: • (2, ,1) → "(−1, −2) • S(6,1) → S" (−1, −6) • T (5,3) → T" (−3, −5) Jawaban : D Y 3 0 0 −1 6. Matriks dilatasi 0,3% adalah danrotasi dengan pusat 1 sejauh adalah 0 3 1 0 Y .Dilatasi 0,3% dilanjutkan dengan pusat 1 sejauh ,matriks komposisi trnsformasinya 0 −1 3 0 0 −3 adalah = .Persegi panjang .W(X dengan .(−1,2) , W(3,2), 1 0 0 3 3 0 ((3, −1), X(−1, −1). .W = a(3 + 1) + (2 − 2) =√16 + 0 = 4 dan .X = a(−1 + 1) + (−1 − 2) = √9 = 3 Luas persegi panjang .W(X : b = .W × .X = 4 × 3 = 12 X) ")Z b")d . Luas bayangan persegi panjang .W(X karena dilatasi 0,3% dilanjutkan rotasi Y dengan pusat 1 sejauh adalah b=e 0 −3 e × b = (0 + 9) × 12 = 108 X) ")Z b")d . 3 0 Jawaban : E 0 1 7. Matriks refleksi terhadap garis = + adalah .Bayangan garis 2+ + 2 yang 1 0 dicerminkan terhadap garis = + ditentukan sebagai berikur: +′ 0 1 + 8 ;= >$>)f) = + ^ >)Z + = ′.Subsitusikan ′ 1 0 Kedalam persamaan garis 2+ + 2 didapat: + ^ = 2 ^ + 2 → 2 ^ = + ^ − 2 = + ^ >)Z + = ′. ↔ ^ = + ^ − 1 ) )" = + − 1 3 3 Jawaban : C + 1 +′ 1 −3 + 8. 8 ; = → ′ 2 −5 2 −3 3 +′ 8 ; ′ −5 + −5+ ^ + 3 ′ 3 −5 3 +′ −5 3 +′ = _g7 8 ; = 8 ; = 8 ; −2+ ^ + ′ −2 1 ′ −2 1 ′ Didapat + = −5+ ^ + 3 ^ >)Z ^ − 2+ ^ + ^ . Disubsitusikan nilai + dan kedalam persamaan garis + − 2 + 3 = 0 ↔ −5+ ^ + 3 ^ − 2 (−2+ ^ + ^ ) + 3 = 0 → −5+ ^ + 3 ^ + 4+ ^ − 2 ^ + 3 = 0 → −+ ^ + ^ + 3 = 0 Persamaan bayangan −+ + + 3 = 0 Jawaban : B 9. Garis + + 3 = 0 → + = −3 hijkilmn o .(+, ) pqqqqqqqqr .^ (2) − +, ) hijkilmn o4 2+ − + 5 = 0 pqqqqqqqqqr 2(2(−3) − +) − + 5 = 0 → 2(−6 − +) − + 5 = 0 ↔ −2+ − − 7 = 0 −2 4 Garis −2+ − − 7 = 0 ini ditransformasikan oleh matriks . −1 1 Bayangannya ditentukan sebagai berikut: + −2 4 3 +′ +′ +′ 3 −2 4 + 1 8 ;= → 8 ; = 8 ;= ′ ′ ′ g 1 −1 1 −1 1 −2 +′ +′ 6 8 ; = 53 ′ 1 ′ 3 −2+′ 3 53 − ′ 6 didapat −4 +′ 8 ; −2 ′ + = + ^ − 2 ^ >)Z ^ = + ^ − ′ 3 .Subsitusikan harga-harga ini kedalam persamaan garis −2+ − − 7 = 0 . 