Median Median merupakan salah satu ukuran pemusatan atau sebuah nilai yang berada ditengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan. Mungkin Anda bertanya, mengapa perlu median setelah Anda mempelajari rata-rata hitung? Median didefenisikan sebagai titik tengah dari semua nilai data yang Dari sifat rata-rata hitung diketahui bahwa rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh data ekstrem baik yang terbesar maupun yang telah diurutkan dari nilai terkecil, sehingga nilai rata-rata tidak terkecil ke yang terbesar, mencerminkan kondisi sebenarnya. atau sebaliknya dari Median merupakan nilai sentral dari yang terbesar ke yang sebuah distribusi frekuensi, nilai sedemikian itu terkecil. merupakan nilai sentral yang terhubung dengan posisi sentral yang dimilikinya dalam sebuah distribusi, media juga disebut sebagai rata-rata posisi ( positional average). Secara teoritis median membagi seluruh jumlah observasi atau pengukuran ke dalam 2 bagian yang sama. Dalam hal ini seperti halnya rata-rata (mean), median juga terbagi menjadi dua kategori yakni median dari data yang belum dikelompokkan dan yang telah berbentuk kelompok, uraiannya sebagai berikut: Median dari data yang belum dikelompokkan Median untuk data yang tidak berkelompok adalah nilai yang letaknya ditengah data yang telah diurutkan, namun data tersebut belum dikelompokkan dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi. Cara mencari letak dan nilai median untuk data yang tidak berkelompok ada dua kemungkinan. Kemungkinan pertama ialah data tersebut ganjil dan kemungkinan kedua data tersebut genap. Bila nilai-nilai observasi Xi sejumlah n disusun dari nilai terkecil hingga nilai terbesar sedemikian rupa sehingga X1 X2 Xn. Maka median nilai-nilai tersebut ialah nilai Xk. letak median (data ganjil) adalah ½ (n+1), Nilai Me= Xk+1 dengan k=1/2 (n-1) 1.16
Statistik Deskriptif Contoh 13.(data ganjil) Soal : Diketahui data nilai ujian mahasiswa yang telah diuraikan dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar adalah : 63, 65, 67, 70, 73, 73, 77, 78, 81, 81, 81, 82, 84 dan 88. Berapakah nilai median? Penyelasaian soal: 1. Urutkan data dari terkecil sampai data terbesar 63, 65, 67, 70, 73, 73, 77, 78, 81, 81, 81, 82, 84, 88,85 2. Posisi median ½ (15+1) =8 dengan K=1/2 (n-1) K=1/2 ( 15-1) = 7, jadi nilai median menggunakan rumus 4-14, yakni nilai yang ke 7+1 atau pada urutan ke-8 adalah 78 Sementara jika jumlah data pada data mentah atau data yang belum dikelompokkan tersebut adalah genap maka rumus yang digunakan adalah sebagai berikut: Menentukan letak mediannya menggunakan rumus sebagai berikut: Letak median pada data genap adalah ½ (n+1). 1.17 Sedangkan dalam menentukan nilai mediannya menggunakan rumus sebagai berikut: Rumus nilai median pada data genap adalah Me=1/2( Xk+Xk+1), nilai k=1/2 n 1.18 Berikut disajikan contoh untuk memudahkan dalam memahami penerapan rumus penentuan letak dan nilai median pada data tersebut. 2
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak Contoh 14.(data genap) Soal: Omset penjualan tertinggi dari 20 sebuah supermarket Daremantep Jaya, pada bulan agustus 2012 diantaranya adalah enam supermarket yang mempunyai omset penjualan tertinggi secara berturut adalah: Tabel 1.10 Omset supermarket Daremantep Jaya Supermarket Omset Daremantep Jaya 7 Rp.170.000.000 Daremantep Jaya 15 Rp.179.500.000 Daremantep Jaya 11 Rp. 192.500.000 Daremantep Jaya 20 Rp. 195.500.000 Daremantep Jaya 8 Rp. 215.000.000 Daremantep Jaya 10 Rp. 225.750.000 Berapakah nilai median dari omset tersebut diatas? Penyelesaian Soal: Letak mediannya adalah ½ (6+1)=3,5, letak titik ini berada diantara data ke-3 dan data ke-4 antara Rp.192.500.000 dan Rp.195.5000.000. Nilai tersebut dapat ditentukan dengan mencari rata-rata hitung kedua angka diatas, yaitu: ½(192.500.000+195.5000.000)= 194.000.000 Dengan demikian, median data tersebut adalah Rp 194.000.000, sebenarnya seluruh angka yang terdapat pada interval antara Rp.192.500.000 dan Rp.195.5000.000 dapat menjadi median. Oleh karena itu menentukan angka pasti untuk menjadi median sulit untuk ditentukan, maka median ditentukan dengan mencari rata-rata kedua angka diatas. 3
