Titik-titik batas himpunan penyelesaian yang benar dari sistem pertidaksamaan adalah

Lihat Foto

opentextbc.ca

Grafik sistem persamaan linear dua variabel.

KOMPAS.com - Apa itu pertidaksamaan linear dua variabel? Dan bagaimana cara menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan linear dua variabel?

Kita asumsikan jika kita memilki persamaan linear dua variabel y=2x+1, maka pertidaksamaan linear dua variabelnya bisa kita ganti dari sama dengan menjadi kurang dari. Maka pertidaksamaannya adalah y<2x+1.

Dilansir dari Precalculus oleh Cynthia Young tahun 2010, solusi dari pertidaksamaan dua variabel tersebut adalah himpunan dari semua titik (x,y) yang membuat pertidaksamaan ini bernilai benar. Sehingga beberapa solusinya adalah (-2,-5), (0,0), (3,4), (5,-1), dan lain-lain.

Pertidaksamaan linear dua variabel memuat dua variabel berpangkat satu yang memuat tanda ketidaksamaan.

Baca juga: Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Tanda ketidaksamaan ini diantaranya ialah kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤) dan lebih dari sama dengan (≥). Pada umumnya variabel ditulis sebagai variabel x dan variabel y.

Langkah menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel jika diketahui pertidaksamaan linearnya:

• Memperhatikan bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, diantaranya: ax+by<c, ax+by>c, ax+by≤c, atau ax+by≥c.
• Membuat garis pada bidang cartesius, dengan cara:- Membuat titik potong pada sumbu y dengan cara mensubstitusi x=0 ke dalam persamaan.- Membuat titik potong pada sumbu x dengan cara mensubstitusi y=0 ke dalam persamaan.

  - Membuat garis yang melalui titik potong sumbu x dan y yang telah ditentukan

• Menentukan daerah penyelesaian dengan cara menguji pada sembarang titik (a,b) yang berada di luar persamaan garis. Jika pertidaksamaan yang dihasilkan bernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka daerah di seberang garis lah yang merupakan daerah penyelesaiannya.
• Membuat arsiran pada daerah penyelesaiannya sebagai tanda.

Baca juga: Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Langkah menentukan pertidaksamaan linear dua variabel jika diketahui daerah penyelesaian:

• Tentukan persamaan garisnya:- Jika garis melalui koordinat (0,m) dan (n,0), maka persamaan garisnya mx+ny=mn.

  - Jika garis melalui titik (x1, y1) dan (x2,y2), maka rumus persamaan garisnya:

  KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Rumus persamaan garis yang melalui dua titik

• Menentukan tanda pertidaksamaan dengan cara membuat titik uji pada sembaran titik (a,b) yang berada di luar persamaan garis.

Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link //t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.

Baca berikutnya

Lihat Foto

Carlos Brito

Ilustrasi grafik program linear dengan komputasi.

KOMPAS.com - Diantara kita pasti sudah memahami mengenai bagaimana konsep dan langkah-langkah dalam mencari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Untuk mengaplikasikan pemahaman yang telah diperoleh, sekarang mari kita kerjakan beberapa soal berikut:

1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan -2x+3y≥6, x+2y≥6, x+y≤5.

Langkah pertama yaitu tentukan gambar garis pada pertidaksamaan yang di ketahui, dengan mengubahnya menjadi persamaan dan memasukkan masing-masing nilai x=0 dan y=0:

KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Daerah himpunan penyelesaian I, II, III, IV, V untuk soal sistem pertidaksamaan

Baca juga: Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

• -2x+3y=6x=-3y=2
• x+2y=6x=6y=3
• x+y=5x=5

  y=5

Kemudian kita gambar dan tentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan pada diagram cartesius dengan cara uji titik.

• -2x+3y≥6, uji di kanan garis yaitu di titik (1,0)-2(1)+3(0)≥6

  -2≥6

Pernyataan di atas salah, maka daerah penyelesaian berada di kiri garis.

KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

• x+2y≥6, uji di kanan garis yaitu di titik (8,0)(8)+2(0)≥6

  8≥6

Baca juga: Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menyelesaikan masalah program linear yaitu materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan. Pada materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan ini kita akan bahas cara-cara menentukan daerah penyelesaiannya (arsiran) yang biasa disingkat DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan cara uji sembarang titik.

         Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.

Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

       Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah $ >, <, \leq, \, $ atau $ \, \geq $ .