3 ↔ −2 + ^ − 2 ′ − + ^ − ′ − 7 = 0 3 3 ↔ −+ ^ + 4 ^ − + ^ + ^ − 7 = 0 3 ↔ − + ^ + 5 ^ − 7 = 0 4 ↔ 3+ ^ − 10 ^ + 14 = 0 ↔ 3+ − 10 + 14 = 0 stutvtw: y 10. Bayangan ditentukan sebagai berikut: + + +′ −2 −4 + −2 −4 3 +′ 0 2 2 1 8 ;= = → = 8 ^; ′ 4 5 4 5 1 −1 −1 −2 +′ 3 5 4 = 3Dg37 8 ; −4 −2 ′ _ _ , g " + +′ _ , g ^ ↔ = 5 7 7 6 8 ; = 5 ,7 ^6 → >$>)f) + = 7 >)Z = − 7 − 7 ′ 7 , ^ 7 Subsitusikan nilai-nilai + dan kedalam persamaan garis = −6+ + 3 didapat: , , 7 = −6 _ , g , 7 +3 ↔ −4+ ^ − 2 ^ = 30+ ^ − 24 ^ + 18 ↔ 26+ ^ + 22 ^ − 18 = 0 13+ ^ + 11 ^ − 9 = 0 ) )" 13+ + 11 − 9 = 0 Jawaban : E zo : {9 11. 4+ − 3 + 5 = 0 pqqqr 4(+ − 2) − 3( + 3) + 5 = 0 ↔ 4+ − 8 − 3 − 9 + 5 = 0 ↔ 4+ − 3 − 12 = 0 hijkilmn ( o ) 4+ − 3 − 12 = 0 pqqqqqqqqqr 4 − 3+ − 12 = 0 Jadi ,persamaan bayangan adalah 4 − 3+ − 12 = 0 Jawaban : D hijkilmn o |h}mkmn z g4 12. (2,4) pqqqqqqqqr (2,4) pqqqqqqqqqqqr ^(g,_g) = (6, −1) >$>)f) ) = 2, ! = −6 hijkilmn o |h}mkmn z g4 S(+, ) pqqqqqqqqr ( , +)pqqqqqqqqqqqr S ^( g, gg4) = (1,0)didapat + ) = 1 ↔ + 2 = 1 ↔ = −1 >)Z + + ! + 3 = 0 ↔+−6+3=0 ↔+ =3 ~)>$, $ $# S(3, −1) Jawaban : E 13. (+ − 2) + ( + 3) = 25 ↔ f"d) (2, −3) >)Z = 5 Matriks Pencerminan ; 0 1 = + )>))ℎ 1 0 Matriks Komposisi Transformasi ; 0 1 0 −1 1 0 = = 1 0 1 0 0 −1 + +′ 1 0 8 ;= ′ 0 −1 ^ + 1 0 3 + ^ ↔ 8 ^; = 8 ^; 0 −1 + 3 −1 0 +′ = 8 ; 3D 0 1 ′ +′ −1 0 +′ = 8 ; = 8 ; − ′ 0 1 ′ >$>)f) + = + ^ >)Z = ^ . subsitusikan + = + ^ dan = − ^ kedalam persamaan lingkaran (+ − 2) + ( + 3) = 25 didapat (+ ^ − 2) + ( + 3) = 25 ↔ (+ ^ ) − 4+ ^ + 4 + ( ^ ) − 6 ^ + 9 = 25 ↔ (+′) + ( ′) − 4+ ^ − 6 ^ − 12 = 0 ↔ + + − 4+ − 6 − 12 = 0 Jawaban : D +′ 0 1 + 14. 8 ; = ′ −1 0 + 0 1 3 + ^ ↔ = 8 ^; −1 0 + 3 0 −1 +′ = Dg3 8 ; ′ 1 0 − ′ 0 −1 +′ = 8 ; = 8 ; ′ 1 0 +′ >$>)f) + = − ^ >)Z = + ^ . subsitusikan + = ^ dan = + kedalam persamaan + + − 4+ − 6 − 3 = 0 ↔ (− ^ ) + (+′) − 4 + (− ′) − 6+′ − 3 = 0 ↔ ( ′) + (+′) + 4 ^ − 6+ ^ − 3 = 0 ↔ + + − 6+ + 4 − 3 = 0 Jawaban : C 3 0 −1 2 0 15. Matriks Rotasi )Z = − + ^ subsitusikan keduanya kedalam persamaan kurva 3 3 = )+ + !+ + = >$f ℎ; ↔ − + ^ = ) ′ + ! ′ + = 3 3 3 ↔ − + ^ = )( ′) + ! ′ + = 3 3 3 ↔ + ^ = − )( ′) − ! ^ − 2= 3 1 persamaan garis bayangannya adalah; = − )( ^ ) − ! ^ − 2= ↔ + = −2= − ! − 2 1 = − )( ^ ) . 