Dalam pembelajaran matematika, pengertian dari fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus yang mempunyai sifat setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu pasangan pada himpunan B. Misalnya, diketahui banyak anggota himpunan A adalah n(A) dan banyak anggota himpunan B adalah n(B). Salah satu fungsi matematika yang akan dibahas pada artikel ini adalah rumus fungsi linear.
Dikutip dari buku Sekali Baca Langsung Inget Rumus Detail Matematika untuk SMP/MTS yang ditulis oleh Siti Nuraisyah (2014: 71), rumus fungsi linear dapat dinotasikan dengan f : x <=> ax +b, yang mana f(x) = ax + bx variabel dan f(x) nilai fungsi. Adapun nilai fungsi untuk setiap x yang diberikan dihitung dengan menggunakan cara mensubstitusikan nilai x pada fungsi tersebut.
Penjelasan Rumus Matematika Fungsi Linear
Ilustrasi Rumus Fungsi Linear. (Foto: ShutterBug75 by //pixabay.com)Agar lebih jelas, artikel kali ini akan memuat contoh rumus fungsi linear dan pembahasannya. Berikut adalah contoh soal fungsi linear yang dikutip dari buku Kisi-kisi Pasti Ujian Nasional SMP 2015 Prediksi Akurat yang ditulis oleh Reni Fitriani (2015: 158):
Tentukan nilai dari fungsi-fungsi berikut untuk nilai x yang ditentukan!
1. F(x) = 5x – 7, f(2) = …
2. F(x) = x^2 + 6x – 2, f(-2)=…
F(-2) = (-2)^2 + 6(-2) – 2
3. Diketahui fungsi f(x) = 8x – 6. Tentukan nilai a jika f(x) = 9
F(a) = 8a – 6 <=> f(a) = 10
Nilai suatu fungsi diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai variabel ke fungsi, yaitu mengganti variabel dengan nilai yang diketahui. Rumus fungsi dapat ditentukan apabila nilai fungsi diketahui, caranya adalah dengan memisahkan bentuk fungsi terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikan nilai fungsi. Semoga informasi ini bermanfaat dan selamat belajar! (CHL)
Pada postingan sebelumnya telah dipaparkan cara menentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang, akan membahas kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jika nilai fungsinya diketahui.
Pada postingan ini bentuk fungsi yang akan dibahas hanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentuk fungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan Anda pelajari pada tingkat yang lebih tinggi. Oke langsung saja ke pembahasannya.
Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x = ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m) = am + b.
Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui. Agar Anda lebih mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.
Contoh Soal 1.
Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsi tersebut jika f(3) = 4.
Penyelesaian:
Untuk menyelesiakan soal tersebut Anda harus mencari niali m terlebih dahulu, yakni:
f(x) = 2x + m
f(3) = 2.3 + m = 4
4 = 2.3 + m
m = 4-6
m = -2
maka,
f(x) = 2x -2
Contoh Soal 2
Jika f(x) = ax + b, f(1) = 2, dan f(2) = 1
maka tentukan
a. Karena bentuk f(x) = ax + b maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear. Dengan demikian diperoleh
f(1) = 2, maka
f(1) = a (1) + b = 2
a+ b = 2 => a = 2 – b
f(2) = 1, maka
f(2) = a (2) + b = 1
2a+ b = 1
Untuk menentukan nilai b, masukan a = 2 – b ke persamaan 2a+ b = 1. maka
2a+ b = 1
2(2 – b) + b = 1
4 – 2b + b = 1
– b = – 3
b = 3
Untuk menentukan nilai a, nilai b = 3 ke persamaan:
a = 2 – b
a = 2 – 3
a = – 1
maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = –x +3
b. bentuk paling sederhana dari f(x – 1) adalah:
f(x) = –x +3
f(x – 1) = –(x – 1) +3
f(x – 1) = –x + 1 +3
f(x – 1) = –x + 4
c. bentuk paling sederhana dari f(x) + f(x – 1) adalah
f(x) + f(x – 1) = (–x +3) + (–x + 4)
f(x) + f(x – 1) = –2x +7
Contoh soal 3.
Diketahui f(x) = ax + b. Tentukan bentuk fungsi-fungsi berikut jika
a. f(1) = 3 dan f(2) = 5;
b. f(0) = –6 dan f(3) = –5;
c. f(2) = 3 dan f(4) = 4.
