Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0o < x ≤360Jawabcos 2x = 1/2cos 2x = cos 60maka2x = 60 + k.360x = 30 + k.180Untuk k = 0maka x = 30 + (0)180 = 30Untuk k = 1maka x = 30 + (1)180 = 210dan 2x = –60 + k.360x = –30 + k.180Untuk k = 1maka x = –30 + (1)180 = 150Untuk k = 2maka x = –30 + (2)180 = 330Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }Contoh soal 2Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukanlah himpunan penyelesaian dari sin 3x = 1/2Jawab :sin 3x = 1/2sin 3x = sin 303x = 30 + n.360x = 10 + n.120untuk n = 0maka x = 10untuk n = 1maka x =130untuk n = 2maka x =250o3x = 180 – 30 + n.360x = 50 + n.120untuk n = 0maka x = 50untuk n = 1maka x = 170untuk n = 2maka x = 290
Diketahui maka
Berdasarkan aturan sudut berelasi yaitu maka
Penyelesaian persamaan sinus
Gunakan persamaan yang di kiri untuk mencari nilai dengan berbagai bilangan bulat .
Jika menggunakan nilai bilangan bulat yang lain akan didapatkan nilai yang berada diluar interval atau .
Jadi banyaknya nilai yang memenuhi pada interval adalah yaitu .
Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.
Video yang berhubungan
rebbose Saturday, 20 February 2021 contoh soal trigonometri Edit
Himpunan penyelesaian persamaan sin 4x - cos 2x untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah . . .
E. {45°, 75°, 105°, 135°}
persamaan = sin 4x - cos 2x
Ditanyakan : Himpunan penyelesaiannya . . .?
2 sin 2x cos 2x - cos 2x = 0
cos 2x = 0 atau 2 sin 2x - 1 = 0
Untuk k = 0, maka x = 45°
Untuk k = 1, maka x = 225°
Untuk k = 1, maka x = 135°
Untuk k = 2, maka x = 315°
Untuk sin 2x = 1/2 = sin 30° dan sin 2x = 150°
Untuk k = 0, maka x = 15°
Untuk k = 1, maka x = 195°
Untuk k = 0, maka x = 75°
Untuk k = 1, maka x = 225°
Karena persamaan itu dibatasi oleh interval 0° ≤ x ≤ 180°, maka nilai x yang memenuhi adalah 45°, 75°, 105°, dan 135°.
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {45°, 75°, 105°, 135°}.
Itulah pembahasan contoh soal mengenai materi trigonometri, semoga bermangfaat dan mudah untuk dipahami yah. Terima kasih semuannya, tetap semangat dalam belajar.
Jakarta -
Persamaan Trigonometri merupakan salah satu materi dalam mata pelajaran matematika yang dipelajari siswa kelas XI SMA/MA/SMK. Agar lebih paham siswa bisa mempelajari contoh soal persamaan trigonometri di bawah ini.
Dalam matematika, Trigonometri dikenal sebagai nilai perbandingan yang dikaitkan dengan sebuah sudut. Perbandingan tersebut meliputi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.
Persamaan Trigonometri
Dilansir buku 'Rumus Pocket Matematika SMA Kelas X, XI, XII' oleh Grasindo, persamaan trigonometri dinyatakan sebagai berikut.
1. sin x = sin α maka
x₁ = α + k.360° atau x₂ = [180°- α] + k.360°
2. cos x = cos α maka
x₁ = α + k.360° atau x, = -α + k.360°
3. tan x = tan α maka x = α + k.180°
Keterangan: k adalah bilangan bulat
Rumus Persamaan Trigonometri
1. sin xº = sin p
⇒ x₁ = p + 360.k
⇒ x₂ = [180 - p] + 360.k
2. cos xº = cos p
⇒ x₁ = p + 360.k
⇒ x₂ = -p + 360.k
3. tan xº = tan p
⇒ x₁ = p + 180.k
⇒ x₂ = [180 + p] + 360.k
Contoh Soal Persamaan Trigonometri
Untuk memahami lebih dalam, yuk simak baik-baik contoh soal persamaan trigonometri berikut ini.
1] Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3xº = 1,untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah....
A. {0, 20, 60}
B. {0, 20, 100}
C. {20, 60, 100}
D. {20, 100, 140}
E. {100, 140, 180}
Pembahasan:
2 cos 3xº = 1
⇒ cos 3xº = ½
⇒ cos 3xº = cos 60°
Maka:
3x₁ = 60°+ k.360°
⇒ x₁ = 20°+ k.120°
⇒ x₁ = {20,140}
3x₂ = -60° + k.360°
⇒ x₂ = -20° + k.120°
⇒ x₂ = {100}
Jadi, diperoleh himpunan penyelesaian HP {20, 100, 140}. Jawaban: D.
2] Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0, untuk 0° ≤ x ≤360° adalah....
A. {300°,150°}
B. {60°,120°}
C. {120°,240°}
D. {210°,330°}
E. {240°,300°}
Pembahasan:
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0
⇒ 1-2 sin²x +3 sin x + 1 = 0
⇒ -2 sin²x + 3 sin x + 2 = 0
⇒ 2 sin²x - 3 sin x - 2 = 0
⇒ [2 sin x + 1] [sin x − 2] = 0
Pembuat nol:
2 sin x + 1=0 atau sin x - 2 = 0
⇒ sin x = -½ atau sin x = 2
sin x = 2 tidak memenuhi. Jadi, diambil sin x = -½
Selanjutnya, dicari nilai x yang memenuhi sin x = -½
Nilai sinus negatif di kuadran III dan IV sehingga penyelesaiannya:
Kuadran III
sin x = sin[180° + 30°] = sin 210°
Kuadran IV
sin x = sin[360° - 30°] = sin 330°
Jawaban persamaan trigonometri kelas 11: D.
3] Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah...
Jawaban
√3 cos x + sin x = √2
1/2√3 cos x + 1/2 sin x = 1/2 √2
cos 30° cos x + sin 30° sin x = cos 45°
cos [x-30°] = cos 45', maka
[x-30°] = ± 45° + k . 360°
x1 -30° = 45° + k . 360° atau
x1 = 75° + k . 360°
supaya x1 terletak di antara 0° dan 360° maka
x1 = 75° + 0 . 360° = 75°
x2 - 30° = -45° + k . 360°
atau x2 = 15° + k. 360°
ambil k = 1, x2 = -15° + 1 x 360° = 345°
Nah itulah contoh soal persamaan trigonometri lengkap dengan pembahasan. Selamat belajar ya detikers!
Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"
[faz/pay]
Pembahasan soal Ujian Nasional [UN] tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu.
UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/3, π, 5π/3} B. {2π/3, π, 4π/3} C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π} D. {0, π/3, 5π/3, 2π} E. {0, π/3, 4π/3, 2π}Pembahasan :
cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0[2cos2x - 1] + cos x = 0
2cos2x + cos x - 1 = 0 [2cos x - 1][cos x + 1] = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1
cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300°cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π
→ x = 180° Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} atau {π/3, π, 5π/3}Jawaban : A
Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian.
UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 7π/6} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan :
4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2[1 - sin2x] 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x6sin2x - 5sin x - 4 = 0 [3sin x - 4][2sin x + 1] = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -1/2
sin x = 4/3 → tidak mempunyai solusi
sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP = {210°, 330°} atau {7π/6, 11π/6}Jawaban : E
UN 2016
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {60°, 120°, 150°} B. {60°, 150°, 300°} C. {90°, 210°, 300°} D. {90°, 210°, 330°} E. {120°, 250°, 330°}Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0 1 - 2sin²x + sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 [2sin x + 1][sin x - 1] = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330°sin x = 1, 0 ≤ x ≤ 360°
→ x = 90° Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}Jawaban : D
UN 2015
Pembahasan :
cos 2x + 3cos x - 1 = 0[2cos2x - 1] + 3cos x - 1 = 0
2cos2x + 3cos x - 2 = 0 [2cos x - 1][cos x + 2] = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -2
cos x = -2 → tidak mempunyai solusi
cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HP = {60°, 300°}
Jawaban : C
UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {0°, 20°, 60°} B. {0°, 20°, 100°} C. {20°, 60°, 100°} D. {20°, 100°, 140°} E. {100°, 140°, 180°}Pembahasan :
0° ≤ x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1[360°] = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}Jawaban : D
UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {30°, 150°} B. {30°, 300°} C. {60°, 150°} D. {60°, 300°} E. {150°, 300°}
Pembahasan :
2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2[1 - sin2x] + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 02sin2x - 5sin x + 2 = 0 [2sin x - 1][sin x - 2] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 2
sin x = 2 → tidak mempunyai solusi
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A
UN 2013
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {30°, 60°, 150°} D. {60°, 90°, 120°} E. {60°, 120°, 150°}Pembahasan :
cos 2x - sin x = 0[1 - 2sin2x] - sin x = 0
2sin2x + sin x - 1 = 0 [2sin x - 1][sin x + 1] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = -1
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150°sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180°
[tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°] Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A
UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {120°, 150°} B. {150°, 165°} C. {30°, 150°} D. {30°, 165°} E. {15°, 105°}
Pembahasan :
[1 - 2sin22x] + 3sin 2x = -1
-2sin22x + 3sin 2x + 2 = 02sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 [2sin 2x + 1][sin 2x - 2] = 0 sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2