Statistik Deskriptif Median dari data yang dikelompokkan Langkah pertama dalam menetapkan median dari data yang telah dikelompokkan adalah menentukan letak sebuah titik yang nilainya akan menjadi median. Titik ini, seperti pada uraian sebelumnya, membagi deretan angka yang terurut menjadi dua bagian yang sama banyak. Jika pada data yang belum diurutkan menggunakan rumus (n+1)/2, maka untuk data yang telah dikelompokkan menggunakan rumus 1/2n. Setelah diketahui posisi titik tersebut, langkah berikutnya adalah menentukan kelas yang didalamnya terdapat titik tersebut Untuk data yang berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut: Me = B + i n 2 f km f m 1.18 : Nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median n : Banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi : Jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tak termasuk). : Frekuensi dari kelas yang mengandung median i : Besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya kelas interval yang mengandung median Contoh 15 Soal: Misalkan X adalah upah tahunan karyawan sebuah perusahaan asing yang dibulatkan menjadi ribuan Dolar. Ada 40 orang karyawan yang sedang diselidiki dan hasil dari pertanyaan yang diajukan tentang besarnya upah tahunan (dalam ribuan dolar) adalah sebagai berikut: 4
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak 146 147 147 148 149 150 150 152 153 154 156 157 158 161 163 164 165 168 173 176 119 125 126 128 132 135 135 135 136 138 138 140 140 142 142 144 144 145 145 146 Berapa besarnya nilai median upah karyawan? Ketika data dikelompokkan, kelas-kelas tersebut disajikan pada Tabel 1.11. Dengan menggunakan Rumus 1.18, hitunglah nilai median. Upah Sistem Tally Frekuensi (1) (2) (3) 118 126 3 127 135 5 136 144 9 145 153 12 154 162 5 163 171 4 172 180 2 Jumlah 40 Penyelesaian soal: Urutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (X40) X1 = 119 X11 = 138 X21 = 146 X31 = 156 X2 = 125 X12 = 140 X22 = 147 X32 = 157 X3 = 126 X13 = 140 X23 = 147 X33 = 158 X4 = 128 X14 = 142 X24 = 148 X34 = 161 X5 = 132 X15 = 142 X25 = 149 X35 = 163 X6 = 135 X16 = 144 X26 = 150 X36 = 164 5
Statistik Deskriptif X7 = 135 X17 = 144 X27 = 150 X37 = 165 X8 = 135 X18 = 145 X28 = 152 X38 = 168 X9 = 136 X19 = 145 X29 = 153 X39 = 173 X10 = 138 X20 = 146 X30 = 154 X40 = 176 Menentukan nilai k : 40 = 2k = = = + + = + + + = Upah dari 40 orang karyawan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, di mana bentuk tabelnya adalah sebagai berikut: Upah (Ribuan $) f (1) (2) 118 126 3 127 135 5 136 144 9 145 153 12 154 162 5 50% observasi (jumlah frekuensi) nilai observasinya sama atau lebih kecil dari median). Kelas mengandung median terletak pada nilai frekuensi fm = 12. 163 171 4 172 180 2 Jumlah 40 6
