LINGKARAN DAN ELIPS
LINGKARAN
Definisi lingkaran adalah : tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran. P Luas lingkaran : L = π r2 P
Keliling lingkaran : K = 2 π r
P ( π = 22/7 )
PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT
PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT O( 0, 0 ) Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r.
Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 ……. ( 1 )
Misalkan, Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut : L = { ( x, y ) | x2 + y2 = r2 }
Contoh soal :
Diketahui titik A(2,-1) dan titik B(-2,1). Tentukan persamaan lingkaran, jika AB merupakan garis tengah (diameter) lingkaran itu. Gambarkan grafiksnya !
Jawab: Karena AB adalah diameter lingkaran, maka koordinat pusat lingkaran itu merupakan titik tengah dari titik A dan titik B. Koordinat titik tengah dari titik A(xA, yA) dan titik B (xB, YB) adalah ( xT,yT) = ( (xA + xB ), (yA + YB)). Untuk titik A(2,-1) dan titik B(-2,1), maka koordinat titik tengahnya adalah ( xT,yT) = ( (2-2), (-1+ 1)) = (0,0) Jadi, pusat lingkaran di O(0,0).
Jari-jari lingkaran adalah OA = = . atau OB = …….. = .
Dengan demikian,persamaan lingkaran itu dapat dinyatakan sebagai
x2 + y2 = atau x2 + y2 = 5
PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT P( a, b ) , a ≠ 0, b ≠ 0
Pengertian persamaan Lingkaran yang berpusat di A(2, 1) dan berjari-jari 3 dengan cara
himpunan M dan N:
Daerah M yang diraster diatas menunjukan himpunan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A(1, 2). Daerah M dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:
M = { P(x, y) | AP ≤ 3}
Dibaca : M adalah himpunan semua titik P(x,y) yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A.
Jika p (x, y) , maka AP dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik yaitu :
Daerah N yang diarsir diatas menunjukan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau lebih dari titik A(1, 2). Daerah N dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut :
N = { P(x, y) | AP ≥ 3}
Dengan menggunakan perhitungan yang sama seperti pada himpunan M, maka himpunan N dapat dinyatakan pula sebagai berikut :
Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran . buatlah garis g yang melalui titik pusat A (a, b) dan sejajar dengan sumbu X, serta P’ adalah proyeksi P pada garis g, sehingga segitiga AP’P merupakan segitiga siku-siku di P’ dengan sisi-sisi
AP’ = (x – a), PP’= (y – b), dan AP = r (jari-jari lingkaran).
Karena titik P(x, y) kita ambil sembarang, maka persamaan + = r2 berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian kita dapar menyatakan hal sebagai berikut.
Persamaan lingkaran denga pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah
+ = r2 ……( 2 )
Apabila dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
L ≡ { (x, y) | ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2}
Persamaan ini disebut persamaan lingkaran baku.
Dalam arti jika persamaan lingkaran baku itu diketahui, maka kita dengan segera dapat menentukan pusat sekaligus jari-jarinya . misalkan,
a) Jika L ≡ + = 25 , maka pusat (3, 4), dan jari-jari r = = 5
b) Jika L ≡ + = 16 , maka pusat (-1, 5), dan jari-jari r = = 4
c) Jika L ≡ + = 12 , maka pusat (2, -3), dan jari-jari r = = 2
d) Jika L ≡ (x + 1)2 + ( y + 2 )2 = 9 , maka pusat (-1, -2), dan jari-jari r = = 3
Contoh Soal-Jawab:
a) Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-2, 2) dan jari-jari 3.
b) Gambarkan lingkaran pada soal a).
c) Pada gambar yang anda peroleh pada soal b) , lukiskan titik-titik P(1, 3), Q(-4, 2), dan R(2, 4).
d) Dapatkah anda menyebutkan di mana kedudukan titik-titik P, Q, dan R terhadap lingkaran? Di dalam, pada, ataukah di luar lingkaran?
Jawab :
a) Persamaan lingkaran dengan pusat A(-1, 2) dan jari-jari r = 3 dapat dinyatakan sebagai (x – (-1))2 + ( y – 2 )2 = (3)2
- (x + 1)2 + ( y – 2 )2 = 9
Dalam notasi pembentukan himpunan dituliskan sebagai:
L ≡ { (x, y) | (x + 1)2 + ( y – 2 )2 = 9}
PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
x2 + y2 ± 2Ax ± 2By ± C = 0 …………………………….( 3 )
Untuk memudahkan membuat grafiksnya, harus dirubah dulu menjadi persamaan pusat, Seperti pada persamaan ( 2 ), yaitu : + = r2 Dari ( 3 ) : x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0 dapat dirubah menjadi : ( x – A )2 + ( y – B )2 – A2 – B2 + C = 0 ( x – A )2 + ( y – B )2 = A2 + B2 – C
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (A,B) dan jari-jari r =
Ciri-ciri persamaan ( 3 ) yang merupakan persamaan lingkaran adalah : koefisien x2 dan y2
harus = 1 atau sama besar yang tidak sama dengan nol, tapi harus bertanda sama ( sama-sama positif atau sama-sama negatif.
PERSAMAAN LINGKARAN DALAM KOORDINAT POLAR
x = r cos Ө ; y = r sin Ө; x2 + y2 = r2
1. r = 2 (lingkaran) y
atau . r2 = 22 x2 + y2 = 4 P(0,0)
(lingkaran pusat P(0,0) jari-jari r = 2) x
2. r = 2 cos Ө (lingkaran) atau r = 2 x/r y x2 – 2x + y2 = 0 P(1,0) (x-1)2 + y2 = 1 x
(lingkaran pusat P(1,0) jari-jari r = 1)
3. r = 2 sin Ө (lingkaran) atau r = 2 y/r x2 – 2y + y2 = 0 P(0,1) x2 + (y-1)2 = 1
(lingkaran pusat P(0,1) jari-jari r = 1)
ELIPS
Definisi ELIPS adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua buah titik tertentu
Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF2 +TF1 = 2a ). T adalah suatu titik yang terletak pada Elips. Sedang F1 dan F1 adalah titik-titk Fokus Elips.
Catatan:
Luas elips LE = π a b; Keliling elips KE = 2 π
Sumbu simetris yang melalui titik-titik focus F1 dan
F2 disebut sumbu utama atau sumbu Transversal. Panjang F1 F2 = 2 c
– Sumbu utama ini berpotongan dengan Elips di titik-titik A1 dan A2, masing-masing disebut puncak elips.
– Ruas garis A1 A2 disebut sumbu panjang atau sumbu mayor, yg panjangnya = 2a
– Sumbu-sumbu yang melalui titik tengah F1 dan F2 yang tegak lurus F1 F2 disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi. Sumbu sekawan ini berpotongan dengan elips di titik-titik B1 dan B2.
– Ruas garis B1 B2 disebut sumbu pendek atau sumbu minor, yg panjangnya = 2b
PERSAMAAN ELIPS DALAM KOORDINAT POLAR
1. Dalam Koordinat Polar, secara umum r = , a = konstanta
(i). є < 1 à ellips
(ii). є = 1 à parabola
(iii). є > 1 à hiperbola
(i). є = ½ < 1 à ellips à r = à
r – r cos Ө = 2 a à r = r cos Ө + 2 a
√(x2 + y2) = x + 2 a à P
x2 + y2 = (x + 2 a)2 à
= x2 + 2 ax + 4a2à
x2 – 2 a x + y2 = 4a2
(x2 – a x )+ y2 = 4a2
+ y2 = 4a2 + a2
+ y2 = a2 à ellips denngan pusat (a, 0)