2 Karena persamaan bayangannya adalah + = 2 + − maka = = −1, ! = −1, ) = 2. Dengan demikian persamaan kurva semula adalah = 2+ − + − 1. Jawaban : E 16. Rumus dasarnya : .(+, ) → .(+, )... (1) Pencerminan terhadap garis y = x : .(+, ) → .( , +)... (2) Dari (1) dan (2) maka : + = >)Z = + ... (3) Substitusi (3) kegaris = 2+ + 2 + = 2 + 2 ⟺ 2 = + − 2 = −1 Hasil pencerminannya adalah = − 1 Jawaban : C cos 17. 1. Rotasi terhadap R (0, ) = sin Maka rotasi terhadap R (0, 180D ) − sin cos D = cos 180D sin 180 − sin 180D cos 180D −1 0 = 0 −1 Rotasi sudut – sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri. 2. Pencerminan terhadap garis = −+ −1 0 . (+, ) → . (− , −+) matriksnya 0 −1 Bayangan oleh rotasi 0, 180D %, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis = −+ adalah : + −1 0 0 −1 + = 0 −1 −1 0 0 1 + = 1 0 = ( , +) + = ; = + Substitusikan pada kurva = + − 2+ − 3 + = − 2+ − 3 ⇒ + = − 2+ − 3 Jawaban: D 3 1 18. Misalkan [ = maka luas bayangan atau transformasi ∆ ABC = |det | x luas 0 1 ∆ ST |det [| = |)> − !=| = |3 − 0| = 3 Luas ∆ ST: Luas ∆ ST = + S + ST 3 = ))d + $Z””$ 3 = +4+3 3 =6 Luas bayangan/ transformasi ∆ ST 19. Dilatasi 0,3#% 0,3#% ∶ . (+, ) ⟶ . (3+, 3 ) Rotasi pusat O bersudut —( ! 3 > 2 3 3) + 2! ⇔. = 7 3= + 2> Dengan demikian 3) + 2! = ⋯ … … … … … … … … . ..(1) 3= + 2> = 7 … … … … … … … … . . . (2) Untuk titik W 1 ) = 4 = ! 1 > 1 )+! 1 ⇔. = 4 =+> Dengan demikian ) + ! = 1 … … … … … … … … … . . . . (3) = + > = 4 … … … … … … … … … . … . (4) Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 3 diperoleh ) = 1 dan ! = 0,dengan menyelesaikan persamaan 2 dan 4diperoleh = = −1 dan > = 5.jadi ,matriks yang bersesuaian dengan transformasi itu adalah: 1 0 −1 5 Jawaban : B 0 2 31. Misalkan [3o Dan [ = 6 −4 2+0 2 T = T oT3o = −4 + 6 2 + +′ 2 8 ; = + ′ 2 +′ ++2 ⟺8 ;=8 ; ′ +2 Dengan demikian + ′ = + + 2 → + = + ′ − 2 dan ′ = + 2 Dengan mensubsitusikan + = + ′ − 2 dan = ′ − 2 kepersamaan = 2+ − 3 diperoleh : ′ − 2 = 2(+ ′ − 2) − 3 ⇔ ′ − 2 = 2+ ′ − 4 − 3 ⇔ ′ = 2+ ′ − 5 Jadi persamaan garis bayangan adalah = 2+ − 5 Jawaban : C 