Penyelesaian:
a. Karena bentuk f(x) = ax + b maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.
Untuk f(1) = 3, maka
f(1) = a (1) + b = 3
a+ b = 3 => a = 3 – b
Untuk f(2) = 5, maka
f(2) = a (2) + b = 5
2a+ b = 5
Untuk menentukan nilai b, masukan a = 3 – b ke persamaan 2a+ b = 5. maka
2a+ b = 5
2(3 – b) + b = 5
6 – 2b + b = 5
– b = – 1
b = 1
Untuk menentukan nilai a, nilai b = 1 ke persamaan:
a = 3 – b
a = 3 – 1
a = 2
maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = 2x + 3
b. Karena bentuk f(x) = ax + b maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.
Untuk f(0) = - 6, maka
f(0) = a (0) + b = - 6
b = - 6
Untuk f(3) = - 5, maka
f(3) = a (3) + b = - 5
3a+ b = - 5
Untuk menentukan nilai a, masukan b = - 6 ke persamaan 3a+ b = - 5, maka
3a -6 = -5
3a = 1
a = 1/3
maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x/3 – 6
c. Karena bentuk f(x) = ax + b maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.
Untuk f(2) = 3, maka
f(2) = a (2) + b = 3
2a+ b = 3 => b = 3 – 2a
Untuk f(4) = 4, maka
f(4) = a (4) + b = 4
4a+ b = 4
Untuk menentukan nilai a, masukan b = 3 – 2a ke persamaan 4a+ b = 4 maka
4a+ b = 4
4a + (3 – 2a) = 4
2a = 1
a = 1/2
Untuk menentukan nilai b, nilai a = 1/2 ke persamaan:
b = 3 –2a
b = 3 – 2a
b = 3 – 2(1/2)
b = 2
maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x/2 + 2
Contoh Soal 4
Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7. Tentukan
a. bentuk fungsi f(x);
b. nilai f(–1);
c. nilai f(–2) + f(–1);
d. bentuk fungsi f(2x – 5).
Penyelesaian:
a. Tentukan terlebih dahulu nilai dari a, yakni:
f(x) = (x + a) + 3
f(2) = (2 + a) + 3 = 7
a = 2
maka bentuk dari f(x) adalah f(x) = x + 5
b. nilai f(–1) yakni:
f(x) = x + 5
f(–1) = –1 + 5
f(–1) = 4
c. nilai f(–2) + f(–1)yakni:
f(x) = x + 5
f(–2) + f(–1) =( - 2 + 5) + (–1 + 5)
f(–2) + f(–1) = 3 + 4
f(–2) + f(–1) = 7
d. bentuk fungsi f(2x – 5) yakni:
f(x) = x + 5
f(2x – 5) = 2x – 5 + 5
f(2x – 5) = 2x
5. Diketahui dua buah fungsi, yaitu f(x) = 2 –ax/2 dan g(x) = 2 – (a – 3)x. Jika f(x) = g(x), tentukan
a. nilai a;
b. bentuk fungsi f(x) dan g(x);
c. bentuk fungsi f(x) + g(x);
d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)
Penyelesaian:
a. nilai a yakni:
f(x) = g(x)
2 – ax/2 = 2 – (a – 3)x
(4 – ax)/2 = 2 – (a – 3)x
4 – ax = 2(2 – (a – 3)x)
4 – ax = 4 – 2(a – 3)x
4 – ax = 4 – 2ax + 6x
4 – 4 – ax + 2ax = 6x
ax = 6x
a = 6x/x
a = 6
Jadi nilai a adalah 6
b.
bentuk fungsi f(x) dan g(x) dengan memasukan nila a = 6 maka
f(x) = 2 –ax/2
f(x) = 2 –6x/2
f(x) = 2 –3x
g(x) = 2 – (a – 3)x.
g(x) = 2 – (6 – 3)x.
g(x) = 2 – 3x.
c. bentuk fungsi f(x) + g(x);
f(x) + g(x) = (2 – 3x) + (2 – 3x.)
f(x) + g(x) = 4 – 6x
d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)
f(x) = 2 – 3x
f(–1) = 2 – 3(–1) = 5
f(2) = 2 – 3(2) = - 4
g(x) = 2 – 3x
g(1) = 2 – 3(1) = - 1
g(4) = 2 – 3(4) = - 10