Nilai ekstrim dari fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan rumus berikut.
Nilai ekstrim fungsi tersebut adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, nilai ekstrim dari fungsi adalah .
1. Pengertian Fungsi KuadratFungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang pengkat variabel tertingginya adalah dua.
Bentuk umum:
y = ax2 + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R
2. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas
b. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah
3. Titik Potong terhadap Sumbu-sumbu Koordinat
Titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, terdiri atas dua macam, yakni:
a. Titik potong terhadap sumbu X
Agar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c = 0 memotong sumbu X maka nilai y haruslah sama dengan 0
y = 0 <=> ax2 + bx + c = 0 (x – x1)(x – x2) = 0
Koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) dan (x2, 0)
b. Titik potong pada sumbu Y
Agar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c = 0 memotong sumbu Y maka nilai x haruslah sama dengan 0
x = 0 <=> y = a(0)2 + b(0) + c = c
Koordinat titik potongnya adalah (0 , c)
4. Titik Puncak/Titik Balik dan Sumbu Simetri
Bentuk y = ax2 + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x + b/2a)2 + [(b2 – 4ac)/-4a]x disebut sumbu simetriy disebut nilai ekstrim=> Jika a > 0 maka y.eks = y.min=> Jika a < 0 maka y.eks = y.max
Titik puncak parabola : [(-b/2a) , (b2 – 4ac)/-4a]
=> Jika a > 0 maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.=> Jika a < 0 maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.
5. Kegunaan Diskriminan pada Fungsi Kuadrat
a. Mengetahui hubungan parabola dengan sumbu X 1) Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu X pada dua titik 2) Jika D = 0 maka parabola menyinggung sumbu X 3) Jika D < 0 maka parabola tidak menyinggung ataupun memotong sumbu X
Perhatika grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
b. Mengetahui hubungan parabola dengan garisUntuk menentukan apakah suatu garis itu memotong atau tidak memotong parabola, maka dapat dilakukan dengan cara mensubtitusikan garis ke parabola, dan hasilnya seperti di bawah ini.1) Jika D > 0 maka garis memotong parabola di titik2) Jika D = 0 maka garis menyinggung parabola (berpotongan di satu titik)
3) Jika D < 0 maka garis tidak menyinggung ataupun memotong parabola
6. Menentukan Persamaan Kurva dari Fungsi KuadratUntuk menentukan persamaan kurva jika grafik fungsi kuadratnya diketahui dapat dilakukan dengan cara berikut.a. Jika diketahui titik puncak = (xp , yp), gunakan rumus:
y = a(x – xp)2 + yp
b. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X yakni (x1 , 0) dan (x2,0) gunakan rumus: y = a(x – x1)(x – x2)c. Jika yang diketahui selai titik pada poin a dan b, maka gunakan rumus: y= ax2 + bx +c.
Soal dan Pembahasan Fungsi KuadratSoal ❶ (UMPTN 1992)Grafik dari y = 4x – x2 paling tepat di gambar sebagai ….
Pembahasan:y = 4x – x2 dapat ditulis menjadi y = – x2 + 4x, dengan koefisien-koefisien a = -1, b = 4, dan c = 0.Karena a = -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah* Nilai diskriminannya (D): D = b2 – 4ac = (4)2 – 4(-1)(0) = 16 Karena D = 16 > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik.* Titik potong dengan sumbu x ⇔ y = 0 y = 4x – x² atau 4x – x² = y
⇔- x2 + 4x = 0 ⇔ x(-x + 4) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4Jadi, grafik y = 4x – x2 yang benar adalah grafik pada jawaban B.