32. H o} H oŸ = W(+, ) → W"(2(Z − ) + +, ) H o4 H o3 = W(5,1) → W"(2(−3 − 1) + 5,1 = W"(−3,1) Jadi bayangan adalah W ′ (−3,1) Jawaban : C 33. H¡o¢ H o£ = H o£ o M¥o¦ = M ((P, Q)) H o3 o M¥o4 = M ((3,1)) Pencerminan terhadap garis + = 3 dilanjutkan terhadap garis = 1 ekuivalen dengan pencerminan terhadap titik (3,1) H(,) ∶ ( (+, ) → ( ′ (2) − +, 2) − ) H(4,3) :((2, −5) → ( ′ (2.3 − 2, 21— 5 = ( ′ (4,7) Dengan demikian H o3 o M¥o4 = R(2, −5) → R′ (4,7) Jadi bayangan adalah R’(4,7) Jawaban D 1 0 −1 0 34. Matriks H = < ? dan M« = < ? 0 −1 0 1 Matriks H o H« = H¥ × M« 1 0 −1 0 =< ?×< ? 0 −1 0 1 −1 0 =< ? 0 −1 +′ −1 0 + 8 ;=< ? ′ 0 −1 −+ +′ ¬ = )Z = − ′ kepersamaan + + = 3 Diperoleh ; (−+ ′ ) + (− ′ ) = 3 ↔ −+ ′ − ′ = 3 + ′ + ′ = −3 Jadi persmamaan bayangan adalah + + = −3 Jawaban B 35. Langkah 1: = 2+ − 3 direfleksikan terhadap garis = −+ matriks yang bersesuaian dengan 0 −1 = −+ = −1 0 +^ 0 −1 + 8 ^; = −1 0 − +′ 8 ;= −+ ′ Dengan demikian: + ^ = − → = + ^ ^ = −+ → + = − ^ o = 2+ − 3 pqqr − + = −2 − 3 Langkah 2: −+ = −2 − 3 direfleksikan terhadap garis = +. Matriks yang bersesuaian dengan. 0 =+= 1 1 0 +′ 0 1 + 8 ;= ′ 1 0 +′ 8 ;= + ′ Dengan demikian + ^ = ^ = + o −+ = 2 − 3 pqr − = 2+ − 3 − 2+ − 3 = 0 Jawaban : C 36. Matriks H = 1 0 0 −1 dan ( (0, 90D ) = 0 −1 1 0 0 Matriks ( = (0, 90 ) + H = 1 +′ 0 1 + = 8 ;= ′ + 1 0 −1 1 0 0 0 0 = −1 1 1 0 Dengan demikian + ′ = dan ′ = + Dengan mensubstitusikan + ′ = dan ′ = + kepersamaan 2+ − − 6 = 0 diperoleh 2 − + − 6 = 0 + − 2 − 6 = 0 Jawaban : E 37. garis 4 + 3+ − 2 = 0 ditransformasikan oleh matriks 1 1 1 −1 + +′ 1 1 0 −1 8 ;= ′ 1 −1 1 1 + +′ 1 0 8 ;= ................... (1) ′ −1 −2 + 1 = −1 =− 3 +′ 2 0 8 ; −1 −1 ′ 3 2 − −1 ® ® 0 3 +′ 8 ; ′ −2 + +′ 3 0 2 0 1 0 8 ; = − −1 ′ −1 −1 −1 −2 −1 0 +′ 3 2 3 3¯ 8 ; = = − 0 ′ −+′ −+ 3 ^¯ = ^ − = −+ + 3 0 + 2 +′ + 3 ^¯ = + − ®3 ^ Hasil transformasi garis 4 + 3+ − 2 = 0 adalah +′ 3 ¯ + 3 (+′) − 2 = 0 + − ^ 4 ®3 ^ −2+ ^ − 2 ^ + 3+ ^ − 2 = 0 + ^ − 2 ^ − 2 = 0 + − 2 − 2 = 0 0 −1 dilanjutkan oleh 1 1 Jadi persamaan bayangannya adalah + − 2 − 2 = 0 Jawaban : C 