Contoh pertidaksamaan linear dua variabel : 1). Berikut adalah beberapa contoh pertidaksamaan linear dua variabel : a). $ 2x + 3 \geq 3 $ b). $ -x + 2y \leq 20 $ c). $ 5x - 4y < -25 $ d). $ -3x - 2y > 17 $

Perbedaan Persamaan (baik linear atau tidak) dengan Pertidaksamaan

       Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan yaitu :
Persamaan hasilnya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.

Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) untuk satu pertidaksamaan dengan metode uji sembarang titik

       Langkah-langkah Menentukan DHP nya : i). Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $. ii). Pilih satu titik sembarang yang tidak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertidaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik yang diuji tersebut adalah DHP nya. Jika titik yang diuji tidak memenuhi pertidaksamaan, maka DPH nya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.

iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.

Catatan : Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ yaitu : *). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh (tanpa putus) garisnya. *). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya. Contoh soal Menentukan DHP nya : 2). Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a). $ 2x - y \leq 6 $ b). $ 5x + 3y > 15 $ c). $ x \geq 3 $ d). $ y < -1 $ Penyelesaian :

Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".

a). $ 2x - y \leq 6 $ *). Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya : Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $. tipotnya adalah (3,0). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $. tipotnya adalah (0,-6). gambar grafiknya yaitu :

*). Pilih satu titik uji, biasanya titik (0,0) karena paling mudah dihitung. Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan : $ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 2x - y & \leq 6 \\ 2.0 - 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $ Karena titik uji (0,0) memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kiri (atau atas). *). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.

b). $ 5x + 3y > 15 $ *). Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya : Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ , $ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $. tipotnya adalah (3,0). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ , $ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $. tipotnya adalah (0,5). gambar grafiknya yaitu :

*). Pilih satu titik uji yaitu titik (0,0). Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan : $ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $ Karena titik uji (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kanan (atau atas). *). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.

c). $ x \geq 3 $ *). Grafik dari $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti gambar berikut ini.

*). Karena yang diminta lebih besar dari 3 ($x \geq 3 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di sebelah kanan garis.

d). $ y < -1 $ *). Grafik dari $ y = -1 \, $ adalah mendatar seperti gambar berikut ini.

*). Karena yang diminta lebih kecil dari -1 ($y < -1 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di bawah garis.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem Pertidaksamaan

       Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian (DHP) yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Langkah-langkah menentukan DHP nya : 1). Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya. 2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu : i). DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.

ii). DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.

Contoh soal Menentukan DHP sistem pertidaksamaan : 3). Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini: $ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$. Penyelesaian : *). Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan : Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :

*). Mengambil sembarang titik uji, misalnya (0, 0), untuk disubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya. $ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x - y & \leq 3 \\ 0 - 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $ *). DHP masing-masing :

*). Daerah yang terkena arsiran paling banyak ditunjukkan gambar berikut ini :

*). Bisa juga dengan mengarsir daerah yang salah, sehingga DHP nya adalah daerah yang bersih seperti gambar berikut ini :

Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika diketahui DHP nya

       Pada bagian terakhir dari artikel ini kita membahas kebalikannya yaitu diketahui Daerah Himpunan Penyelesaiannya dan kita diminta untuk menentukan sistem pertidaksamaannya. Langkah-langkahnya : i). Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.

ii). Menentukan tanda ketaksamaannya ($>, \, \leq , \, \geq , \, < $) sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.

Contoh soal : 4). Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!

Penyelesaian :

Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".

*). Menentukan persamaan masing-masing garis :

Garis I : Kali silang, $ 2x + (-4)y = 2 . (-4) \rightarrow 2x - 4y = - 8 \rightarrow x - 2y = - 4 $. Garis II : Kali silang, $ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $. Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $. Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $. *). Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing : Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling mudah adalah titik (0,0). Sebenarnya bisa kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya. Garis I : $ x - 2y = - 4 $ $ \begin{align} x - 2y & = - 4 \\ 0 - 2.0 \, & \text{(tandanya)} \, - 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $. Artinya 0 lebih besar dari -4, sehingga tanda ketaksamaannya $ > $. Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ x - 2y \geq - 4 $. Garis II : $ 4x + 5y = 20 $ $ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{(tandanya)} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $. Artinya 0 lebih kecil dari 20, sehingga tanda ketaksamaannya $ < $. Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ 4x + 5y \leq 20 $. Garis III : $ x = 0 \, $ Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ x \geq 0$. Garis IV : $ y = 0 $ Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ y \geq 0 $ Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut yaitu :

$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .