KOMPAS.com/RIGEL RAIMARDA
Contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak
KOMPAS.com - Pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel merupakan suatu pertidaksamaan nilai mutlak yang hanya menggunakan satu variabel (biasanya variabel x).
Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel memiliki sifat yang berbeda-beda, salah satunya tergantung dari tanda pertidaksamaannya.
Contoh pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel
Berikut ini terdapat tiga soal yang secara umum menggambarkan persoalan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.
Contoh soal 1Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |4x+3|<9!
Jawaban:
|4x+3|<9-9<4x+3<9-9-3<4x+3-3<9-3-12<4x<6-12/4<4x/4<6/4
-3<x<3/2
Baca juga: Persamaan Linear Dua Variabel
Contoh soal 2Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x+7|≥5!
Jawaban:
2x+7≥52x+7-7≥5-72x≥-22x/2≥-2/2
x≥-1
atau
Halaman Selanjutnya
2x+7≤-52x+7-7≤-5-72x≤-122x/2≤-12/2x≤-6
KOMPAS.com/Gischa Prameswari
Ilustrasi pertidasamaan linear satu variabel
Oleh: Andri Saputra, Guru SMPN 12 Pekanbaru, Riau
KOMPAS.com - Populasi Komodo di Indonesia ada sekitar 3.012 ekor menurut data tahun 2017. Komodo tersebar di lima pulau yang ada di Indonesia yaitu Pulau Komodo, Puau Rinca, Pulau Gili Motang, Pulau Padar, dan Pulau Nusa Kode.
Populasi Komodo saat ini yang berusia tua diperkirakan tidak lebih dari 600 ekor. Sisanya Komodo berusia muda dan masih produktif.
Dari permasalahan tersebut dapat kita nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear satu variabel. Persamaan yang dibentuk adalah 3.012-x ≤600, dengan x adalah jumlah Komodo berusia muda dan produktif.
Sebelum kita menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel terlebih dahulu kita tahu apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan linear satu variabel? Bagaimana menerapkan konsep pertidaksamaan linear satu variabel dalam permasalahan sehari-hari?
Baca juga: Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear satu variabel
Berat badan Dika tidak lebih dari 50 kilogram, tinggi badan Arya kurang dari 167 sentimeter.
Kalimat tersebut merupakan contoh pertidaksamaan. Pertidaksamaan selalu ditandai dengan tanda hubung < untuk menyatakan kurang dari, > untuk menyatakan lebih dari, ≤ untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan, serta ≥ untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.
Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa pertidaksamaan adalah ketidaksamaan yang memuat variabel.
Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (SPtLSV) adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu menggunakan tanda ketidaksamaan “>”, “ ≥ ”, “<“, atau “ ≤ ”.
Baca juga: Penyelesaian Program Linear
Untuk pemantapan kita tentang pertidaksamaan linear satu variabel coba cermati contoh berikut, dari kalimat berikut mana yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel?
Perhatikan beberapa bentuk pertidaksamaan berikut ini.
(a) x + 1 > 0
(b) 2x – 4 < 3
(c) 5x + 7 ≥ −3
(d) 4x + 1 ≤ 5
Pertidaksamaan yang memuat satu variabel berderajat 1 seperti di atas disebut dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Dalam variabel x, pertidaksamaan linear ini memiliki 4 macam bentuk baku sebagai berikut.
■ ax + b < 0 |
■ ax + b ≤ 0 |
■ ax + b > 0 |
■ ax + b ≥ 0 |
dengan a dan b bilangan real dan a ≠ 0 |
Menyelesaikan sebuah pertidaksamaan linear satu variabel berarti mencari nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud. Untuk itu, kita perlu memahami sifat-sifat pertidaksamaan. Misalkan diberikan pernyataan bahwa 10 < 20 bernilai benar:
● Jika kedua ruas ditambah 2 maka 10 + 2 < 20 + 2, nilainya benar
● Jika kedua ruas dikurangi 2 maka 10 – 2 < 20 – 2, milainya benar
● Jika kedua ruas dikalikan 2 maka 10 × 2 < 20 × 2, nilainya benar
● Jika kedua ruas dibagi 2 maka 10 : 2 < 20 : 2, nilainya benar.
