Contoh Soal dan pembahasan volume benda putar metode cakram

Hampir semua benda tiga dimensi yang kita sentuh dan lihat merupakan hasil perputaran suatu permukaan mengelilingi suatu patokan (garis). Sebagai contoh, tabung merupakan hasil perputaran persegi panjang mengelilingi sumbu tegak sejauh $360^{\circ}$. Selama kita dapat menyatakan sisi-sisi persegi panjang itu sebagai suatu fungsi, maka kita memiliki harapan besar untuk menentukan volume tabung tersebut, meskipun kita sebelumnya dapat dengan mudah menggunakan rumus volume tabung secara langsung.

Pada kenyataannya, tidak semua benda memiliki bentuk beraturan. Bahkan, botol minum yang biasa kita pergunakan tidak selalu berbentuk tabung (karena badan botolnya melengkung). Ini adalah fakta yang perlu diperhatikan mengingat implementasi volume tabung secara kontekstual sangat terbatas. Kalkulus menawarkan solusi jitu yang dapat menghitung volume benda putar (baik beraturan maupun tidak) dengan menganalisis bentuk kurva dan rumus fungsi yang mewakilinya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Di sesi ini, akan dipaparkan sejumlah soal beserta pembahasan mengenai volume benda putar menggunakan integral. Semoga dapat dijadikan referensi belajar dan bahan evaluasi.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Today Quote

It’s better to fail trying to fly than to sit in the nest and die.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x-y^2+1=0$, $-1 \leq x \leq 4$, dan sumbu $X$, diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\dfrac12 \pi$                    D. $12\dfrac12 \pi$
B. $9\dfrac12 \pi$                    E. $13\dfrac12 \pi$
C. $11\dfrac12 \pi$

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x = -1$ dan $x = 4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu $X$ pada selang $[-1, 4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_{-1}^4 y^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^4 (x+1)~\text{d}x \\ & = \pi\left[\dfrac12x^2+x\right]_{-1}^4 \\ & = \pi\left[\left(\dfrac12(4)^2+4\right)-\left(\dfrac12(-1)^2+(-1)\right)\right] \\ & = \pi\left[(8+4)-\left(\dfrac12-1\right)\right] \\ & = \pi\left(12+\dfrac12\right) = 12\dfrac12 \pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{12\dfrac12\pi}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Soal Nomor 2

Jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $360^{\circ},$ maka volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.

A. $10\dfrac23\pi$                       D. $12\dfrac{11}{15}\pi$
B. $12\dfrac{2}{15}\pi$                     E. $14\dfrac23\pi$
C. $12\dfrac{4}{15}\pi$

Pertama, kita tentukan dulu titik potong kedua kurva dengan cara menyamakan fungsinya.
$\begin{aligned} x & = x \\ y + 2 & = y^2 \\ y^2-y-2 & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $y = -1$ atau $y = 2$.
Dari gambar yang diberikan, daerah arsir terbatas pada interval $[0, 2]$.
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^2 \left(x_{\text{atas}}^2-x_{\text{bawah}}^2\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 \left((y+2)^2-(y^2)^2\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 \left((y^2+4y+4)-y^4\right)~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac13y^3+2y^2+4y-\dfrac15y^5\right]_0^2 \\ & = \pi\left(\dfrac13(2)^3+2(2)^2+4(2)-\dfrac15(2)^5\right) \\ & = \pi\left(\dfrac83+8+8-\dfrac{32}{5}\right) \\ & = \pi\left(\dfrac{40+240-96}{15}\right) \\ & = \dfrac{184}{15}\pi = 12\dfrac{4}{15}\pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $\boxed{12\dfrac{4}{15}\pi}$ satuan volume.
(Jawaban C)

Soal Nomor 3

Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar $360^{\circ}$ mengelilingi sumbu $Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\dfrac23\pi$
B. $8\pi$                          E. $2\dfrac13\pi$
C. $3\dfrac23\pi$

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu $Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2x \\ x^2-2x & = 0 \\ x(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 0$ atau $x = 2.$
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0, 2].$
[diputar terhadap sumbu $Y$]
$y = x^2 \Leftrightarrow x^2 = y$
$y = 2x \Leftrightarrow x = \dfrac{y}{2} \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 (x_1^2-x_2^2)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(y-\dfrac{y^2}{4}\right)~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac12y^2-\dfrac{1}{12}y^3\right]_0^4 \\ & = \pi \left[\dfrac12(4^2-0^2)-\dfrac{1}{12}(4^3-0^3)\right] \\ & = \pi \left[8-5\dfrac13\right] = 2\dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $\boxed{2\dfrac23}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Soal Nomor 4

Volume daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2+1$ dan $y = x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\dfrac{117}{5}\pi$                        D. $\dfrac{7}{5}\pi$
B. $\dfrac{107}{5}\pi$                        E. $\dfrac{4}{5}\pi$
C. $\dfrac{105}{5}\pi$

Titik potong dari kurva $y = x^2+1$ dan $y = x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2+1 & = x+3 \\ x^2-x-2 & = 0 \\ (x-2)(x+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 2$ atau $x=-1.$
Sketsakan grafik dari $y = x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.

Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1, 2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1.$
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu $X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_{-1}^2 (y^2_\text{atas}-y^2_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 ((x+3)^2-(x^2+1)^2)~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 ((x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1))~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 (-x^4-x^2+6x+8)~\text{d}x \\ & = \pi \left[-\dfrac15x^5-\dfrac13x^3+3x^2+8x\right]_{-1}^2 \\ & = \pi\left[-\dfrac15(2^5-(-1)^5)-\dfrac13(2^3-(-1)^3)+3(2^2-(-1)^2)+8(2-(-1))\right] \\ & = \pi\left[-\dfrac{33}{5}-3+9+24\right] \\ & = \pi\left[-\dfrac{33}{5}+30\right] \\ & = \dfrac{117}{5}\pi \end{aligned}$$Jadi, volumenya adalah $\boxed{\dfrac{117}{5}{\pi}}$ satuan volume.
(Jawaban A)

Soal Nomor 5

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva $y=4x-x^2$ dan $y=-2x+8$ diputar $360^\circ$ mengelilingi sumbu $Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi$                 C. $16\pi$               E. $4\pi$    
B. $24\pi$                D. $8\pi$      

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y = 4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, maka kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu $X.$
$$\begin{aligned} 0 & = 4x-x^2 \\ 0 & = x(4-x) \end{aligned}$$Kurva memotong sumbu $X$ di $(0, 0)$ dan $(4, 0).$
Absis titik puncak di $x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2.$ Substitusi sehingga dihasilkan $y_p = 4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2, 4).$
Analisis: $y = -2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0, 8)$ dan $(4, 0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $360^\circ.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4.$, ditulis $\displaystyle \int_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y = 4x-x^2$:
$$\begin{aligned} y & = 4x-x^2 \\ y-4 & = 4x-x^2-4 \\ 4-y & = x^2-4x+4 \\ 4-y & = (x-2)^2 \\ \sqrt{4-y} & = x-2 \\ \sqrt{4-y} + 2 & = x \\ (4-y) + 4(4-y) + 4 & = x^2 \\ 8-y+4(4-y) & = x^2 \end{aligned}$$Kurva $y = -2x + 8$:
$$\begin{aligned} y & = -2x + 8 \\ y-8 & = -2x \\ \dfrac{8-y}{2} & = x \\ \dfrac{64-16y+y^2}{4} & = x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 \left(x^2_{\text{kanan}}-x^2_{\text{kiri}}\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(\left(8-y+4(4-y)\right)-\left(\dfrac{64-16y+y^2}{4}\right)\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac14\pi \int_0^4 \left((32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2)\right) \\ & = \dfrac14\pi \int_0^4 \left(-32 + 12y-y^2+16\sqrt{4-y}\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac14\pi \left[-32y + 6y^2-\dfrac13y^3+16 \cdot \left(-\dfrac23\right)(4-y)^{3/2}\right]_0^4 \\ & = \dfrac14\pi\left[-128 + 96-\dfrac{64}{3}+\dfrac{256}{3}\right] \\ & = \dfrac14\pi(-32 + 64) \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $\boxed{8\pi}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 6

Daerah $D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu $Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.

Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu $Y$ sejauh $360^{\circ}$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0, 4].$
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap $360^{\circ}$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} x^2 & = y && (x~\text{kanan}) \\ 4x^2 & = y \Rightarrow x^2 = \dfrac14y && (x~\text{kiri}) \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 (x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(y-\dfrac14y\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac34\pi \int_0^4 y~\text{d}y \\ & = \dfrac34\pi \left[\dfrac12y^2\right]_0^4 \\ & = \dfrac38\pi (4^2-0^2) \\ & = 6\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $\boxed{6\pi}$ satuan volume.
(Jawaban C)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Lipat Dua

Soal Nomor 7

Suatu daerah dibatasi oleh kurva $y^2 = 10x$, $y^2 = 4x$, dan $x = 4$ diputar $360^{\circ}$ mengelilingi sumbu $X$. Volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $80\pi$                 C. $32\pi$                 E. $18\pi$
B. $48\pi$                 D. $24\pi$

Pertama, kita sketsakan dulu kurvanya masing-masing di sistem koordinat sebagai berikut.

Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut diarsir pada gambar di atas. Bila daerah itu diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$, maka bagiannya akan saling timpang tindih ketika memasuki sudut $180^{\circ}$. Karena itu, kita hanya perlu mencari volume benda putar oleh salah satu dari dua daerah yang sama luasnya itu. Misal kita pilih daerah yang atas.
Daerah dibatasi pada interval $[0, 4]$. Volume benda putar terhadap sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 \left(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2\right)~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 \left(10x-4x\right)~\text{d}x \\ & = 6\pi \int_0^4 x~\text{d}x \\ & = 6\pi\left[\dfrac12x^2\right]_0^4 \\ & = 6\pi\left(\dfrac12(4)^2\right)-0 \\ & = 6\pi(8) = 48\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $\boxed{48\pi}$ satuan volume.
(Jawaban B)

Soal Nomor 8

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva $x = 2\sqrt3y^2$, sumbu $Y$, dan di dalam lingkaran $x^2+y^2=1$, diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $360^{\circ}$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\dfrac{8}{60}\pi$                     D. $\dfrac{44}{60}\pi$
B. $\dfrac{17}{60}\pi$                     E. $\dfrac{46}{60}\pi$
C. $\dfrac{34}{60}\pi$

Perhatikan sketsa gambar kedua kurva tersebut berikut ini.

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar mengelilingi sumbu $Y$. Kedua daerah itu memiliki luas yang sama sehingga kita hanya perlu mencari volume benda putar daerah yang satu, lalu dikali $2$.
Misalkan kita akan mencari volume benda putar dari daerah di kuadran pertama.
Titik potong lingkaran dan parabola harus dicari dulu.
Substitusikan $x =2\sqrt3y^2$ ke persamaan $\color{red}{x}^2+y^2=1$.
$\begin{aligned} (\color{red}{2\sqrt3y^2})^2 + y^2 & = 1 \\ 12y^4 + y^2-1 & = 0 \\ (3y^2+1)(4y^2-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $3y^2+1 = 0$ (tidak terpenuhi untuk semua $y$) atau $4y^2-1=0$, berarti $y = \pm \dfrac12$.
Jadi, integral untuk mencari volumenya terpisah pada batas integrasi $y = \dfrac12$.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} x& = 2\sqrt3y^2 \Rightarrow x^2 = 12y^4 \\ x^2+y^2 &=1 \Rightarrow x^2=1-y^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^{1/2} (12y^4)~\text{d}y+\pi \int_{1/2}^1 (1-y^2)~\text{d}y \\ & = 12\pi\left[\dfrac15y^5\right]_0^{1/2} + \pi \left[y-\dfrac13y^3\right]_{1/2}^1 \\ & = \dfrac{12}{5}\pi \cdot \left(\dfrac12\right)^5+\pi\left(1-\dfrac13-\dfrac12+\dfrac13\left(\dfrac12\right)^3\right) \\ & = \dfrac{3}{40}\pi+\pi\left(\dfrac{24-8-12+1}{24}\right) + \pi \\ & = \left(\dfrac{3}{40}+\dfrac{5}{24}\right)\pi = \dfrac{17}{60}\pi \end{aligned}$$Karena benda putar yang terbentuk ada dua dan ukurannya sama, maka volume benda putar secara keseluruhan adalah $\boxed{2 \times \dfrac{17}{60}\pi = \dfrac{34}{60}\pi}$
(Jawaban C)

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Sebuah segitiga siku-siku dibentuk dengan menggunakan ruas garis $3x + 2y = 6$ dan sumbu koordinat seperti gambar berikut.

Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu $Y$.

Bila segitiga siku-siku itu diputar mengelilingi sumbu $Y$, maka akan terbentuk sebuah kerucut dengan jari-jari alas $2$ dan tingginya $3$.
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \pi \cdot (2)^2 \cdot \cancel{3} = 4\pi \end{aligned}$
Sekarang, kita akan mencoba menggunakan integral untuk menentukan volume kerucut tersebut.
Dari $3x + 2y = 6$, dapat kita nyatakan dalam $x = \dfrac{6-2y}{3}$.
Daerah yang diarsir ditinjau dari sumbu $Y$ berada pada selang $[0, 3]$ (batas integral).
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^3 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \left(\dfrac{6-2y}{3}\right)^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \dfrac49 \cdot (3-y)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9} \pi \int_0^3 (9-6y+y^2)~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \left[9y-3y^2+\dfrac13y^3\right]_0^3 \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \cdot \left(9(3)-3(3)^2 + \dfrac13(3)^3\right) \\ & = \dfrac{4}{\cancel{9}}\pi \cdot \cancel{9} = 4\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk (kerucut) adalah $\boxed{4\pi}$

Soal Nomor 2

Sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan dibentuk dan diposisikan pada bidang Kartesius seperti gambar.

Bila persegi itu diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $180^{\circ}$, tentukan volume benda putar yang terbentuk.

Bila diputar terhadap sumbu Y sejauh $180^{\circ},$ persegi itu akan membentuk sebuah setengah tabung dengan panjang jari-jari alas $2$ dan tingginya juga $2$.
Volume setengah tabung itu adalah $V = \dfrac12 \pi r^2t = \dfrac12\pi(2)^2(2) = 4\pi.$
Sekarang, kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah tabung) tersebut.
Daerah arsir (persegi) dibatasi oleh kedua sumbu koordinat, garis datar $y = 2$, dan garis tegak $x = 2.$
Dengan orientasi pada sumbu $Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah garis $x = 2$ pada selang $[0, 2]$ (dilihat dari $Y).$
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \dfrac12\pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \int_0^2 (2)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \left[4y\right]_0^2 \\ & = \dfrac12\pi \cdot 4(2) \\ & = 4\pi \end{aligned}$
Catatan: Bilangan $\dfrac12$ muncul karena putarannya hanya sebesar $180^{\circ}$, yaitu setengah dari sudut putaran penuh.
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{4\pi}$

Soal Nomor 3

Daerah seperempat lingkaran berjari-jari $2$ dengan pusat di $(0, 0)$ di kuadran I diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $360^{\circ}$.

Tentukan volume benda putar yang terbentuk.

Bila diputar terhadap sumbu Y sejauh $360^{\circ},$ seperempat lingkaran itu akan membentuk sebuah setengah bola dengan panjang jari-jari $2.$
Volume setengah bola itu adalah $V = \dfrac23 \pi r^3= \dfrac23\pi(2)^3 = \dfrac{16}{3}\pi.$
Sekarang, kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah bola) tersebut.
Persamaan lingkaran berjari-jari $2$ dan berpusat di $(0,0)$ adalah $x^2+y^2 = 4$ atau dapat ditulis menjadi $x = \pm \sqrt{4-y^2}$. Karena posisi seperempat lingkaran terletak di kuadran I (nilai $x$ positif), maka kita ambil tanda $+$ saja, yaitu $x = \sqrt{4-y^2}$.
Dengan orientasi pada sumbu $Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah lengkungan $x = \sqrt{4-y^2}$ pada selang $[0, 2]$ (dilihat dari $Y$).
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (\sqrt{4-y^2})^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (4-y^2)~\text{d}y \\ & = \pi \left[4y-\dfrac13y^3\right]_0^2 \\ & = \pi \cdot \left(4(2)-\dfrac13(2)^3\right) \\ & = \pi\left(8-\dfrac83\right) = \dfrac{16}{3}\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{\dfrac{16}{3}\pi}$

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Integral Parsial

Soal Nomor 4

Perhatikan gambar grafik fungsi $y = \sqrt{x}$ berikut.

Tentukan volume benda yang terjadi ketika daerah yang diarsir diputar sejauh $360^{\circ}$ mengelilingi:
a. sumbu $X$;
b. sumbu $Y$.

Diketahui $y = \sqrt{x}$.
Jawaban a)
Ketika $y = 2$, maka $x = 4,$ artinya grafik melalui titik $(4, 2).$ Batas arsir dilihat dari sumbu $X$ adalah $[0, 4].$
Oleh karena itu, volume benda putarnya terhadap sumbu $X$ dinyatakan oleh integral berikut.
$\begin{aligned} V & = \displaystyle \pi \int_0^4 y^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 x~\text{d}x \\ & = \pi \left[\dfrac12x^2\right]_0^4 \\ & = \dfrac12 \pi(4^2-0^2) \\ & = 8\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terjadi sebesar $\boxed{8\pi}$
Jawaban b)
Ketika $y = 2$, maka $x = 4$, artinya grafik melalui titik $(4, 2)$. Batas arsir dilihat dari sumbu $Y$ adalah $[0, 2].$
Perhatikan bahwa $y = \sqrt{x}$ ekuivalen dengan $y^4 = x^2.$
Oleh karena itu, volume benda putarnya terhadap sumbu $Y$ dinyatakan oleh integral berikut.
$\begin{aligned} V & = \displaystyle \pi \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 y^4~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac15y^5\right]_0^2 \\ & = \dfrac15 \pi(2^5-0^5) \\ & = \dfrac{32}{5}\pi = 6\dfrac25 \pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terjadi sebesar $\boxed{6\dfrac25\pi}$