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak 1. Upah dianggap sebagai bilangan-bilangan yang didistribusikan secara kontinu. Dalam hal ini, median merupakan upah yang mempunyai ciri/sifat sedemikian rupa sehingga setengah atau 50% dari observasi (jumlah frekuensi), yaitu = observasi, terletak di bawah median dan setengah lainnya di atas median tersebut. 2. Jumlah tiga frekuensi pertama, f1+ f2 + f3 = 3 + 5 + 9 = 17, observasi belum sampai 20, atau belum ada setengahnya. Untuk mencapai 20 observasi, diperlukan tiga observasi dari kelas keempat yang frekuensinya = f4= 12. Jadi, median terletak dalam kelas keempat. 3. Karena kelas interval yang keempat, yaitu 145 153, sama dengan (setelah memperhitungkan bahwa upah merupakan data yang kontinu) 144,5 153, 5, maka median akan terletak di posisi dalam jarak kelas interval 144,5 153,5. 4. Hasil perhitungan sebagai berikut: = 144,5 (nilai batas kelas bawah dari kelas yang memuat median, setelah diadakan koreksi kontinuitas), = = dan ( = + + =, maka fm= 12 dan besarnya kelas interval (i)= (153,5 144,5) = 9, jarak antara nilai batas bawah dan nilai batas atas dari kelas interval yang memuat median atau jarak antara suatu kelas dengan kelas berikutnya, baik diukur dengan nilai atas bawah atau batas atas. 145 136 = 9, atau 153 144 = 9 (sama saja). Cara ini disebut interpolasi, sehingga hasilnya tidak tepat seperti halnya dihitung secara langsung. Walaupun demikian, hasilnya akan mendekati nilai sebenarnya. Di dalam prakteknya, kita sering tidak mengetahui data aslinya: data tersebut sudah disajikan dalam tabel frekuensi, sudah dibuat kelas-kelas, kelompok-kelompok atau kategori-kategori. Jadi, rumus interpolasi ini sangat penting untuk menghitung median. Dengan menggunakan Rumus 1.18, akan dihasilkan angka berikut: 7
Statistik Deskriptif = + 2, = + [ ] = + = 146,75 Modus Modus sebagai ukuran pusat data, berbeda dengan rata-rata hitung penentuannya. Modus lebih mirip median dalam penentuannya yang tidak melalui proses aritmatik seperti penentuan rata-rata. Modus Modus didefinisikan suatu nilai yang terdapat dalam adalah nilai yang paling sering muncul dalam serangkaian data yang data. Modus sering ditulis singkat atau memiliki frekuensi disimbolkan dengan Mo. tertinggi. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus (disebut Unimodal), mempunyai dua modus (Bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus (Multimodal). Cara mencari modus dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. Modus (Data Tidak Berkelompok) Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai kelompok tersebut yang mempunyai frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak terjadi di dalam suatu kelompok nilai. Untuk selanjutnya kita singkat Mod. Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai mod atau mungkin mempunyai dua mod atau lebih. Distribusi tersebut disebut Unimodal (jika mempunyai satu mod), Bimodal (jika mempunyai dua mod), atau Multimodal (jika mempunyai lebih dari dua mod). Contoh. 16 Soal: Omset penjualan yang diperoleh 6 supermarket Daremantep Jaya, pada bulan januari 2013 adalahseperti pada table 1.11, tentukan nilai modusnya! 8
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak Tabel 1.11 Omset supermarket Daremantep Jaya Supermarket Omset Daremantep Jaya 1 Rp.90.000.000 Daremantep Jaya 2 Rp.95.000.000 Daremantep Jaya 3 Rp. 100.000.000 Daremantep Jaya 4 Rp. 100.000.000 Daremantep Jaya 5 Rp. 105.000.000 Daremantep Jaya 6 Rp. 110.750.000 Penyelesaian soal Modus dari data diatas dapat ditentukan dengan mudah yakni dengan mudah yaitu Rp.100.000.000 dikarenakan nilai omset tersebut memiliki frekuensi lebih tinggi dibandingkan dengan nilai omset yang lainnya. Modus (Data Berkelompok) Modus atau mode yang telah dikelompokkan diperkirakan berada pada kelas yang memiliki frekuensi tinggi. Kendatipun hal tersebut hanya bersifat estimatif dan berbeda sifat estimatifnya dengan rata-rata dan median. Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam mencari modusnya harus dipergunakan rumus berikut ini. mod = B m + i, d 1 d 1 + d 2-1.19 Bm fm0 = nilai batas bawah, kelas yang memuat modus = frekuensi kelas yang memuat modus (d1) = fm0 f(m0 1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (bawahnya)} (d2) = fm0 f(m0 + 1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya)} i = besarnya jarak antara nilai batas atas dan nilai batas bawah dari kelas yang memuat modus. 9