● Jika kedua ruas dikali −2 maka 10 × (−2) < 20 × (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar maka tanda pertidaksamaan dibalik sehingga −20 > −40
● Jika kedua ruas dibagi −2 maka 10 : (−2) < 20 : (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar, tanda pertidaksamaannya dibalik sehingga−5 > −10.
Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
1. | Jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap. |
2. | Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap. |
3. | Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik. |
Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Linear
Agar kalian lebih memahami dan terampil dalam menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear satu variabel, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, kemudian gambarkan dalam garis bilangan.
(a) 2x + 8 > 0
(b) 5x – 15 ≤ 0
Jawab:
(a) 2x + 8 > 0
⇒ 2x > −8
⇒ x > −4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > −4, x ∈ R}. Himpunan penyelesaian ini, secara geometris tampak pada Gambar (a).
(b) 5x – 15 ≤ 0
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≤ 3, x ∈ R}. Garis bilangannya dapat digambarkan seperti pada Gambar (b).
Contoh Soal 2:
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini.
(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12
(b) 4x + 1 < x – 8
Jawab:
(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12
⇒ −2x – 3x ≥ −2 + 12
⇒ −5x ≥ 10
⇒ x ≤ −2
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x ≤ −2, x ∈ R}.
(b) 4x + 1 < x – 8
⇒ 4x – x < −8 – 1
⇒ 3x < −9
⇒ x < −3
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x < −3, x ∈ R}.
Tuliskan himpunan penyelesaian dari:
(a) 2x – 3 < 4x – 3 < 2x + 2
(b) 2x < 3x + 10 < 4x
Jawab:
(a) 2x – 3 < 4x – 3 < 2x + 2
⇒ −3 < 2x – 3 < 2 ………………….(setiap ruas dikurangi 2x)
⇒ 0 < 2x < 5 ………………………….(setiap ruas ditambah 3)
⇒ 0 < x < 5/2 ………………………….(setiap ruas dibagi 2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 5/2}.
(b) 2x < 3x + 10 < 4x
⇒ 0 < x + 10 < 2x …………………...(setiap ruas dikurangi 2x)
Sekarang, perhatikan,
0 < x + 10 < 2x sama artinya dengan:
(1) x + 10 > 0
(2) 2x > x + 10
Pandang pertidaksamaan (1), x + 10 > 0 ⇔ x > −10
Pandang pertidaksamaan (2), 2x > x + 10 ⇔ x > 10
Penyelesaian dari pertidaksamaan (1) dan (2) dapat digambarkan pada Gambar (c) di bawah ini.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 10}.
Contoh Soal 4:
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan linear berikut ini.
(a) 2x – 1 < 0
(b) 3x – 6 > 0
Jawab:
(a) 2x – 1 < 0
⇒ 2x < 1
⇒ x < 1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x < 1/2}.
(b) 3x – 6 > 0
⇒ 3x > 6
⇒ x > 6/3
⇒ x > 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x > 2}.
Contoh Soal 5:
Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan linear berikut ini.
(a) 2x – 4 < 3x – 2
(b) 1 + x ≥ 3 – 3x
Jawab:
(a) 2x – 4 < 3x – 2
⇒ 2x – 3x < –2 + 4
⇒ –x < 2
⇒ x > –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x > –2}.
(b) 1 + x ≥ 3 – 3x
⇒ x + 3x ≥ 3 – 1
⇒ 4x ≥ 2
⇒ x ≥ 2/4
⇒ x ≥ 1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x ≥ 1/2}.
Contoh Soal 6:
Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
(a) x/2 + 2 < x/3 + 21/2
(b) 1 < 2x – 1 ≤ 3
Jawab:
(a) x/2 + 2 < x/3 + 21/2
⇒ x/2 + 2 < x/3 + 21/2
⇒ x/2 − x/3 < 21/2 – 2
⇒ 3x/6 − 2x/6 < 1/2
⇒ x/6 < 1/2
⇒ x < 6/2
⇒ x < 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x < 3}.
(b) 1 < 2x – 1 ≤ 3
⇒ 1 + 1 < 2x ≤ 3 + 1
⇒ 2 < 2x ≤ 4
⇒ 1 < x ≤ 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | 1 < x ≤ 2}.