Soal ❷(UMPTN 2000)Diketahui parabola y = mx² – (m + 4)x – 1 dan garis lurus y = x – ½. Jika parabola dan garis lurus itu saling bersinggungan maka nilai m = …..A. -2 atau 8B. -4 atau 4C. 2 atau -8D. -2 atau -8E. 2 atau 8
Pembahasan:
Subtitusikan persamaan garis ke persamaan parabola:mx² – (m + 4)x – 1 = x – ½ mx² – (m + 4)x – 1 + ½ = 0mx² – (m + 4)x – ½ = 0
Syarat bersinggungan, D = 0b² – 4ac = 0(m + 4)² – 4(m)(-½) = 0m² + 8m + 16 + 2m = 0m² + 10m + 16 = 0(m + 2)(m + 8) = 0m = -2 atau m = -8
(Jawaban: D)
Soal ❸ (PROYEK PERINTIS 1979)Grafik fungsi y = x2 – 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .A. a < 0B. a < 4C. a ≤ 4D. a > 4
E. a ≥ 4
Pembahasan:Fungsi y = x2 – 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 02) Menyinggung sumbu X => D = 0
Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0⇔ b2 – 4ac ≤ 0⇔ (-4)2 – 4(1)(a) ≤ 0⇔ 16 – 4a ≤ 0⇔ 16 ≤ 4a⇔ 4 ≤ a⇔ a ≥ 4
(Jawaban: E)
Soal ❹ (PROYEK PERINTIS 1979)Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2x2 – 12x + 14} adalah. . . . .A. (3 , 4)B. (3 , -4)C. (6 , 4)D. (6 , -4)
E. (3, 6)
Pembahasan:y = 2x2 – 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14Titik puncak (xp , yp):xp = −b2a = −(−12)2(2) = 124 = 3yp = b²−4ac−4a = (−12)²−4(2)(14)−4(2) = 144−112−8 = 32−8 = -4Jadi, titik puncaknya adalah (3 , -4)
(Jawaban: B)
Soal ❺ (SIPENMARU 1987)Jika parabola y = x2 – px + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka ordinatnya adalah…..A. -9B. -8C. 0D. 8
E. 9Pembahasan:
y = x2 – px + 7, maka a = 1, b = -p, c = 7
Absis (x) = −b2aKarena absisnya = 4, maka:⇔ −b2a = 4⇔ −(−p)2(1) = 4⇔ p2 = 4⇔ p = 4 x 2⇔ p = 8
Jadi, b = -p = -8
Ordinat (y) = b²−4ac−4a = (−8)²−4(1)(7)−4(1) = 64−28−4 = 36−4 = 9Jadi, ordinatnya adalah -9
(Jawaban: A)
Soal ❻ (UMPTN 1998)Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = ……A. -2B. -1C. -½D. 2
E. 4 Pembahasan:
f(x) = ax2 + 4x + a
f.maks = b²−4ac−4a = 3, syarat a < 0
⇔ 4²−4a.a−4a = 3
⇔ 16 – 4a² = 3 x (-4a)
⇔ 16 – 4a² = -12a
⇔ 16 – 4a² + 12a = 0
⇔ 4a2– 12a – 16 = 0
⇔ a2– 3a – 4 = 0
⇔ (a + 1)(a – 4) = 0
⇔ a = -1 atau a = 4 (tidak memenuhi)
Sumbu simetri = −b2a = −42(−1) = −4−2 = 2
(Jawaban: D)
Soal ❼ (PROYEK PERINTIS 1983)
Nilai k yang harus diambil supaya f(x) = kx2 + 16x + 4k selalu mempunyai nilai positif adalah……A. k < -4 atau k > 4B. -4 < k < 4C. 0 < k < 4D. k > 4E. k < 4
Pembahasan:
Selalu mempunyai nilai positif = definit positif, syarat:1) D < 0⇔ b2– 4ac < 0
⇔ 162– 4(k)(4k) < 0
⇔ 162– 16k2 < 0
⇔ 16 – k2 < 0⇔ (4 – k)(4 + k) < 0
⇔ k < -4 atau k > 4 ——————–(1)
2) a > 0 k > 0 ———————————-(2)Dari (1) dan (2) diperoleh k > 4
(Jawaban: D)
Soal ❽(SPMB 2004)Agar kurva y = mx² – 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva y = 2x² – 3 maka konstanta m memenuhi…..A. m > 6B. m > 2C. 2 < m < 6D. -6 < m < 2E. -6 < m < 2
Pembahasan:
Syarat: y₁ > y₂mx² – 2mx + m > 2x² – 3mx² – 2mx + m – 2x² + 3 > 0(m – 2)² – 2mx + (m + 3) > 0
Syarat definit positif adalah:(1) a > 0 (m – 2) > 0
m > 2 …………….(1)
(2) D < 0b² – 4ac < 0(-2m)² – 4(m – 2)(m + 3) < 0 4m² – 4m² – 4m + 24 < 0 -4m + 24 < 0 -4m < -24
m > 6 ………(2)
Irisan (1) dan (2) adalah m > 6
(Jawaban: A)