Statistik Deskriptif Contoh.17 Soal: PT Abadi Jaya melakukan melakukan pengelompokan cabang perusahaan berdasarkan omset penjualan sebagai berikut: Tabel 1.12 Omset Penjulan PT Abadi Jaya. Interval Omset Penjualan (Rp juta) Jumlah Perusahaan 200 219 7 220 239 9 240 259 11 260 279 18 280 299 12 300 319 5 Kelas yang berisi modus, fm0= 18 Tentukan nilai modus dari omset perusahaan-perusahaan tersebut! Penyelesaian soal: Diketahui : = + = I (interval) = 220 200 = 20 f(m0-1) = 11; f(m0+1) = 12; (d1) = 18 11 =7 ; (d2) = 18-12 = 6 = +, - = + ( ) =270,27 + 2 + Jadi, nilai modus dari omset perusahaan-perusahaan Rp.270,27 juta atau Rp.270.270.000 Hubungan rata-rata, median dan modus Rata-rata hitung, median dan modus, merupakan tiga ukuran pemusatan yang dapat digunakan untuk mengetahui bentuk kurva poligon dari data yang dikaji baik berupa sampel maupun populasi. Bentuk kurva poligon bisa berupa kurva normal atau simetris, condong ke kiri (skewed negatif) atau condong ke kanan (skewed positif). Hubungan antara rata-rata, median dan modus dapat dilihat pada penyajian gambar 1.1, gambar 1.2 dan gambar 1.3 secara berturut dijelaskan sebagai berikut: 10
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak 1. Kurva simetris Kurva simetris adalah kurva dimana sisi kanan dan kiri sama, sehingga kalau dilipat dari titik tengahnya maka ada dua bagian yang sama. Untuk kurva simetris, maka nilai untuk rata-rata hitung, median dan modus mempunyai nilai sama. Gambar 1.1 Kurva simetris = Med= Mod 2. Kurva condong kiri Kurva condong kiri atau condong positif disebabkan nilai rata-rata hitung lebih besar dibandingkan dengan median dan modus. Hal tersebut terjadi karena adanya nilai ekstrem tinggi yang mempengaruhi nilai rata-rata hitung, sedangkan median dan modus tidak terpengaruhi. Pada kejadian seperti ini data pada umumnya bernilai rendah, tetapi ada beberapa yang ekstrem bernilai sangat tinggi. Gambar 1.2 Kurva condong kiri >Me,Mod 11
Statistik Deskriptif 3. Kurva condong kanan Kurva condong ke kanan atau condong negatif disebabkan nilai rata-rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan modus. Peristiwa ini karena adanya nilai ekstrem rendah yang mempengaruhi nilai rata-rata hitung. Gambar 1.3 Kurva condong kanan <Me,Mod Hubungan antara nilai rata-rata, Median dan Modus dapat disimpulkan bahwa apabila ketiganya mempunyai nilai hampir sama. Hubungan yang bersifat empiris tersebut dikemukakan oleh Karl Pearson dalam Dajan (2008). Menurut Karl Pearson, bila distribusi dari variabel yang kontinu memiliki modus tunggal serta menceng secara moderat, maka mediannya akan terletak kira-kira 2/3 dari seluruh yang dihitung dari modus ke arah rata-rata hitungannya. Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: Mod = X -3 (X -Me) 1.20 Berikut contoh masing-masing keadaan yang menggambarkan hubungan antara rata-rata hitung, median dan modus. Contoh 18 Soal: Berdasarkan Tabel distribusi frekuensi berat badan 100 orang mahasiswa fakultas ekonomi UM tahun 2012, tentukan rata-rata, median dan modusnya. 12
Ukuran Pemusatan Dan Ukuran Letak Tabel 1.13 Berat Badan Mahasiswa Berat Badan Frekuensi (f) 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8 Penyelesaian Soal: Rata-rata Berat Badan Xi Frekuensi (f) Xi.fi 60-62 61 5 305 63-65 64 18 1.152 66-68 67 42 2.814 69-71 70 27 1.890 72-74 73 8 584 Jumlah f=100 =6.745 X n i 1 n i 1 f i f x i i = 5 =67,45 Median, = + -, =65,5 + 3 ( - ) = 65,64 Modus, Mod = rata-rata 3 (rata-rata median) = 67,45 3 (67,45 65,64)= 62,02 Sehingga disimpulkan bahwa nilai, Mean> median,modus 13