sin 2x = 2 → tidak mempunyai solusi
sin 2x = -1/2 , 0° ≤ 2x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HP = {105°, 165°}Jawaban : -
UN 2010
Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ... A. {0, π} B. {π/2, π} C. {3π/2, π} D. {π/2, 3π/2} E. {0, 3π/2}Pembahasan :
sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x [2sin x + 2] = 0 cos x = 0 atau sin x = -1cos x = 0, 0 ≤ x < 2π
→ x = 90°sin x = -1, 0 ≤ x < 2π
→ x = 270° Jadi, HP = {90°, 270°} atau {π/2, 3π/2}
Jawaban : D
UN 2009
Himpunan penyelesaian sin [2x + 110]° + sin [2x - 10]° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ... A. {10, 50, 170, 230} B. {50, 70, 230} C. {50, 170, 230, 350} D. {20, 80, 100} E. {0, 50, 170, 230, 350}Pembahasan :
sin [2x + 110]° + sin [2x - 10]° = 1/2 Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin\[\mathrm{\left [ \frac{A+B}{2} \right ]}\] cos\[\mathrm{\left [ \frac{A-B}{2} \right ]}\] pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin [2x + 50]° cos 60° = 1/2 2sin [2x + 50]° [1/2] = 1/2 sin [2x + 50]° = 1/2 sin [2x + 50]° = sin 30° Solusi I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -20 + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Solusi II : 2x + 50 = [180 - 30] + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}Jawaban : C
UN 2008
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {240°, 300°} B. {210°, 330°} C. {120°, 240°} D. {60°, 120°} E. {30°, 150°}Pembahasan :
cos 2x + 7sin x - 4 = 0[1 - 2sin2x] + 7sin x - 4 = 0
-2sin2x + 7sin x - 3 = 02sin2x - 7sin x + 3 = 0 [2sin x - 1][sin x - 3] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 3
sin x = 3 → tidak mempunyai solusi
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}
Jawaban : E
UN 2005
Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {45°, 105°, 225°, 285°} B. {45°, 135°, 225°, 315°} C. {15°, 105°, 195°, 285°} D. {15°, 135°, 195°, 315°} E. {15°, 225°, 295°, 315°}
Pembahasan :
Acos x + Bsin x = k cos [x - θ] dengan k = \[\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}\] tan θ = \[\mathrm{\frac{B}{A}}\] atau θ = arctan\[\mathrm{\left [ \frac{B}{A} \right ]}\]Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik [A, B].
2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0
⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1⇔ √3 [2cos2x - 1] - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1 ............................[1] Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos [2x - θ] A = √3 dan B = -1 k = \[\sqrt{[\sqrt{3}]^{2}+[-1]^{2}}\] = 2 Karena [A, B] = [√3, -1] berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV. tan θ = \[\frac{-1}{\sqrt{3}}\] = \[-\frac{\sqrt{3}}{3}\] → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos [2x - 330°] .........[2] Dari persamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2cos [2x - 330°] = 1 cos [2x - 330°] = 1/2 cos [2x - 330°] = cos 60° Solusi I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}
Jawaban : D
UN 2004
Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {15°, 105°} B. {15°, 195°} C. {75°, 105°} D. {75°, 345°} E. {105°, 345°}Pembahasan :
√6 sin x + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................[1] Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos [x - θ] A = √2 dan B = √6 k = \[\sqrt{\left [ \sqrt{2} \right ]^{2}+\left [ \sqrt{6} \right ]^{2}}\] = 2√2 Karena [A, B] = [√2, √6] berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. tan θ = \[\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\] = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos [x - 60°] ......[2] Dari persaamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2√2 cos [x - 60°] = 2 cos [x - 60°] = \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] cos [x - 60°] = cos 45° Solusi I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solusi II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HP = {15°, 105°}Jawaban : A
UN 2003
Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ... A. {120°, 180°} B. {90°, 210°} C. {30°, 270°} D. {0°, 300°} E. {0°, 300°, 360°}Pembahasan :
sin x - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................[1] Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos [x - θ] A = -√3 dan B = 1 k = \[\sqrt{\left [ -\sqrt{3} \right ]^{2}+\left [ 1 \right ]^{2}}\] = 2 Karena [A, B] = [-√3, 1] berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. tan θ = \[\frac{1}{-\sqrt{3}}\] = \[-\frac{\sqrt{3}}{3}\] → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos [x - 150°] .............[2] Dari persamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2cos [x - 150°] = √3 cos [x - 150°] = \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] cos [x - 150°] = cos 30° Solusi I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HP = {120°, 180°}Jawaban : A