Matematikastudycenter.com- Contoh soal Pembahasan Ulangan Harian Transformasi Geometri, materi matematika SMA Kelas 12.
Translasi, rotasi, pencerminan atau refleksi, dan komposisi transformasi yang melibatkan matriks.
Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Tentukan bayangan dari
titik A (5, 10) oleh translasi |
c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:
Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:
a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi |
c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Soal No. 2 Disediakan suatu persamaan garis lurus Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)
Pembahasan Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah: x’ = x + 2 → x = x’ – 2y’ = y + 1 → y = y’ – 1
Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5
Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi: y – 1 = 3x – 6 + 5 y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x
Cara kedua: Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5 Misal: Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0)
Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1) A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)
Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:
Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:
ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil : ax + by = c + ap + bq |
Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah. y = 3x + 5 atau 3x − y = − 5
oleh T = (2,1)
Hasil translasinya adalah: 3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1) 3x − y = − 5 + 6 − 1 3x − y = 0 atau
y = 3x
Soal No. 3 Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8
Pembahasan Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k a) Terhadap garis x = 10 x = h
(a, b) ———-> (2h − a, b)
x = h
(3, 5) ———-> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)
b) Terhadap garis y = 8 y = k
(a, b) ———-> (a, 2k − b)
y = k
(3, 5) ———-> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)
Soal No. 4 Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x
Pembahasan a) Terhadap garis y = x y = x
(a, b) ———-> ( b, a)
y = x
(3, 5) ———-> (5, 3)
b) Terhadap garis y = − x y = − x
(a, b) ———-> ( − b, − a)
y = − x
(3, 5) ———-> (− 5, − 3)
Soal No. 5
Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P’. Tentukan koordinat dari titik P’.
Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α
Sehingga:
Catatan: sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam
Soal No. 6
Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks |
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah…. A. x + y − 3 = 0 B. x − y − 3 = 0 C. x + y + 3 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan
Transformasi oleh matriks |
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya |
Gabungan dua transformasi:
Terlihat bahwa y’ = − y
y = − y’
x’ = x + 2y x’ = x + 2(− y’) x’ = x − 2y’
x = x’ + 2y’
Jadi: x = x’ + 2y’
y = − y’
Masukkan ke persamaan awal y = x + 1 (− y’) = (x’ + 2y’ ) + 1
x’ + 3y’ + 1 = 0
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
Soal No. 7
Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah…. A. (−11, 6) B. (−6, 11) C. (−5, 11) D. (11, −5)
E. (11, −6)
Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks
akan menghasilkan titik A’, yang koordinatnya:
Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A”, dimana titik A” koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.
Jadi A” koordinatnya adalah (11, −6)
Soal No. 8
Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks
dilanjutkan oleh matriks
maka bayangan lingkaran itu adalah….
A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0
C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0
E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0
Pembahasan
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.
Titik P (2, − 3) oleh transformasi
akan menjadi P’:
Titik P’ ini oleh transformasi kedua
akan menjadi P” dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:
Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:
updating,.
DOK/TVRI/IRFANKAMIL
Tangkapan layar dari tayangan TVRI tentang transformasi geometri
KOMPAS.com – Program Belajar dari Rumah di TVRI hadir kembali dengan tayangan Matematika: Transformasi Geometri Translasi dan Refleksi pukul 10.00 – 10.30 WIB untuk SMA dan sederajat pada 12 Mei 2020.
Belajar dari Rumah adalah Program Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan (Kemendikbud) memberikan alternatif pendidikan bagi semua kalangan di masa darurat Covid-19
Baca juga: Soal dan Jawaban X-Sains Bunyi dan Cahaya Belajar di TVRI, 12 Mei 2020
Berikut soal dan jawaban Belajar dari Rumah di TVRI untuk kelas SMA hari Selasa, 12 Mei 2020:
Soal 1
Tentukan bayangan segitiga ABC dengan koordinat titik-titik A(2,3), B (8,3) dan C (8,-2) jika ditranslasikan oleh vektor translasi: T(2,-3).
Perhatikan hasil bayangan segitiga yang kalian peroleh:
a) Bagaimana bentuk segitiga bayangan tersebut jika dibandingkan dengan segitiga ABC?
b) Apakah luas kedua segitiga tersebut sama? Jelaskan dengan perhitungan matematika!
Jawaban:
Titik A (2,3), Titik B (8,3), Titik C (8,-2)Kemudian semua titik ditranslasikan T(2,-3)Titik A (2+2), (3-3), A'(4,0)Titik B (8=2), (3-3), B'(10,0)
Titik C (8+20, (-2,-3), C'(10,-5)
a) Bentuk dan ukuran bayangan segitiga sama persis dengan titik segitiga semula.