38. Diketahui kurva = + − 3 dicerminkan terhadap sumbu −Q kemudian 0, 2% Ditanyakan bayangan akhir kurva 1 Matriks yang berhubungan dengan refleksi terhadap sumbu – Q adalah 0 2 Matriks yang berhubungan dengan 0,2 % adalah 0 0 2 0 −1 Dengan demikian matriks yang berhubungan dengan transformasi refleksi terhada sumbu – Q dilanjutkan 0,2 % adalah 2 0 0 1 0 2 0 = 2 0 −1 0 −2 Bayangan x dan y oleh transformasi diatas adalah +′^ 2 8 ^^ ; = 0 2+ = 8 ; −2 + 0 −2 + ^^ = 2+, maka + = 3 +′′ ..... (1) ^^ = −2 , maka = − ′′ ......(2) 3 Substitusikan (1) dan (2) ke persamaan kurva = + − 3 − ^^ = +′′ − 3 3 − ^^ = 3 3 3 ^^ = 6 − (+′′) − 3 3 (+′′) Atau = 6 − 3 + Jadi bayangan kurva oleh transformasi diatas adalah = 6 − 3 + Jawaban : D 39. misalkan [3 = transformasi yang bersesuaian dengan matriks 2 0 H3 = −1 3 [ = transformasi pencerminan terhadap sumbu Y −1 0 H = 0 1 Persamaan garis 4+ − + 5 = 0 ditransformasikan oleh [3 kemudian oleh [ . ([ [3 ) Komposisi transformasi [ [3 bersesuaian dengan perkalian matriks H . H3 , yaitu −1 0 2 0 H . H3 = 0 1 −1 3 Bayangan +′ −1 0 2 0 + 8 ;= ′ 0 1 −1 3 −2 0 + = −1 3 −2+ = 8 ; −+ + 3 + ^ = −2+ → + = − +′ 3 = −+ + 3 ^ Dengan mensubstitusikan + = − +′ pada ^ = −+ + 3 maka diperoleh: 3 = − − + + 3 ^ 3 ^ = + ^ + 3 3 ^ ^ 3 ^ - + = 3 3 3 = ^ − +^ 4 7 Substitusikan + = 50 diperoleh: 3 + ^ dan = 3 4 ^ − 3 7 + ^ pada persamaan garis 4+ + = 4 − + ^ − 4 ^ − 7 + ^ + 5 = 0 kalikan kedua ruas dengn 6, sehingga di peroleh: 3 3 3 12+ ^ − 2 ^ + + ^ + 30 = 0 −11+ ^ − 2 ^ + 30 = 0 11+ ^ + 2 ^ − 30 = 0 Jadi persamaan bayangan garis 4+ − + 5 = 0 adalah 11+ = 2 − 3 = 0 Jawaban: D Y 0 −1 40. Rotasi , = 1 0 2 0 Dilatasi (0,2) = 0 2 Y Rotasi , dilanjutkan dengan dilatasi (0,2) bersesuaian dengan matrik: +^ 2 0 0 −1 + = 8 ^ ; 0 2 1 0 ^ + + 0 −2 = 8 ^ ; 2 0 + +^ 3 0 2 = = 8 ^; −2 0 ^ + = 53 6 +^ 3 + = −2 ^ = 2+ Dimisalkan persamaan peta suatu kurva oleh rotasi (0, 90° ) dilanjutkan dilatasi(0,2) adalah + ^ = 2 + ^ − ^ maka persamaan kurva semula : + ^ = 2 + ^ − ^ ⇔ −2 = 2 + 2+ − (2+ ) ⇔ −2 = 2 + 2+ − 4+ ^ = 2+ − + − 1 Jawaban : E
: 2